快速反射鏡姿態角的高精度解算

薛樂堂，陳　濤，徐　濤,2，劉廷霞，李　博

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049)

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快速反射鏡姿態角的高精度解算

薛樂堂1,2*，陳濤1，徐濤1,2，劉廷霞1，李博1

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049)

為了提高跟瞄轉臺出射激光的指向精度，研究了快速反射鏡(FSM)姿態角與轉臺跟蹤誤差間的關系，提出了FSM姿態角的高精度解算方法。介紹了跟瞄轉臺出射激光的光路特點和FSM的工作原理；確定了坐標系中入射光與出射光的方向，依據坐標變換理論和光的反射定律，建立了FSM反射鏡姿態角與轉臺跟蹤誤差間的函數關系。然后，推導出姿態角的解析表達式，描述了姿態角的空間分布規律，并從解析表達式中推出了近似表達式，確定了近似表達式引入的指向誤差。最后，通過指向精度實驗驗證了姿態角解算方法的正確性。實驗結果表明：在跟蹤誤差不超過(A12.9′,E13.5′)時，應用姿態角解析表達式和近似表達式均能取得優于2.5″的指向精度；跟蹤誤差增大為(A38.6′,E37.8′)時，解析表達式對應的指向誤差仍低于2.5″，而近似表達式對應的指向誤差迅速增大為13.2″。得到的結果顯示：FSM姿態角的解析表達式不存在原理誤差，在任意跟蹤誤差下均能使出射激光具有高精度指向能力，且其形式簡潔，滿足伺服控制器快速運算的要求。

快速反射鏡；跟瞄轉臺；指向精度；姿態角；解析表達式

*Correspondingauthor,E-mail:xueletang2008@sina.com

1　引　言

在載車行進過程中對目標進行高精度跟瞄打擊已成為光電對抗技術的重要發展方向[1,2]。跟瞄轉臺的大慣量特點使其不能很好地消除路面顛簸對跟蹤精度的不利影響，降低了出射激光的指向精度。為了解決這個難題，除了提高轉臺的抗干擾性能，還要在系統設計時引入快速反射鏡(Fast Steering Mirror，FSM)裝置。FSM是通過快速調整反射鏡的姿態角來實時控制光束方向的裝置，它具有體積小、結構緊湊、響應速度快、精度高、帶寬高等優點[3-7]。在光電對抗系統中，FSM常被用于迅速修正由跟瞄轉臺跟蹤誤差引起的出射激光的方向誤差，以提高出射激光的指向精度。

FSM的姿態角直接影響出射激光方向，對其進行高精度解算是FSM控制的核心問題。FSM姿態角的大小與轉臺的跟蹤誤差成一定的函數關系，但目前對這一關系的研究并不透徹：相當多的文章認為兩者符合2倍關系[8-12]，但事實證明這種觀點過于粗略甚至是不準確的；有人分別從幾何分析與坐標變化的角度推導了描述兩者關系的近似公式[13-14]，其結論與實驗數據的擬合結果相吻合，但因推導過程存在近似環節而不具有普適性。雖然在跟蹤誤差較小時利用近似公式能獲得不錯的指向精度，但由于近似公式的使用范圍、誤差影響等不確定，在跟蹤誤差超過一定范圍后仍使用近似公式求解FSM姿態角可能導致出射激光錯失目標。

為解決上述難題，獲得準確的FSM姿態角表達式，本文研究了FSM姿態角與轉臺跟蹤誤差間的關系，推導出形式簡潔的FSM姿態角的數學解析式。實驗中，使用文中推導出的公式求解FSM姿態角，以驗證其實際效果。

2　FSM修正出射激光方向的原理

如圖1所示，激光束經過轉臺內部庫德鏡組的逐級反射，最后沿平行于轉臺水平軸的方向入射進FSM，經FSM反射后沿平行于轉臺視軸的方向出射，從而使出射激光隨轉臺視軸指向目標。顯然，轉臺跟瞄目標時存在的跟蹤誤差將影響出射激光對目標的指向精度。

為克服跟蹤誤差對指向精度的不利影響，可以根據轉臺跟蹤誤差的大小迅速地調整FSM的姿態角，使經FSM反射后的出射激光始終響應跟蹤誤差的變化，保持對目標的高精度指向。

3　快速反射鏡姿態控制

3.1FSM的初始位置及其姿態角

在對轉臺光路系統精密裝調時，將FSM成45°角安裝在光路中，使平行于轉臺水平軸入射的激光束經FSM反射后沿平行于轉臺視軸的方向出射，則該45°角位置定義為FSM的初始位置α1，見圖2。

轉臺跟蹤誤差的存在使得視軸不能準確指向目標(兩者間的偏角為δ)，導致原本平行于視軸方向出射的激光束也不能準確地指向目標。為保證出射激光的指向精度，可使FSM先從初始位置α1出發繞其自身方位軸旋轉角β到位置α2，再繞其俯仰軸轉動角γ到位置α3，見圖2。其中β、γ即為表征FSM空間位置的姿態角。只要δ、β、γ滿足一定關系，經FSM后的出射激光束就能再次準確指向空間目標。本文將重點研究δ、β、γ之間的關系。

圖1　系統光路中的FSMFig.1　FSM in optical paths of whole system

圖2　FSM姿態角與出射光方向Fig.2　Attitude angles of FSM and direction of emergent light

3.2坐標系及姿態角的定義

轉臺坐標系o(O)-xyz：見圖2，觀察者站在轉臺后方，目光沿視軸前視。水平軸方向定義為oz軸，向右為正向；視軸方向定義為ox軸，指向目標為正向；oy軸由右手定則確定，當視軸水平放置時，oy軸垂直于水平面并指向天頂。

3.3轉臺坐標系下的入/出射光方向

入射激光與出射激光始終在坐標系原點交匯，除坐標原點外，只要分別確定入射光路、出射光路上的一點，即可確定它們的方向。

3.3.1入射光方向

3.3.2出射光方向

圖3　跟蹤誤差與脫靶量的關系Fig.3　Relationship between tracking error and miss distance

(1)

式(1)中A、E的單位是角秒，Sp像元尺寸，其單位為微米(μm)，f為光學系統焦距，其單位為毫米(mm)。

令

K=Sp×10-3÷f×(180÷π×3 600),

(2)

則式(1)簡化為

(3)

由于文章幅面限制，下文仍以A、E表示轉臺跟蹤誤差，只在具體實驗時用MDa、MDe來具體計算A、E值的大小。

為建立入射光、出射光之間的數學關系，設目標P2距原點o的距離亦為L，則P2在轉臺坐標系內的極坐標為(A,E,L)，直角坐標為P2(LcosEcosA,LsinE,LcosEsinA)。

3.4FSM坐標系下的入/出射光方向

3.4.1轉臺坐標系到FSM坐標系的坐標變換

由圖2知，逆著oy軸俯視轉臺時，將轉臺坐標系o-xyz繞其oy軸逆時針旋轉-45°，得FSM坐標系o-x1y1z1，負號表示坐標系旋轉方向與前面定義的β角正向相反；將坐標系o-x1y1z1繞其軸oy1旋轉β角，得坐標系o-x2y2z2；將坐標系o-x2y2z2繞其軸oz2旋轉γ角，得坐標系o-x3y3z3。

設空間目標P在坐標系o-xyz、o-x1y1z1、o-x2y2z2、o-x3y3z3下的坐標分別為(x,y,z)、(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(x3,y3,z3)，則點P在不同坐標系下的坐標之間滿足式(4)、(5)、(6)所示關系。

(4)

(5)

(6)

在坐標變換過程中，后一次變換是在前一次變換的基礎上進行的，連續兩次變換的合成變換矩陣等效于用后一次變換的變換矩陣左乘前一次的變換矩陣，因此空間點的坐標從轉臺坐標系o-xyz到FSM坐標系o-x3y3z3的變換矩陣T如式(7)所示，其中T(-45°)、Tβ、Tγ分別對應式(4)、(5)、(6)中的坐標轉換矩陣，且T(β-45°)等效于TβT(-45°)。

(7)

3.4.2入/出射光路上點的FSM坐標

P1在轉臺坐標系下的直角坐標為P1(0,0,-L)，則P1在FSM坐標系內的坐標為

(8)

P2在轉臺坐標系下的直角坐標為P2(LcosEcosA,LsinE,LcosEsinA)，則P2在FSM坐標系內的坐標為

(9)

3.5光的反射

(10)

3.6FSM姿態角的解算

3.6.1姿態角的解析表達式

圖4　FSM對出射光的反射Fig.4　Reflection of emergent light by FSM

sinEsinγ+cosAcosEcosγcos(β-45°)+cosEcosγsinAsin(β-45°)=-cosγsin(β-45°),

(11)

sinEcosγ-cosAcosEsinγcos(β-45°)-cosEsinγsinAsin(β-45°)=-sinγsin(β-45°),

(12)

cosEsinAcos(β-45°)-cosEcosAsin(β-45°)=cos(β-45°),

(13)

由式(13)可得

cosEcos(A-β-45°)=cos(β-45°),

(14)

進而得到β的解析表達式(15)。

(15)

β在跟蹤誤差A-E空間的分布見圖5，因為E值較小，故其分布具有在E方向基本不變的特點。

由式(11)、(12)可得

tan 2γ=tanE/cos (A-β+45°),

(16)

進而得到γ的解析表達式(17)。

(17)

γ在跟蹤誤差A-E空間的分布見圖6，因為A、E值較小，故其分布具有在A方向基本不變的特點。

3.6.2姿態角的近似表達式

在工程實踐中，通常采用近似公式(18)、(19)計算FSM的姿態角[13-14]，該公式并不準確，雖有實驗數據驗證其在跟蹤誤差A、E較小時的可行性，但缺乏充分的理論支持。本文從前面建立的解析表達式出發，通過必要的近似得到該近似公式。

轉臺伺服系統通?？梢赃_到30′以內的跟蹤誤差，保證目標到視軸的方位偏角A、俯仰偏角E均小于30′，即A≤30′，E≤30′；而FSM轉動范圍的設計指標通常在10′以內，則FSM繞其方位軸的轉角β≤10′，繞其俯仰軸的轉角γ≤10′。

當E≤30′時，cosE≈1，則式(14)可近似為cos(A-β-45°)=cos(β-45°)，從而有

β=A/2,

(18)

這從β真值的空間分布圖5也能看出：E對β真值的影響很小，當E值符合一定條件時，β可看作只跟A有關，且滿足式(18)。

(19)

(a)任意(A,E)時的β真值(a)True value of β with arbitrary A,E

(b)沿E方向平視時β真值的3D分布(b)3D distribution of β true value when viewing along E direction圖5　姿態角β在A-E空間的分布Fig.5　Distribution of attitude angle β in the A-E space

(a)任意(A,E)時的γ真值(a)True value of γ with arbitrary A,E

(b)沿A方向平視時γ真值的3D分布(b)3D distribution of β when viewing along A direction圖6　姿態角γ在A-E空間的分布Fig.6　Distribution of attitude angle γ in the A-E space

3.6.3近似表達式引起的指向誤差

使用近似公式(18)、(19)來計算β、γ，FSM實際位置與理論位置之間必將出現誤差，從而影響出射激光的方向，產生指向誤差。出射激光在方位方向、俯仰方向的指向誤差分布分別見圖7、圖8。

(a)β近似值引起的激光指向的方位誤差(a)Azimuth error of laser pointing caused by β approximate

(b)沿A方向平視時激光指向方位誤差的3D分布(b)3D distribution of azimuth error of laser pointing when vieving along A direction圖7　近似公式引起的方位指向誤差Fig.7　Azimuth pointing error caused by approximate formulas

從圖7可以看出，出射激光的方位指向誤差大小與A近乎無關，主要與E的大小有關，當-10.7′

從圖8可以看出，出射激光的俯仰指向誤差大小與A、E均相關，只有A、E均較小(由A-E坐標面的原點向外擴展，不超過圖8中黑線)時，出射激光的俯仰指向誤差才能控制在1角秒以內，若超出這個范圍，俯仰指向誤差將成拋物線狀迅速增大。

3.6.4姿態角表達式的使用原則

近似表達式(18)、(19)形式簡單、計算量小，在跟蹤誤差A、E較小時，具有較高的指向精度，但跟蹤誤差A、E超過一定范圍后，使用近似公式將帶來很大的指向誤差；解析表達式(15)、(17)的形式較近似表達式略微復雜，但能避免引起指向精度的原理誤差。故應根據指向精度的具體要求、FSM姿態角的范圍、轉臺跟蹤誤差的大小來選擇使用解析表達式還是近似表達式，或是統一使用解析表達式來解算FSM姿態角。

(a)γ近似值引起的激光指向的俯仰誤差(a)Pitch error of laser pointing coused by γ approximate

(b)俯視時激光指向俯仰誤差的3D分布(b)3D distribution of pitch error of laser pointing by overlooking圖8　近似公式引起的俯仰指向誤差Fig.8　Pitch pointing error caused by approximate formulas

4　實　驗

為驗證FSM姿態角的解析表達式、近似表達式的正確性與實際應用效果，設計并進行了指向精度實驗。

由于該實驗意在驗證出射激光指向誤差與跟蹤誤差A、E之間的關系，故需設法降低其它誤差源對實驗結果的影響。在正式實驗前，需校準光路，使進入FSM的入射光嚴格平行于轉臺水平軸，并測定FSM的位置定點精度。

4.1光路校準

用數引定點的方式將FSM定位到其45°初始位置，再通過光路校準的必要方法與步驟，確保指示激光沿轉臺水平軸方向入射到FSM，經FSM反射后的出射激光平行于視軸出射，保證兩者的平行度不大于0.3″。

通過光路校準可有效減小并校驗射入FSM的入射激光的方向誤差。

4.2定點實驗

在定點實驗中，分別用不同的姿態角作為引導值，用數引模式控制FSM進行定位，測試定位過程中的響應時間與穩態誤差。

FSM在方位方向的穩態誤差為0.33″，響應時間為0.19 s；在俯仰方向的穩態誤差為0.17″，響應時間為0.24 s。實驗結果表明FSM具有定點誤差小、響應迅速的特性。

4.3指向精度實驗

圖9　指向精度實驗原理圖Fig.9　Principle diagram of pointing accuracy experiment

圖10　指向精度實驗使用的靶板Fig.10　Target plate used for pointing accuracy experiment

試驗在某跟瞄轉臺上進行，其光學成像系統的焦距為480 mm，所用的成像CCD的像元尺寸為20 μm×20 μm，根據式(2)可知K值為8.594 4。

試驗過程如下：

(1) 在距離轉臺1 km處設置靶板，靶板中心安裝一個亮度可調的點光源，如圖10所示；

(2) 用數引模式控制轉臺，改變視軸指向，使靶板上的點光源成像在轉臺的CCD靶面上，且呈米字形分布于CCD靶面中心周圍；

(3) 對于每個測量點，分別記錄目標的脫靶量MDa、MDe，根據式(3)將其換算成跟蹤誤差A、E，再用FSM姿態角的解析表達式(15)(17)及近似表達式(18)(19)解算出FSM的姿態角β、γ,并控制FSM進行偏轉，記錄1 km外靶板上所接收的激光光斑中心相對于點光源的距離x、y。

(4) 出射激光在方位方向上的指向誤差

ΔA=x×10-3/1 000/π×180×3 600,

(20)

出射激光在俯仰方向上的指向誤差

ΔE=y×10-3/1 000/π×180×3 600,

(21)

其中ΔA、ΔE的單位為角秒。

試驗數據見表1。為方便對比，在其它條件相同時，測量分別使用解析表達式與近似表達式求解FSM姿態角時的出射激光指向誤差。

從表1可以看出：跟蹤誤差小于(A12.9′,E13.5′)時，解析表達式與近似表達式對應的指向誤差均在2.5″以下；跟蹤誤差為(A38.6′,E37.8′)時，使用解析表達式算得的指向誤差仍不超過2.5″,但使用近似表達式得到的指向誤差最大可達13.2″。

解析表達式(15)、(17)消除了求解FSM姿態角的原理誤差，但激光射入FSM時存在的入射方向誤差、FSM的控制誤差及光斑位置的測量誤差，這些誤差將使實測的指向誤差在理論的零誤差附近波動，若要實現更高的指向精度，需設法進一步降低這3項誤差。

表1　指向精度實驗數據

5　結　論

本文根據跟瞄轉臺出射激光應具有高進度指向能力的要求，建立了FSM姿態角與轉臺跟蹤誤差之間的數量關系，獲得了形式簡潔的FSM姿態角的解析表達式，然后通過近似等效解析表達式，得到FSM姿態角的近似表達式，并指出了近似求解公式的局限性。實驗結果表明：當跟蹤誤差A、E分別為38.6′、37.8′時，使用解析表達式解算FSM姿態角，可將出射激光的指向誤差控制在2.5″內，而此時使用近似表達式解算時，對應的指向誤差為13.2″。FSM姿態角解析表達式滿足出射激光在任意跟蹤誤差下均以高精度指向目標的要求，極大地提高了出射激光的指向精度。

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薛樂堂(1980-)，男，河南社旗人，博士研究生，助理研究員，2004年于北京航空航天大學獲得學士學位，2009年于中國科學院研究生院獲得碩士學位，主要從事光電跟蹤設備的伺服控制技術研究。E-mail:xueletang2008@sina.com

導師簡介：

陳濤(1965-)，男，內蒙古赤峰人，博士，研究員，博士生導師，1987年于大連理工大學獲得學士學位，1990年、2007年于中國科學院長春光學精密機械與物理研究所分別獲得碩士、博士學位，主要從事光電精密跟蹤測量技術的研究。E-mail:chent@ciomp.ac.cn

(版權所有未經許可不得轉載)

High-precision calculation for attitude angles of fast steering mirror

XUE Le-tang1,2*, CHEN Tao1, XU Tao1,2, LIU Ting-xia1, LI Bo1

(1.ChangchunInstituteofOptics,FineMechanicsandPhysics,ChineseAcademyofSciences,Changchun130033,China； 2.UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China)

To improve the pointing precision of output laser for a tracking turntable, the relationship between the attitude angles of a Fast Steering Mirror (FSM) and the tracking error of a tracking turntable was researched and a high precision calculation method for attitude control angles of the FSM was proposed. The light path of the output laser of the tracking turntable and the operating principle of the FSM were introduced. Then, the directions of the incident light and emergent light were determined in different coordinate systems and the functional relationship between the attitude control angles and the tracking errors was derived based on the coordinate transformation theory and the reflection law of light. Furthermore, the analytical expressions of the attitude control angles were obtained, and the space distribution characteristics of the attitude angle were explained. A set of approximation expressions of the attitude control angles were derived from the analytical expressions, and the extra pointing errors caused by the approximation expressions were studied. Finally, a pointing precision experiment was performed to verify the correctness of the formulas for calculating the attitude control angles. The experimental results show that both the analytical formulas and the approximation formulas guarantee the pointing error to be less than 2.5″with the turntable tracking errors less than (A12.9′,E13.5′) .However, the approximation formulas cause the pointing errors to grow to 13.2″ and the turntable tracking errors to grow to (A38.6′,E37.8′)while the analytical formulas keep the pointing errors to be within 2.5″. It demonstrates that as terse-form analytical formulas of the attitude control angles have no principle errors, it always can output the laser beam with high precision pointing ability under any turntable tracking errors, and they show simple forms and satisfy the requirement of rapid calculation of servo controllers.

fast steering mirror; tracking turntable; pointing accuracy; attitude angle; analytic expression

2016-02-01；

2016-03-07.

吉林省自然科學基金資助項目(No.201115123);國家863高技術研究發展計劃資助項目(No.2011AA7031024G)

1004-924X(2016)08-2000-10

TH703; TN249

A

10.3788/OPE.20162408.2000