采用玻爾茲曼統計法分析光阱剛度的測量精度

朱春麗，李　靜

(中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，安徽 合肥 230027)

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采用玻爾茲曼統計法分析光阱剛度的測量精度

朱春麗，李靜*

(中國科學技術大學 精密機械與精密儀器系，安徽 合肥 230027)

考慮高精度的光阱剛度測量是光阱力測量的關鍵，本文提出了采用玻爾茲曼統計法來分析光阱剛度的測量精度。首先，描述了實驗室搭建的近紅外光鑷系統，并將其搭建在暗室中的氣墊平臺上，以便隔離光干擾和振動干擾。然后，用四象限光電探測器探測被光鑷捕獲的微球向后散射的光，并選用與溶液黏度無關的玻爾茲曼統計法計算樣品池底面附近的光阱剛度。最后,分析和討論了溶液溫度的變化、四象限光電探測器的靈敏度、采樣頻率以及采樣時間對光阱剛度測量精度的影響。理論分析及實驗計算顯示：溶液溫度的變化對光阱剛度的測量影響很小，但四象限光電探測器的靈敏度對光阱剛度測量精度影響較大?？紤]采樣的完整性和數據處理速度，采樣頻率通常取為被捕獲顆粒拐角頻率的5～10倍。對于本文搭建的近紅外光鑷測量系統，采樣時間取為1～7 s時，可以保證高精度地測量光阱剛度。

光鑷；近紅外光鑷系統；光阱剛度測量；玻爾茲曼統計法

*Correspondingauthor,E-mail:lijing@ustc.edu.cn

1　引　言

1986年，Ashkin等人首次報導了光鑷技術[1]，之后光鑷技術便被大量地運用于物理和生物學領域中，例如微觀顆粒的操縱、分類和構型[2-4]，膠體物理的研究[5]以及在單分子水平對生物分子的研究[6]等。在這些應用中，通常需要測量光鑷施加在微?；蛏锓肿由系墓廒辶ΑＴ诠忤囅到y中，光鑷施加在顆粒上的光阱力等于測量出的光阱剛度乘以被捕獲顆粒相對于光阱中心的位移。通常用相機[7]和四象限光電探測器[8]測量被捕獲顆粒的位移，可以達到納米級精度。比較常用的幾種光阱剛度的測量方法有流體力學法[9]、外加周期力法[10]、功率譜法[11]、能量均分法[12]和玻爾茲曼統計法[12]。其中，能量均分法簡單、快速，但計算精度不高。流體力學法、外加周期力法和功率譜法均與溶液的局域黏度以及球形顆粒的直徑有關。當在樣品池表面附近進行光阱剛度測量時[13]，黏度系數較為復雜，需要對黏度系數進行流體動力學修正，即需要考慮由壁效應額外增加的黏度[14]。而玻爾茲曼統計法無需考慮上述因素[12]。因此，當顆粒形狀為非球形，或者在樣品池表面附近進行光阱剛度測量時，玻爾茲曼統計法更適用。

本文描述了實驗室搭建的近紅外光鑷系統，用玻爾茲曼統計法計算了樣品池底面附近的光阱剛度，并分析和討論了溶液溫度的變化、四象限光電探測器的靈敏度、A/D轉換器的采樣頻率以及采樣時間對光阱剛度測量精度的影響。

2　測量原理和實驗系統

2.1實驗系統

單光阱近紅外光鑷實驗裝置示意圖如圖1所示。由光纖激光器發射出波長為1 064 nm的近紅外激光經擴束后穿過棱鏡，被二向色鏡反射后進入浸油物鏡(100×, NA=1.3, Nikon)，聚焦在充滿介質的樣品池中用于捕獲樣品池中的微球。被微球向后散射的光阱物鏡收集，被二向色鏡反射后穿過棱鏡、透鏡L1、濾光器后照射在四象限光電探測器上。樣品池固定在xyz-壓電平臺上。CCD相機用于實時觀測和記錄。采集到的數據實時地傳輸到計算機，然后用Matlab軟件進行數值計算和擬合。

實驗中，采樣數據的噪聲主要來源于外界的振動干擾和光干擾。為了保證采樣精度，這里主要采取了以下兩種措施實現噪聲隔離：在整個實驗裝置的組件中，光纖激光器的散熱系統以及計算機的主機產生的噪聲較大，除了這兩種儀器之外，其它組件如四象限光電探測器、CCD相機等均搭置在氣墊平臺上，以隔離外界的振動干擾；將實驗室做成暗室，采樣過程在暗室中完成，以隔離外界的光干擾。

圖1　單光阱近紅外光鑷實驗裝置Fig.1　Experimental setup of infrared optical tweezer with single optical trap

2.2測量原理

實驗中，用四象限光電探測器獲取被捕獲微球的位移。四象限光電探測器(型號QP100-6，上海歐光科技公司)的驅動電路(自行搭建的)工作時輸出的是模擬電壓信號，經A/D采集卡(型號USB7660，16位AD轉換，北京中泰研創公司)轉化為數字信號由USB口輸入計算機進行處理。在單光鑷中，位移較小時輸出電壓U和微球位移x之間呈線性關系，有:

x=sU,

(1)

其中s表示四象限光電探測器的靈敏度。

在標定四象限光電探測器的靈敏度時，用xyz-壓電平臺驅動一個粘在樣品池蓋玻片上的微球穿過光阱中心，同時記錄微球每移動一步后四象限光電探測器的輸出電壓。然后用直線擬合電壓輸出和微球位移之間的線性關系區域，擬合出的直線斜率倒數便是四象限光電探測器的靈敏度。具體操作時，令xyz-壓電平臺以0.1μm的步長沿x方向驅動粘在蓋玻片上的2μm聚苯乙烯微球穿過光阱中心，得到四象限光電探測器的輸出電壓與微球位移(壓電平臺位移)之間的關系，如圖2所示。擬合得到輸出電壓和微球位移之比為0.504 2μm/V。實驗測量中，用記錄的輸出電壓信號乘以靈敏度s，可得到被探測微球的位移。

光阱中被捕獲微球的熱驅動位移滿足玻爾茲曼分布，微球的x向位移概率分布可以表示為[12]：

(2)

其中:E(x)為勢能，kBT為熱能(T是絕對溫度，kB是玻爾茲曼常數)，C為概率分布的歸一化常數。

圖2　四象限光電探測器輸出電壓與微球位移之間的關系Fig.2　Relation between voltage output of quadrant photodiode and displacement of microsphere

由式(2)可得微球的勢能分布，有：

E(x)=-kBTlnp(x)+kBTlnC,

(3)

其中：kBTlnC為勢能偏移，為常數項，可以忽略。諧勢阱的光阱中心附近區域具有諧勢能分布。勢能與位移以及光阱剛度的關系為：

(4)

利用式(4)擬合位移和由式(3)計算出的勢能之間的關系，便可得到光阱剛度。

3　測量結果

實驗中，激光器的功率設為0.43 W，2 μm的聚苯乙烯微球被捕獲于距樣品池底面3.5 μm處。A/D轉換器的采樣頻率和采樣時間分別為1 000 Hz和4 s。采集到的x向位移如圖3(a)所示，位移的變化范圍約為±65 nm。將位移分組間距設為1 nm，計算出位移的頻率直方圖分布，如圖3(b)所示。將頻率分布歸一化成概率分布，然后根據式(2)計算勢能分布，結果如圖3(c)中的虛線所示。用諧勢能分布擬合計算出的勢能分布曲線如圖3(c)中的實線所示，擬合得到的光阱剛度kx=7.05 pN/μm。

(a)x向的位移分布(a) x-displacement

(b)頻率分布 (b) Frequency distribution

(c)勢能分布以及數值擬合 (c) Potential distribution and its numerical fitting圖3　利用玻爾茲曼統計法測量光阱剛度Fig.3　Measurement of optical trap stiffness using Boltzmann statistics method

4　分析和討論

本文分析和討論了溶液溫度的變化、四象限光電探測器的靈敏度、A/D轉換器的采樣頻率以及采樣時間對光阱剛度測量精度的影響。

從式(2)和式(3)可以看出，利用玻爾茲曼統計法計算出的光阱剛度與溶液溫度有關，有kx∝T。實驗通常是在室溫(25 ℃)下進行的，若溫度變化1 ℃，光阱剛度計算值的相對誤差為|kx1-kx2|/kx1∝|T1-T2|/T1=1/(273.15+25)≈0.34%。因此，用玻爾茲曼統計法計算光阱剛度時，溫度變化對計算精度的影響很小。但用其它和溶液黏度有關的方法測量光阱剛度時，溫度變化對光阱剛度精度的影響較大，如溫度變化1 ℃，由水黏度變化造成的光阱剛度相對測量誤差約為2.4%。

根據能量均分法，光阱剛度可以直接表達為[12]：

其中：〈x2〉表示被捕獲微球的位置方差。對于四象限光電探測器的靈敏度s，有x∝s以及〈x2〉∝s2。由式(5)可知，kx∝1/〈x2〉，因而有kx∝1/s2，即光阱剛度反比于四象限光電探測器靈敏度s的平方。若靈敏度的相對誤差為10%，光阱剛度測量值的變化以及相對誤差如表1所示?？梢?，四象限光電探測器的靈敏度對光阱剛度的計算精度影響較大。因此，實驗中需要多次標定四象限光電探測器的靈敏度并取平均，以獲得高精度的靈敏度標定值，進而得到高精度的光阱剛度。實驗中重復標定四象限光電探測器靈敏度5次，得到的重復測量精度為3.607 0×10-4μm/V。

表1　四象限光電探測器靈敏度對光阱剛度測量結果的影響

采集數據時需要選擇合適的A/D轉換器的采樣頻率。若采樣頻率過低，采集的數據不能完整地反映實際位移，使得計算出的光阱剛度存在誤差。若采樣頻率過高，對相應電路的要求提高，數據量加大，分析處理數據的時間會增加。實際中，采樣頻率通常為被測頻率的5～10倍，即可滿足測量要求。這里被測頻率是被捕獲微球的拐角頻率f0，即:

(6)

其中:β=6πrη，η是周圍液體的黏度，r為微球半徑。在實驗中，采樣頻率為1 000 Hz，滿足測量要求。

由于Allan方差[15]能夠分辨系統中噪聲或漂移占主導的時間段，為了獲取采樣時間對光阱剛度精度的影響，分析了被捕獲微球位移的Allan方差與采樣時間之間的關系。位移的Allan方差計算公式為：

(7)

其中：x(n)是第n個采樣周期內位移的平均值，τ為每個采樣周期的時間。

實驗中分別記錄了100 s內(100,000個采樣點數)固定微球、弱光阱(kx=7.05 pN/μm)以及強光阱(kx=23.35 pN/μm)捕獲的微球位移，圖4給出了相應位移的Allan方差分布?？梢钥闯?，這些曲線的趨勢和Gibson等人[7]用高速相機測量2 μm硅球位移的Allan方差相似。與Gibson等人的最小Allan方差約0.6 nm相比，這里的方差約為0.4 nm，由此說明所采用的四象限光電探測器及其工作電路具有更小的測量噪聲。對于捕獲于弱、強光阱中的微球， Gibson等人的最小Allan方差分別約為1.5 nm和0.9 nm，而本文的分別約為3 nm和2 nm，均較高，這可能由壓電平臺的穩定性或其它因素造成的。另外，從圖4可以看出，搭建的近紅外光鑷測量系統的最優采樣時間在1～7 s。當采樣時間小于1 s時，比如設為0.5 s，位移的頻率直方圖分布如圖5(a)所示?？梢钥闯觯蓸訒r間太短，測量系統中噪聲所占的比例增加，使得采集到的熱驅動位移不再符合規范的玻爾茲曼分布，因而不適于計算光阱剛度。當采樣時間較長時，比如設為20 s，微球位移如圖5(b)所示?？梢钥闯?，隨著采樣時間的延長，位移有整體上移的趨勢，這是由系統漂移引起的。

圖4　測量位移的Allan方差Fig.4　Allan variance of measured displacements

(a)位移頻率分布(a)Displacement-frequency distribution

(b)位移隨采樣時間的變化(b)Variation of displacement with sampling time圖5　采樣時間分別設為(a)0.5 s時的位移頻率直方圖和(b)20 s時的位移Fig.5　(a) Frequency distribution as sampling time of 0.5 s and (b) displacement variation as range of sampling time of 20 s.

5　結　論

本文介紹了實驗室搭建的近紅外光鑷系統，用四象限光電探測器探測被光鑷捕獲的微球向后散射的光，并采用玻爾茲曼統計法計算了樣品池底面附近的光阱剛度。通過理論分析以及實驗計算得出，相比于其它和溶液黏度有關的測量光阱剛度的方法，用玻爾茲曼統計法測量光阱剛度時，溶液溫度的變化對光阱剛度的測量影響很小，可以忽略不計。測量出的光阱剛度值反比于四象限光電探測器靈敏度的平方，其精度受四象限光電探測器的靈敏度的精度影響較大，因此，實驗中需要多次標定四象限光電探測器的靈敏度并取平均，以獲得高精度的靈敏度標定值，進而得到高精度的測量光阱剛度。同時考慮到采樣的完整性和數據處理的快速性，通常將采樣頻率取為被捕獲顆粒拐角頻率的5～10倍。此外，由Allan方差與采樣時間的關系曲線可以看出，所搭建的近紅外光鑷測量系統最優的采樣時間為1～7 s。本文的分析與結果對類似的測量實驗具有指導作用。

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朱春麗(1990-)，女，安徽宿州人，博士研究生，2011年于中國科學技術大學獲得學士學位，主要從事光電測試技術方面的研究。E-mail: yatlili@mail.ustc.edu.cn

導師簡介:

李靜(1968-)，女，安徽合肥人，副教授，碩士生導師，1991年于同濟大學獲得學士學位，2005年于中國科學技術大學獲得固體力學博士學位，主要從事光電技術和儀器方面的研究。Email: lijing@ustc.edu.cn

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Analysis of stiffness measurement precision of optical trap with Boltzmann statistics method

ZHU Chun-li, LI Jing*

(DepartmentofPrecisionMachineryandPrecisionInstrumentation,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230027,China)

The stiffness measurement precision of an optical trap is a key in optical force measurement, so this paper proposes a method based on Boltzmann statistics to analyze the stiffness measurement precision of the optical trap. Firstly, a near infrared optical tweezer was introduced and it was built on an air cushion platform in a dark room to isolate light interference and vibration interference. Then, a quadrant photodiode was used to detect the backscatter light of a microsphere captured by the tweezer and the Boltzmann statistics method having no relation with solution viscosity was adopted to calculate the optical trap stiffness near the bottom surface of the sample cell. Finally, the influences of the solution temperature, the sensitivity of the quadrant photodiode, sampling frequency, and the sampling time on the accuracy of the optical trap stiffness measurement were analyzed and discussed. Theoretical analysis and practical calculation results indicate that the solution temperature has a little effect on the measurement, but the sensitivity of the quadrant photodiode influences on the measurement precision greatly. In consideration of complete sampling and higher data processing speeds, the sampling frequency is set 5 to 10 times as great as the knee frequency of the optically trapped microsphere. For the measurement setup proposed in this paper, the sampling time is set in the range 1-7 s, which ensures the higher measurement precision of the optical trap.

optical tweezer; near-infrared optical tweezer system; optical trap stiffness measurement; Boltzmann statistics method

2016-03-22；

2016-05-03.

國家973重點基礎研究發展計劃資助項目(No.2012CB937500);國家自然科學基金資助項目(No.91023049)

1004-924X(2016)08-1834-06

TN216

A

10.3788/OPE.20162408.1834