選擇合適的方法解一元二次方程

朱雪梅

干什么事都有訣竅，解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四種基本解法：直接開平方法，配方法，求根公式法，因式分解法.在解一元二次方程時，我們應當仔細觀察方程的形式和系數特點，選擇適當的方法，力求解題過程簡潔、明快.

一、 適合用直接開平方法求解的方程

例1 用直接開平方法解下列方程.

（1） x2-4=0；（2） （x+3）2-2=0；（3） 4（x-2）2=9（x+3）2.

【分析】（1） 將方程化為x2=4，然后兩邊直接開平方；（2） 將（x+3）2-2=0化為（x+3）2=2的形式，然后兩邊直接開平方；（3） 把（x-2）和（x+3）分別作為一個整體，然后考慮使用直接開平方法.

解：（1） 移項，得x2=4.

因為x是4的平方根，所以x=±2，

即x1=2，x2=-2.

（2） 移項，得（x+3）2=2.

兩邊直接開平方，得x+3=±.

所以x+3=，x+3=-，

即x1=-3，x2=--3.

（3） 根據平方的性質有：2（x-2）=3（x+3）或2（x-2）=-3（x+3），

即：x1=-13，x2=-1，

【點評】形如x2=b、（x-a）2=b、（x-a）2=（x-b）2的方程適合用直接開平方法來求解.

二、 什么時候選用配方法解一元二次方程

例2 （1） x2-4x=396；（2） 3x2-2x-3=0.

【分析】利用配方法解一元二次方程的步驟：

（1） 把方程中含有未知數的項移到方程的左邊，常數項移到方程的右邊；

（2） 把二次項系數化為1；

（3） 方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式，右邊是常數；

（4） 如果方程的右邊是一個非負數，就用直接開平方法求出它的解；如果方程的右邊是一個負數，那么這個方程無解.

解：（1） ∵x2-4x=396，

∴x2-4x+4=400，

∴（x-2）2=400，

∴x-2=±20，

∴x1=-18，x2=22；

（2） 把二次項系數化為1，得x2-x-1=0，

移項，得x2-x=1，

配方，得x2-x+=1+，即x

-2=，

兩邊開平方，得x-=或x-=

-，

解得：x1=，x2=.

【點評】對比這兩個方程可以發現，第一個方程用配方法方便些，第二個方程較繁瑣，對于具備形如完全平方式的雛形的方程用配方法比較方便.

三、 因式分解解哪類一元二次方程更便捷

例3 解方程：（1） （4x+2）2=x（2x+1）；

（2） x2-（3+）x+=0.

解：（1） ∵（4x+2）2=x（2x+1），

∴4（2x+1）2-x（2x+1）=0，

∴（2x+1）（7x+4）=0，

∴2x+1=0或7x+4=0，

∴x1=-，x2=-；

（2） ∵x2-（3+）x+=0，

∴（x-3）（x-）=0，

∴x-3=0或x-=0，

∴x1=3，x2=.

【點評】這兩個方程顯然用因式分解法比較簡便，為什么呢？因為這兩個方程有一個共同的特征，能通過移項將方程右邊化為0，而左邊可通過因式分解化成乘積的形式.常見的適合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+bx=0、x2-（a+b）x+ab=0.

四、 公式法是把“萬能鑰匙”，它對任何形式的一元二次方程都適用

例4 2x2-x-1=0.

解：a=2，b=-，c=-1，

∵b2-4ac=3+8=11，

∴x1=，x2=.

【點評】運用公式法解一元二次方程的時候，只需找準方程的a、b、c的值，即先把方程化為一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解，不過由于公式法的運算量較大，因此如果能使用其它方法，盡可能選用其它方法來解.但如果方程已經化成一般形式，則選用公式法較為簡便.

那么選擇合適的方法來解一元二次方程的考慮方式如何呢？

（1） 如果題目適合使用直接開平方法解方程，那就直接使用開平方法解方程；

（2） 能使用因式分解方法求解的一元二次方程，就不要使用公式法解決；

（3） 不易使用因式分解法解的方程，且方程中的系數絕對值較大時，考慮使用配方法解方程；

（4） 公式法是解決一元二次方程的通用方法，當其它方法都不易解決時，考慮使用公式法解題. （作者單位：江蘇省南通市越江中學）