高頻響伺服刀架的建模與控制

李國平，孫　濤，邱　輝，陳　彬

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

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高頻響伺服刀架的建模與控制

李國平*，孫濤，邱輝，陳彬

(寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211)

考慮目前應用壓電陶瓷驅動器的伺服刀架只能提供單向驅動力，設計了一種基于雙壓電陶瓷驅動器的快速伺服刀架。涉及的兩個壓電陶瓷驅動器分別為刀具的進給和回復提供驅動力，其呈對稱布置，用于有效提高刀架的整體剛度。為了對兩個壓電陶瓷驅動器進行聯動協調控制，建立了PI遲滯模型和其逆模型，并設計了相應的聯動協調控制方法。利用PI逆模型作為PID反饋控制的前饋環節構成復合控制用于調節快速伺服刀架的輸出位移。實驗驗證了新型快速伺服刀架的響應頻率、響應時間、位移響應特性和定位精度。結果顯示：新型快速伺服刀架的響應頻率為871.86 Hz，響應時間為0.000 45 s；三角波信號的最大定位誤差為3.366 1 μm，誤差百分數為7.63%，平均絕對誤差為0.698 0 μm，誤差百分數為1.58%；正弦波信號的最大定位誤差為3.244 4 μm, 誤差百分數為7.67%，平均絕對誤差為0.930 9 μm，誤差百分數為2.20%。

快速伺服刀架；雙壓電陶瓷驅動器；PI模型；高頻響應

*Correspondingauthor,E-mail:liguoping@nbu.edu.cn

1　引　言

快速伺服刀架是利用高頻響的執行單元推動刀具快速運動，從而實現零件的高效率高精度加工[1-4]。其具備的基本特性有推力大、剛度高、響應頻率快、行程長和精度高等，其中，定位精度和響應頻率是決定快速伺服刀架性能的重要指標。快速伺服刀架的執行單元有直線電機[5]、音圈電機[6]、液壓執行機構[7]、電磁驅動器[8]、超磁致伸縮執行器[9]和壓電陶瓷驅動器[10]等。由于壓電陶瓷驅動器具有響應快、輸出力大、功耗低、發熱少、體積小等一系列優點，目前基于壓電陶瓷驅動器的快速伺服刀架得到快速發展。

Haifeng Wang[11]等人設計了一種用于非圓活塞型面加工的快速伺服刀架，通過Labview掃頻分析出刀具的共振頻率為321 Hz。同樣，Haoquan Ma[12]等人也設計一種基于壓電陶瓷驅動器的快速伺服刀架，該刀具的模態頻率達到305.5 Hz，他還通過重復控制器使得刀具的誤差小于3 μm。針對非對稱表面的精密車削的問題，Olivier Sosnicki[13]等人基于壓電陶瓷驅動器設計了一種金剛石車削快速伺服刀架，實驗測得刀架的一階共振頻率超過600 Hz。然而快速伺服刀架的工作行程受壓電陶瓷驅動器伸長范圍的限制，目前通用的解決方法是設計放大機構來提高快速伺服刀架的輸出位移，但大多數快速伺服刀架的行程仍然局限在0.3 mm以內，雖然已經可以滿足大多數的加工需求，但對于某些需要更大行程的快速伺服刀架的特殊場合還不夠。為此，Ho-Sang Kim[14]等人針對自由曲面的制造，設計了一種大行程快速伺服刀架，刀具的行程達到50 mm，加工精度達到0.15 μm。近些年，不滿足于快速伺服刀架的一維運動，學者們將其運動方向拓展到兩個方向上。例如，Zhiwei Zhu[15]等人設計了一種二自由度快速伺服刀架，刀具可在兩個方向上輸出位移，帶寬達到200 Hz。

快速伺服刀架定位精度的提高依賴于執行單元的精度和先進的控制算法，在壓電陶瓷驅動器作為執行單元的情況下定位精度的提高空間有限。而通過改變快速伺服刀架的構型則可以顯著提高響應頻率。實際中快速伺服刀架的精度已經可以達到很高，如文獻[16]設計了一種大行程的精密快速伺服刀具，加工的表面粗糙度可達20～30 nm，但最大帶寬僅為200 Hz。文獻[17]設計了一種用于菲涅爾微結構金剛石超精密加工的快速伺服刀架，加工出的菲涅爾結構的表面粗糙度達到了35 nm。綜上所述，響應頻率已成為限制快速伺服刀架應用范圍的最大阻礙，為此有必要對快速伺服刀架響應頻率的提高方法進行研究。

通過分析上述應用壓電陶瓷驅動器的快速伺服刀具發現，無論是單自由度還是雙自由度，在一個自由度上只能提供單向的驅動力，回復力需要靠機械結構本身的彈性提供。這種結構的缺點是快速伺服刀具的回復時間長，阻礙響應頻率的進一步提高。為此本文提出了一種新構型的快速伺服刀架，采用“雙壓電陶瓷驅動器+柔性鉸鏈”的主體結構，采用兩個壓電陶瓷驅動器分別為刀具的進給和回復提供驅動力，使刀具的響應速度得到提高。另外，兩個壓電陶瓷驅動器呈對稱布置，以有效提高刀架的整體剛度。

2　快速伺服刀具的設計

新構型快速伺服刀架結構如圖1所示,包含壓電陶瓷驅動器A和壓電陶瓷驅動器B，由于壓電陶瓷驅動器的輸出位移有限，需設計放大機構來放大輸出位移。本文采用直圓型柔性鉸鏈杠桿原理來放大兩個壓電陶瓷驅動器的輸出位移，整體結構呈對稱式分布，以提高刀具的剛度，如圖2(彩圖見期刊電子版)所示，圖中紅色線條表示初始狀態，黑色線條表示為施加載荷P 之后的變形狀態。

(a)快速伺服刀具三維圖 (a) Three-dimensional map of FTS

(b)快速伺服刀具二維圖 (b) Two-dimensional map of FTS 圖1　新型快速伺服刀具模型Fig.1　Model of new fast servo tool

當刀具進給時由壓電陶瓷驅動器A進行驅動，刀具回復的時候由壓電陶瓷驅動器B進行驅動，刀具在兩個壓電陶瓷驅動器的“夾持”下實現定位的高精度和運動的高頻響。

圖2　刀具放大機構原理圖Fig.2　Principle of tool amplification mechanism

3　快速伺服刀具高頻響的實現

要實現刀架的高頻響運動，需要令壓電陶瓷驅動器一前一后的協調配合運動，即后驅動器隨著電壓的增加向前運動的同時，前驅動器必須減少相應電壓值，使之向后運動以使兩者相互配合;反之亦然。然而壓電陶瓷驅動器的輸入電壓和輸出位移之間呈現明顯的非線性，另外，壓電材料固有的遲滯特性也給兩個壓電陶瓷驅動器的聯動帶來一定的困難，所以必須先對兩個壓電陶瓷驅動器分別建立精確的遲滯模型。目前較常用的遲滯模型有Preisach[18]模型、PI模型[19]、Duhem模型[20]等等。其中由于PI模型存解析逆[21]，且具有在明確的表達式，容易求解，而得到廣泛的應用。

3.1壓電陶瓷驅動器遲滯建模

PI模型[19]認為遲滯非線性是由一系列基本Play算子線性加權疊加而成的,結構簡單。Play算子的表達式為：

(1)

式中Hr表示在輸入電壓信號x和輸出位移信號y之間的遲滯算子，r為遲滯算子的權值，y0表示輸出位移信號的初始值，t表示在[t0,tE]上的時間值。

其遞歸數學表達式為：

Hr[x,y,r](t)=max{x-r,min{x+r,y}},

(2)

式中0=t0

其中初值為：

Hr[x,y,r](0)=max{x(0)-r,min{x(0)+r,0}},

(3)

由上述表達式可得出基本Play算子的示意圖如圖3所示。

圖3　基本Play算子示意圖Fig.3　Schematic of basic Play operator

由n個具有不同閾值的Play算子經線性加權疊加可得到PI遲滯模型的輸出，即：

(4)

式中wi為Play算子的權重，T為采樣周期，ri為Play算子的閾值，且滿足0

由于PI模型是純現象模型，參數與內部物理結構無關，參數的辨識還是要通過實驗獲得，通過實驗獲得壓電陶瓷驅動器的初載曲線(壓電陶瓷驅動器輸入電壓從0單調遞增到其所能承受的最大電壓時實際的輸出曲線)后，如圖4所示，就可確定PI模型的n和ri。

圖4　初載曲線示意圖Fig.4　Schematic of initial loading curve

當n充分大時，初載曲線Ω(r)可以表示為由閾值ri分段線性函數連接而成[22]，即：

i=0,1,2,…n-1,

(5)

i=0,1,2,…,n-1,

(6)

(7)

3.2PI逆模型

PI模型的逆模型[21]同樣也是PI型，但閾值和權值與PI模型不同，其表達式如下：

(8)

PI逆模型的參數同樣要通過初載曲線求解，其初載曲線可表示為：

i=0,1,2,…n-1,

(9)

由于兩者互逆，所以

(10)

i=1,2,…,n-1,

(11)

初始值可以通過下式確定：

(12)

3.3雙壓電陶瓷驅動器精確聯動的控制

通過實驗得到兩個壓電陶瓷驅動器的PI遲滯模型和PI遲滯逆模型后，可按圖5(a)、(b)實現兩個壓電陶瓷驅動器的聯動協調控制。

(a) 刀具進給原理圖 (a) Principle diagram of tool feeding

(b) 刀具退回原理圖(b) Principle diagram of tool recovery圖5　快速伺服刀架運動原理圖Fig.5　Motion schematic of FTS

當刀架向前進給時，驅動電源對后壓電陶瓷驅動器輸入遞增的電壓Δu>0，通過PI模型在計算機上得到輸出的位移值Δy。將后壓電陶瓷驅動器的位移值Δy輸入前壓電陶瓷驅動器PI逆模型，算出相應的電壓遞減值Δu<0，再通過驅動電源作用于前壓電陶瓷驅動器，輸出相應的位移值-Δy，完成刀架的進給運動。當刀架向后運動時，驅動電源對前壓電執行器輸入遞增的電壓Δu>0，通過PI模型在計算機上得到輸出的位移值Δy。將前壓電陶瓷驅動器的位移值Δy輸入后壓電陶瓷驅動器PI逆模型，算出相應的電壓遞減值Δu<0，再通過驅動電源作用于后壓電陶瓷驅動器，輸出相應的位移值-Δy，完成刀架的回復運動。從這個過程可以看出，如果僅僅使用一個壓電陶瓷驅動器，當刀架回復時只能依靠柔性鉸鏈的回復力完成刀架的后退動作，花費時間多。而本方案采用兩個壓電陶瓷驅動器使得刀架的進給和后退都由壓電陶瓷驅動器完成，從理論上保證了提高刀架響應速度性。

4　快速伺服刀具控制器設計

壓電陶瓷驅動器可當做彈簧-質量-阻尼系統，其數學模型為：

(13)

式中Ma、Da、Ka分別為壓電陶瓷驅動器的質量、阻尼和剛度，x為輸出位移，Fa為壓電陶瓷驅動器的輸出力，Fext為外部載荷，如切削力等。對式(13)進行拉普拉斯變換，得到：

(14)

式中Z和C分別為壓電陶瓷驅動器的阻抗和電容，n為壓電與力的耦合系數，Vin為壓電陶瓷驅動器的輸入電壓。

快速伺服刀具的數學模型為：

(15)

式中M、D、K分別為快速伺服刀架的等效質量，阻尼和剛度；B為放大倍數。

前饋控制屬于開環控制，它的基本原理是在模型偏差出現之前進行控制，將可能出現的偏差消除在萌芽狀態，從而及時有效地跟蹤被控對象的參考輸入，以使平臺具有較快的響應速度，但缺點是不能完全消除平臺輸出位移的遲滯誤差；而反饋控制則是在偏差出現之后進行控制，優點是可完全消除平臺輸出位移的遲滯誤差，缺點是存在時滯而降低了平臺的響應速度。本文通過結合兩種控制方法的優點，設計了一種復合控制方法，其控制框圖如圖6所示。

(a) 刀具進給控制框圖 (a) Control block diagram of tool feeding

(b) 刀具回復控制框圖 (b) Control block diagram of tool recovery圖6　快速伺服刀架控制框圖Fig.6　Control block diagram of FTS

圖6中的GF(s)和GPID(s)分別表示前饋控制環節和PID控制環節的傳遞函數，GR(s)和Gp(s)分別表示壓電陶瓷驅動器和快速伺服刀架的傳遞函數。

前饋控制器是根據遲滯逆模型來設計的，逆模型的輸入為位移值，輸出為電壓值。根據前文的敘述可知，PI逆模型的數學模型為：

(16)

對式(16)進行拉普拉斯變換，得到傳遞函數為：

(17)

由于PID控制器具有結構簡單、參數易于整定、魯棒性強、技術成熟等一系列優點，故本文反饋控制器采用PID控制方法進行設計。PID控制是通過對系統實際輸出y(t)與理想值x(t)之間偏差e(t)的比例(P)、積分(I)、微分(D)進行線性組合實現的，其數學模型如下：

(18)

對式(18)進行拉普拉斯變換得到：

(19)

根據快速伺服刀具的的數學模型可得到：

GH(s)=GR(s)Gp(s).

(20)

5　實驗研究

5.1響應頻率

共振頻率是快速伺服刀架的一個重要的動態性能指標，它由快速伺服刀架的剛度K和有效運動質量M所決定。計算公式如下：

(21)

式中有效運動質量通過質量計算公式M=ρV得到，快速伺服刀架剛度K的計算公式如下：

(22)

式中Y′為刀架實際輸出位移，Y為刀架的理論輸出位移，K′為壓電陶瓷驅動器的剛度。

共振頻率在數值上等于固有頻率，本文的共振頻率由日本小野測器FFT分析儀CF7200A測得。圖7是快速伺服刀架響應頻率曲線，可以看出刀具的一階固有頻率為871.86 Hz。

(a) 加速度-時間曲線 (a) Acceleration - time curve

(b) 頻譜曲線(b) Spectrum curve圖7　快速伺服刀架響應頻率曲線Fig.7　Curves of response frequency for FTS

5.2響應時間

由于快速伺服刀架的共振頻率很高，所以快速響應能力是快速伺服刀架的一個重要特性。PSA的響應時間t通常由其共振頻率決定，計算公式如下：

(23)

實驗中對快速伺服刀架輸入階躍電壓信號，快速伺服刀架達到其名義輸出位移所用的時間即為響應時間。本文選用昆山攀特電陶科技有限公司生產的型號為PT1500707501的疊層矩形壓電陶瓷驅動器，剛度為51 N/μm，標稱位移為50 μm。壓電陶瓷驅動電源選用的是哈爾濱工業大學博實精密測控有限公司設計生產的型號為HPV-1C0300A0300壓電陶瓷電源。數據采集卡選用的是美國國家儀器(NI)有限公司生產的型號為PCI-6221的多功能板卡，數據發生與接收是基于NI公司研發的LabVIEW軟件編制的圖形程序完成。位移采集選用的是電渦流傳感器，分辨率達到0.2 μm。實驗測得快速伺服刀架的響應曲線如圖8所示。

圖8　快速伺服刀架響應時間曲線Fig.8　Curve of response time

由實驗得到快速伺服刀架的響應時間為0.000 45 s，接近于理論公式計算的0.000 382 s。

5.3位移響應特性

通過實驗辨識出快速伺服刀架在壓電陶瓷驅動器A和壓電陶瓷驅動器B單獨作用下的PI模型和逆模型， 根據圖4所示的聯動控制原理圖測出快速伺服刀架的位移響應特性。實驗首先測得在單壓電陶瓷驅動器驅動下的時間-位移曲線，其次測得在雙壓電陶瓷驅動器驅動下的時間-位移曲線，將兩者進行比較得到如圖9所示的結果。

圖9　位移曲線比較Fig.9　Comparison of displacement output

從圖中可以明顯看出在相同的周期內雙壓電陶瓷驅動器構造的快速伺服刀架響應快于單壓電陶瓷驅動器的。

5.4定位精度

快速伺服刀架的定位精度取決于雙壓電陶瓷驅動器的聯動控制精確度，兩個壓電陶瓷驅動器之間能夠協調配合則定位精度高，反之不僅不能提高定位精度而且會嚴重降低定位精度。為了實現高精度的定位，本文采用的措施是首先控制一個壓電陶瓷驅動器，使之達到理想的精度和波形曲線，然后讓另一個壓電陶瓷驅動器參照其波形曲線進行控制。簡而言之，用一個壓電陶瓷驅動器標定另一個壓電陶瓷驅動器，使兩者協調配合。

對壓電陶瓷驅動器分別輸入三角波信號和正弦波信號，得到圖10～13所示的位移曲線和誤差曲線。三角波信號的最大誤差Error(MAX)=3.366 1 μm,誤差百分數為7.63%；平均絕對誤差為Error(AVG)=0.698 0 μm，誤差百分數為1.58%。正弦波信號的最大誤差Error(MAX)=3.244 4 μm,誤差百分數為7.67%；平均絕對誤差為Error(AVG)=0.930 9 μm，誤差百分數為2.20%。

圖10　三角波時間-位移曲線Fig.10　Curve of displacement-time

圖11　三角波誤差曲線Fig.11　Triangular wave error curve

圖12　正弦波時間-位移曲線Fig.12　Displacement time curves of sinusoidal wave

圖13　正弦波誤差曲線Fig.13　Error curves of sinusoidal wave

6　結　論

本文設計了一種新型快速伺服刀架，刀架主體采用“雙壓電陶瓷驅動器+柔性鉸鏈”構型，雙壓電陶瓷驅動器分別為刀具的進給和回復提供驅動力。針對壓電材料存在遲滯性的缺點，建立了兩個壓電陶瓷驅動器的PI模型。由于新型快速伺服刀架高頻響的優勢取決于兩個壓電陶瓷驅動器的協調配合，為此建立了PI逆模型，設計了雙壓電陶瓷驅動器的聯動控制方法，并將前饋控制與PID反饋控制相結合，構成新的控制算法對刀架的輸出位移進行定位。通過實驗分析了新型快速伺服刀架的響應頻率、響應時間、位移響應特性和定位精度，實驗表明新型快速伺服刀架的響應頻率為871.86 Hz，響應時間為0.000 45 s，三角波信號的最大定位誤差Error(MAX)=3.366 1 μm,誤差百分數為7.63%；平均絕對誤差為Error(AVG)=0.698 0 μm，誤差百分數為1.58%；正弦波信號的最大定位誤差Error(MAX)=3.244 4 μm,誤差百分數為7.67%；平均絕對誤差為Error(AVG)=0.930 9 μm，誤差百分數為2.20%。本文的研究為快速伺服刀架的研究提供了一定的理論基礎。

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李國平(1967-)，男，湖北武穴人，博士，教授，1990年、1993年于大連理工大學機械工程系分別獲得學士學位，碩士學位，2010年于浙江大學機械工程系獲得博士學位，現為寧波大學研究生院執行院長，主要從事精密定位及機電測控方面的研究。E-mail：liguoping@nbu.edu.cn

孫濤(1989-),男，安徽望江人，碩士研究生，主要從事精密加工方面的研究。E-mail：suntao_nbu@126.com

(本欄目編輯：馬健)

(版權所有未經許可不得轉載)

Model and control of high-frequency response servo tool

LI Guo-ping*, SUN Tao, QIU Hui, CHEN Bin

(TheFacultyofMechanicalEngineeringandMechanics,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

As the fast servo tool based on piezoelectric actuators only provides one-way driving force, a new fast servo tool based on dual piezoelectric actuators was designed. The two piezoelectric actuators in the fast servo tool were used to provide driving forces for feeding and recovery of tools and they were symmetrically arranged for effectively enhancing the overall stiffness of the servo tool. To control the two piezoelectric actuators, a PI model of dual piezoelectric actuators and its inverse model were established, and corresponding linkage coordinate control method was presented. Then,the PI inverse model was used as a feed-forward segment of PID feed-back control to construct a composite control to adjust the output displacement of fast servo tool . Experimental results show that the response frequency of new fast servo tool is 871.86 Hz, and response time is 0.000 45 s. When the inputting signal is a triangular wave, the maximum positioning error is 3.366 1 μm and the average absolute error is 0.698 0 μm. When the inputting signal is a sine wave, the maximum positioning error

fast servo tool； dual piezoelectric actuator；PI model； high-frequency response

2016-01-27；

2016-03-04.

浙江省自然科學基金資助項目(No.LY15E050005)；浙江省科技廳公益技術資金資助項目(No.2013C31017)

1004-924X(2016)08-1991-09

TG71; TN384

A

10.3788/OPE.20162408.1991

is 3.244 4 μm and the average absolute error is 0.930 9 μm.