解題利器

王愛玲

在蘇科版《數學》九年級上冊第1章第3節有一個選學內容——一元二次方程的根與系數的關系，如果能掌握這個知識點，對于我們的解題將非常有幫助.

一、 根與系數關系的推導

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）來說，如果b2-4ac≥0，那么它的兩個根分別為

x1=，x2=.

∴x1+x2=+=-，

x1·x2=·==.

我們把x1+x2=-，x1·x2=這兩個簡潔的關系稱為根與系數關系.

而在實際解題過程中，一元二次方程的二次項系數通常為1，那么這一關系可簡化為：

如果x2+px+q=0的兩根分別是x1和x2，則x1+x2=-p，x1x2=q.

二、 根與系數關系——解題利器

根與系數關系是由求根公式推導得到的，是求根公式應用的“升華”，它使用起來就應該更便捷.下面我們通過幾道題目來談談根與系數關系在解題中的應用.

應用1 一元二次方程兩根的檢驗

例1 已知一元二次方程x2+2x-7=0，則這個方程的兩個根是（ ）.

A. -1+2，-1-2

B. -1+，-1-

C. -2，-7

D. 1+2，1-2

【分析】如果求解一元二次方程x2+2x-7=0，需要用公式法，比較麻煩，但如果用根與系數關系來判斷可以迅速找到正確的選項，x1+x2=-2，x1x2=-7.

答案：A.

【方法點撥】由于這是一道選擇題，因此只需找到正確的答案即可，如果解一元二次方程比較繁瑣，可以采取其它一些“投機取巧”的方法來求解，如本題應用根與系數關系來判斷.

應用2 已知方程一根，可求另一根

例2 已知方程5x2+kx-6=0的一個根為2，求它的另一個根及k的值.

【分析】方程5x2+kx-6=0已知二次項系數和常數項，所以x1x2的值已知，可根據兩根之積先求出方程另一個根，然后根據兩根之和求出k的值.

解：設方程的另一個根是x1，那么2x1=-.

∴x1=-，

又x1+2=-，∴-+2=-，∴k=-7.

【方法點撥】當一元二次方程已知二次項系數和常數項時，相當于已知方程兩根之積；當已知二次項系數和一次項系數時，相當于已知方程兩根之和.當已知方程一根的時候，就很容易根據根與系數關系得到方程另一根.

應用3 已知系數，求對稱代數式的值

例3 若x1、x2是一元二次方程x2-7x+5=0的兩根，則+的值是（ ）.

A. B. - C. D. -

【分析】∵x2-7x+5=0，∴x1+x2=7，x1x2=5，

∴+==.

答案：A.

【方法點撥】+可化成，因此要求出+的值，可先利用一元二次方程根與系數的關系求出x1+x2和x1x2.

應用4 逆用根與系數關系構造方程解決問題

例4 已知兩個數的和等于8，積等于7，求這兩個數.

【分析】可以將這兩個數看作是一個一元二次方程的兩根，那么x1+x2=8，x1x2=7，代入x2-（x1+x2）x+x1x2=0中，即可構造出兩根分別為x1和x2的一元二次方程.

解：根據根與系數的關系可知，這兩個數是方程x2-8x+7=0的兩個根，

解這個方程，得x1=1，x2=7.

因此，這兩個數是1，7.

【方法點撥】由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化為x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知兩根之和和兩根之積，可根據這一性質構造出一個符合要求的一元二次方程.

例5 已知x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，求以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程.

【分析】逆用一元二次方程根與系數的關系，但要注意新方程的兩個實數根是（x1+1）和（x2+1），而不是x1，x2.

解：∵x1，x2是方程x2+3x-5=0的兩根，

∴x1+x2=-3，x1·x2=-5，

∴（x1+1）+（x2+1）=x1+x2+2=-3+2=-1，

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=-5-3+1=-7，

∴以（x1+1）和（x2+1）為根的一元二次方程為：y2+y-7=0.

【方法點撥】已知一個一元二次方程，求新的一元二次方程，使它的根與原方程的根符合某種關系，這類題目的解題步驟是：①設出已知方程的兩根，并依據所知關系寫出所求方程的兩根；②由根與系數的關系寫出所設兩根的和與積；③求新方程兩根的和與積；④寫出新方程.

應用5 應用根與系數關系討論方程根的情況

例6 已知方程x2-4x-2m+8=0的兩個根中一個大于1，另一個小于1，求m的取值范圍.

【分析】由于這兩個根一個大于1，另一個小于1，當這兩根同時減去1，得到的兩數必然一正一負，它們的乘積是負數，可根據這一條件列出關于m的取值范圍.

解：方程有兩個根，所以Δ>0，

即42-4（-2m+8）>0，

解得m>2，同時根據根與系數關系可知：x1+x2=4，x1x2=-2m+8，由于兩個根中一個大于1，另一個小于1，∴（x1-1）（x2-1）<0，

∴x1x2-x1-x2+1<0，∴-2m+8-4+1<0，∴m>.

【方法點撥】本題已知的是兩根之間的關系，要求的還是系數的取值范圍，解決此類問題最終還是轉化為一元二次方程根與系數的關系.

三、 注意公式應用條件

一元二次方程根與系數關系的應用必須滿足兩個前提條件，首先這個方程必須是一元二次方程，一般表現為二次項系數不能等于0，其次這個一元二次方程要有兩根，即保證根的判別式的值為非負數.

例7 關于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍.

[x1+x2=3] [x1·x2=k+1][【分析】x2 1+x2 2=（x1+x2）2-2x1x2<5.]

解：設方程兩根分別為x1，x2，

x1+x2=3，x1·x2=k+1，

∵x2 1+x2 2=（x1+x2）2-2x1x2=32-2（k+1）<5，

∴k>1，①

又∵Δ=（-3）2-4（k+1）≥0，

∴k≤，②

由①②得：1

【方法點撥】已知方程兩根關系，探求字母系數的取值范圍，可先將兩根關系轉化為兩根之和和兩根之積的形式，構造方程或不等式，確定字母的取值范圍，務必要注意Δ≥0這個隱含條件.

（作者單位：江蘇省海安縣仇湖初中）