“圓”中難點(diǎn)十一問(wèn)

王云峰

在圓的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們會(huì)學(xué)到很多重要的知識(shí)和方法，也會(huì)提出一些很有分量的思考問(wèn)題，下面的問(wèn)題你會(huì)答嗎？

1. 如何證明幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上？

答：根據(jù)圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這幾個(gè)點(diǎn)到同一個(gè)點(diǎn)（即圓心）的距離相等.如圖1，兩個(gè)直角三角形有相同的斜邊，那么兩個(gè)直角頂點(diǎn)以及斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)在同一個(gè)圓上（圓心是斜邊的中點(diǎn)）.

2. 長(zhǎng)度相等的弧是等弧嗎？

答：能夠互相重合的弧叫做等弧，由定義可知等弧的長(zhǎng)度相等，但長(zhǎng)度相等的弧不一定能互相重合，所以長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧.

3. 垂徑定理有哪些應(yīng)用？

答：垂徑定理是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等問(wèn)題的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓中的計(jì)算與作圖提供了依據(jù)和方法.

在解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常構(gòu)造出如圖2所示的直角三角形，這是圓中常用的基本圖形.

如圖3，☉O中，半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，與弦有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題常化歸到Rt△OAC中求解.若用r表示半徑，a表示弦AB的長(zhǎng)，d表示圓心O到弦AB的距離，h表示劣弧AB的最高點(diǎn)到弦AB的距離，則r、a、d、h之間滿足r2=d2+

2及d+h=r，可知在r、a、d、h中，知道其中任意兩個(gè)量，就可求出其余兩個(gè)量，即“知二求二”.

4. 與圓有關(guān)的角有哪些？

答：圓心角與圓周角，定理“圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”是“圓心角的度數(shù)”與“弧的度數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)；圓周角定理體現(xiàn)了圓周角與圓心角之間的關(guān)系，是“弧相等”與“角相等”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù).

5. 一條弦所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？

答：由“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”及“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”知，一條弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ).

6. 三角形的外心與內(nèi)心有什么不同？

答：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部.

三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部.

【說(shuō)明】三邊長(zhǎng)分別為a、b、c（∠C=90°）的直角三角形的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑是.

7. 如何證明一條直線是圓的切線？

答：如果直線與圓有公共點(diǎn)，那么利用切線的判定定理即“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”進(jìn)行證明；如果直線與圓不能確定公共點(diǎn)，那么利用“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”進(jìn)行證明，即作出圓心到直線的垂線段，證明垂線段與圓的半徑相等.

8. 如何求正多邊形的面積？

答：如圖4，正n邊形的半徑為R，邊AB=a，圓心O到邊AB的垂線段OM=d，則正多邊形的面積為nS△AOB=2nS△AOM=nad，即將關(guān)于正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化到Rt△AOM中進(jìn)行.

9. 弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式分別是什么？

答：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l弧=；圓心角為n°的扇形面積是S扇形=；弧長(zhǎng)為l弧的扇形面積公式是S扇形=l弧R；母線長(zhǎng)為l母，底面圓半徑為r的圓錐側(cè)面積是S側(cè)=πrl母.

【說(shuō)明】弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式很容易發(fā)生混淆，熟練掌握每個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程是避免混淆的有效措施.如：l弧=×2πr；S扇形=×πr2；S側(cè)=×2πr×l母.另外弧長(zhǎng)公式與圓錐側(cè)面積公式中都有字母l，兩者表示的意義不相同，為防止混淆，運(yùn)用公式時(shí)可用文字標(biāo)注出其意義.

10. 如何求不規(guī)則圖形的面積？

答：求不規(guī)則圖形的面積，一般利用“割補(bǔ)法”將不規(guī)則圖形割補(bǔ)成規(guī)則圖形，于是不規(guī)則圖形面積可用規(guī)則圖形面積的和或差表示出來(lái)，進(jìn)而再求面積.如果不規(guī)則圖形中含有弧，一般要連接半徑構(gòu)造出弧所在的扇形再求解.

11. 圓中常用的輔助線有哪些？

答：（1） 連接半徑（以便運(yùn)用“同圓的半徑相等”，即構(gòu)造出等腰三角形）；（2） 過(guò)圓心作弦的垂線（以便運(yùn)用垂徑定理）；（3） “遇直徑，連直角”（以便運(yùn)用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”）；（4） “遇切點(diǎn)，連半徑”（以便運(yùn)用切線的性質(zhì)定理）.

（作者單位：江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)）