直擊點與圓的位置關系

張衛

畢達哥拉斯曾經說過：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓.”同學們，當你開始“圓”這一章的學習時就進入了一個神奇美麗的世界，讓我們從學習點與圓的位置關系開始吧！

一、 概念釋疑

認真的你一定會注意到，在我們的書本上對“圓”給出了兩種不同的定義：

1. 把線段OP繞著端點O在平面內旋轉一周，端點P運動所形成的圖形叫做圓.

2. 圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

對于第一種解釋大家應該很容易理解，對于第二種定義同學們可能就不太好理解了.通俗地講集合就是由具有同一屬性的對象匯總成的集體，第二種定義的意思就是：圓，只有一個圓心，圓心到圓上各點的長都相等，并且到圓心的距離等于定長的點都在這個圓上.

二、 概念拓展

如果我們在平面上畫一個圓，我們可以知道平面內的點與這個圓存在三種位置關系：（1） 點在圓上；（2） 點在圓內；（3） 點在圓外.

由此我們還可以得出兩個結論：

1. 圓的內部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點的集合.

2. 圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合.

三、 例題的拓展

蘇科版《數學》教科書第39頁嘗試與交流：

如圖1，線段PQ=2 cm.

（1） 畫出下列圖形：

到點P的距離等于1 cm的點的集合；到點Q的距離等于1.5 cm的點的集合.

（2） 在所畫圖中，到點P的距離等于1 cm，且到點Q的距離等于1.5 cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來.

（3） 在所畫圖中，到點P的距離小于或等于1 cm，且到點Q的距離大于或等于1.5 cm的點的集合是怎樣的圖形？把它畫出來.

【解析】（1） 到點P的距離等于1 cm的點的集合是以P為圓心、1 cm長為半徑的圓，到點Q的距離等于1.5 cm的點的集合是以Q為圓心、1.5 cm長為半徑的圓，如圖2-a；

（2） 滿足條件的點有兩個，為（1）中兩圓的交點M、N，如圖2-b；

（3） 由前面的概念可知這樣的點既在☉P內或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即為如圖2-c的陰影部分（包括邊界）.

變式1 圓心位置、半徑大小都確定

如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分別為AB、AC的中點，以B為圓心，BC為半徑畫圓，試判斷點A、C、E、F與☉B的位置關系.

【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，則點A在☉B外；很明顯，點C在☉B上；BE=AB=4，所以點E在☉B上；連接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以點F在☉B外.

【點評】現在要判定平面內一點與圓的位置關系，除了通過畫圖，還可以通過比較該點到圓心的距離與半徑的大小來判定，而后者以后會用得更多些.

變式2 圓心位置不變，半徑改變

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B為圓心、r為半徑畫圓，當r在什么范圍時，點C在☉B內，點A在☉B外.

【解析】要使點C在☉B內，r>BC=4；要使點A在☉B外，r

變式3 圓心位置改變，半徑不變

如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，點F為AC中點，點P為AB上一動點，以P為圓心、2為半徑作☉P，當點P由B→A以1個單位每秒的速度運動（點P到A時運動停止）過程中，點F在☉P內有多少時間？

【解析】由勾股定理易知AC=4，則AF=2.過F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此點F一定有一段時間在☉P內.此時只要弄清何時圓心P與點F的距離為2，如圖6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，則P1 P2=2，而點P以1個單位每秒的速度運動，因此點F在☉P內共2秒.

變式4 圓心位置、半徑大小都改變

如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，點F為AC中點，點P為AB上一動點，當點P由B→A以1個單位每秒的速度運動時（點P到A時運動停止），以P為圓心的圓的半徑也由0開始以1個單位每秒的速度變大. 在這個過程中，點F在☉P內有多少時間？

【解析】如圖8，根據變式3的運算結果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，則HB=5.假設點P運動t秒時點F正好在☉P上，則PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下來點F一直在☉P內，因此點F在☉P內共8-2.8=5.2（秒）.

同學們有沒有發現上面的例子都是萬變不離其宗——緊緊圍繞著點與圓的位置關系，所以平時大家多積累一定能有更多收獲！

（作者單位：江蘇省常州市新北區龍虎塘中學）