關于冪零矩陣的Kronecker積的探討

2016-10-10 07:36:48武惠俊

長治學院學報 2016年2期

武惠俊

（長治學院數學系，山西長治046011）

武惠俊

（長治學院數學系，山西長治046011）

冪零矩陣是一類特殊的矩陣，具有良好的性質.文章主要利用矩陣的特征值，給出了矩陣的Kronecker積仍是冪零矩陣的一個充分必要條件，并且得到了關于冪零矩陣的Kronecker積的冪零指數的兩個結論。

冪零矩陣；Kronecker積；特征值

1　引言

冪零矩陣是一類特殊的矩陣,具有很多優良的性質。考慮兩個冪零矩陣的Kronecker積何時仍是冪零矩陣是一個重要而有趣的問題。文章主要利用矩陣的特征值概念,給出了矩陣的Kronecker積是冪零矩陣的一個充分必要條件,并且討論了關于冪零矩陣的Kronecker積的冪零指數。

為了方便，文章在一個固定的數域P中討論，記Pn×n為數域P上的全體n階矩陣組成的集合。

2　預備知識

定義1[1]設A∈Pn×n，且A≠0,如果存在正整數k，使得Ak=0，則稱A為一個冪零矩陣，使得Ak=0成立的最小的正整數k稱為A的冪零指數。

定義2設A=（aij）m×n是m×n矩陣，B=（bij）p×q是p×q矩陣，則稱mp×nq矩陣。

為矩陣A和B的克羅內克（Kronecker）積，記為AUB。

引理1[2]矩陣的Kronecker積有下列運算性質：

由定義,不難得出：

引理2設A=（aij）m×n是m×n矩陣，B=（bij）p×q是 p×q矩陣,則或B=0。

證明：充分性：顯然。

必要性：反證法。若A≠0且B≠0,則A與B中至少都有一個元素不為零,于是AUB≠0，矛盾。

3　主要定理

定理1[3]設A，B分別為m階和n階矩陣，它們分別具有特征值λ1，…，λm和μ1，…，μn,則Kronecker積AUB的特征值是λiμj（i=1，…m；j=1，…n）。

證明：由矩陣性質可知，對任意矩陣A，B，都存在可逆矩陣P及Q，使得

其中T1，T2都是上三角矩陣，其主對角線上的元素分別為矩陣A和B的特征值λ1，…，λm和μ1，…，μn。

由定義可知，上三角矩陣的Kronecker積還是上三角矩陣，即T1UT2為上三角矩陣，并且T1UT2的主對角線上的元素恰為λiμj（i=1，…m；j=1，…n）。由引理1可知，PUQ可逆，且（PUQ）-1=P-1UQ-1于是（PUQ）-1（AUB）（PUQ）=（P-1UQ-1）（AUB）（PUQ）= （P-1APUQ-1BQ）=T1UT2，

故AUB與T1UT2相似，從而有相同的特征值，而T1UT2的特征值就是主對角線上的元素，所以AUB的全部特征值為λiμj（i=1，…m；j=1，…n）。

定理2設A∈Pn×n,則A是冪零矩陣的充要條件是A的特征值皆為0。

證明：先證必要性。設Am=0，由Schur定理,存在可逆矩陣P，使得