直驅XY平臺的改進魯棒迭代學習控制

王麗梅，孫璐

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

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直驅XY平臺的改進魯棒迭代學習控制

王麗梅，孫璐

(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

針對直驅XY平臺魯棒交叉耦合控制(CCC)系統設計迭代學習控制(ILC)器的過程中，沒有充分利用魯棒控制的有效信息增加設計復雜性的問題。依據具有不確定性的直驅系統的魯棒性條件和ILC在L2范數下的魯棒收斂條件，采用魯棒反饋控制器設計過程中保證魯棒性的性能加權函數設計單軸ILC控制器。建立了直驅XY平臺的系統模型，并給出了單軸魯棒ILC控制器和雙軸變增益CCC控制器的設計方法。與傳統ILC控制器設計相比，所提出的方法不但保證了系統的魯棒性，而且簡化了設計過程，提高了系統的跟蹤精度和輪廓精度。仿真和實驗結果驗證了所提方法的正確性和有效性。

迭代學習控制；魯棒控制；交叉耦合控制；直驅XY平臺；性能加權函數

0　引　言

永磁直線同步電機(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM) 是一種將電能直接轉化成直線運動機械能的傳動裝置，具有加速度大、控制精度高和響應速度快等優點，由其驅動的XY平臺系統在數控機床精密輪廓跟蹤中應用廣泛[1-2]。但是由于參數變化、非線性摩擦、端部效應、齒槽效應及紋波推力等因素會降低PMLSM建模的精確性，所以必須采取不依賴被控對象精確模型的有效控制方法[3-5]。

為提高XY平臺系統的輪廓精度，Koren提出的交叉耦合控制(cross-coupled control，CCC)能夠直接降低輪廓誤差[6]。研究者已經將CCC成功應用于XY平臺的輪廓加工中，效果良好[7-9]。但是單一的CCC并不能保證跟蹤精度快速準確地提高，因此必須要結合間接控制，即通過降低各單軸的跟蹤誤差間接降低輪廓誤差[10]。

迭代學習控制(iterative learning control，ILC)適用于執行重復任務的控制系統，不需要被控對象的精確數學模型，利用之前的信息改善當前的控制輸入信號，就可以實現有限區間內的完全跟蹤[11-12]。目前對于ILC的研究，多著重于學習算法的收斂性，因為ILC屬于開環控制策略，所以在實際應用中必須要與系統的反饋控制相結合，以實現系統鎮定并抑制外部擾動[13-15]。在設計ILC控制器的過程中一般不考慮被控對象，但是ILC系統的收斂性卻與被控對象的數學模型密切相關，因此ILC系統必須滿足由被控對象數學模型描述的收斂條件[16-17]。但是由于建立被控對象數學模型的過程中難免存在誤差，因此應用于實際被控對象的ILC很難保證系統的收斂。為解決上述問題，研究人員已經提出了魯棒控制與ILC相結合的各種控制方法。文獻[18]針對一類線性不確定系統，提出一種基于二維混合模型的魯棒D型ILC方法，基于LMI形式給出控制算法，利用Matlab工具箱求解控制器參數。文獻[19]提出一種帶有衰減因子的魯棒ILC方法，并采用λ范數方法分析收斂性，該方法有效地抑制了非重復測量擾動，保證跟蹤誤差收斂到0。文獻[20]利用類Lyapunov方法設計了誤差軌跡跟蹤的魯棒ILC控制器,通過魯棒限幅學習機制對不確定性進行估計和補償,實現誤差對期望誤差軌跡的全程精確跟蹤。

雖然在魯棒反饋控制系統中設計了ILC控制器，但是與魯棒性相關的信息，比如性能加權函數，沒有充分利用于ILC控制器的設計過程中。為了克服這一缺點，本文利用魯棒控制器設計過程中保證魯棒性的性能加權函數設計了單軸ILC控制器。首先，針對被控對象的不確定性提出了魯棒性條件，推導出ILC系統在L2范數下的魯棒收斂條件。然后，總結了改善跟蹤性能且滿足魯棒收斂條件的單軸ILC控制器設計標準。最后，在兩軸間設計了CCC控制器。仿真結果證明了設計的ILC和CCC控制器的有效性。

1　直驅XY平臺的數學模型

直線電機驅動XY 平臺的各單軸分別采用PMLSM驅動。PMLSM 的機械運動方程為

(1)

式中：M為動子質量；v為線速度；F=Bv+FL為總阻力，Bv為粘滯摩擦力，在直線電機運行時起主要作用的干擾，FL為其他因素的干擾；Fe為電磁推力，表示為

(2)

式中：τ為極距；λPM為定子永磁體產生的勵磁磁鏈；Kf為電磁推力系數；iq為PMLSM的q軸電流，電流內環采用勵磁分量控制策略，即id=0使動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間上正交。

根據式(1)、式(2)建立PMLSM直驅XY平臺的傳遞函數為[21]：

(3)

式中下標x、y分別為對應于X、Y軸上的各分量。

2　基于性能加權函數的魯棒迭代學習控制器設計

為了減小各單軸的跟蹤誤差，本節根據性能加權函數在各單軸的位置環設計了魯棒ILC控制器。

在如圖1所示的PMLSM反饋控制系統中，yd(t)是期望輸出，y(t)是實際輸出，u(t)是反饋控制輸入。C(s)是反饋控制器，用以保證系統的穩定性和魯棒性。G(s)是具有不確定性的被控對象，可以描述為

G(s)=(1+Δ(s)Wu(s))Gn(s)。

(4)

式中：Gn(s)是系統標稱矩陣；Wu(s)是已知的不確定性加權函數；Δ為未知的不確定性函數，滿足‖Δ‖1。

圖1　單軸反饋控制系統Fig.1　Feedback control system of single axis

利用魯棒控制理論的混合靈敏度問題設計反饋控制器C(s)，有如下引理。

引理1[22]：對于如圖1所示的反饋控制系統，其被控對象G(s)的描述如式(4)所示。那么該系統魯棒的充分必要條件是

‖WuT‖<1且。

(5)

上式等同于

‖|WpS|+|WuT|‖<1。

(6)

式中：Wp(s)是已知的性能加權函數；S(s)=1/(1+Gn(s)C(s))是靈敏度函數；T(s)=1-S(s)是補靈敏度函數。

對于如圖2所示的ILC系統，迭代控制輸入vk(t)可表示為

Vk+1(s)=Q(s)(Vk(s)+Ek(s))。

(7)

當初始迭代控制輸入V0(s)=0時，跟蹤誤差Ek(s)可表示為

Ek(s)=Yd(s)-Yk(s)。

(8)

式中Q(s)是ILC控制器，下標k是迭代次數。

圖2　單軸ILC控制系統Fig.2　Feedback-based ILC system of single axis

假設1：假設yd(t)在跟蹤過程中有界；

假設2：假設G(s)的零輸入響應為零且不隨迭代過程改變。

根據引理1，ILC系統在L2范數下的收斂條件為：

定理1：對于如圖2所示的ILC系統，其迭代學習律如式(7)所示，當k→∞時，迭代控制輸入為

v

(9)

那么該系統收斂的充分必要條件是

‖|QS|+|WuT|‖<1。

(10)

剩余誤差為

e

(11)

證明：(?充分性)對于如圖2所示的ILC系統，第k次迭代的實際輸出為

(12)

根據式(7)、式(8)和式(12)，第k+1次迭代控制輸入可表示為

(13)

同理

(14)

根據式(13)和式(14)可得

(15)

因為Q/(1+CG)=QS/(1+ΔWuT)，所以式(15)可變為

(16)

根據Parseval定理，式(16)可推導出

‖Vk+1-Vk‖2=‖vk+1-vk‖2

(17)

因為yd(t)有界，所以v1(t)也有界，則如圖1所示的反饋控制系統具有魯棒性。因為Q(s)穩定，所以對于所有的k，式(15)中的vk(t)均有界。那么，若滿足條件

(18)

則當k→∞時，迭代控制輸入vk(t)在L2范數下收斂于v(t)=L-1{V(s)}，如式(9)所示。將式(14)中的Vk(s)和Vk+1(s)換成V(s)，即可得到V(s)的收斂結果。根據式(7)和式(9)可得剩余誤差e(t)=L-1{E(s)}，如式(11)所示。因為如圖1所示的反饋控制系統具有魯棒性，所以可根據引理1將式(18)變成式(10)的形式。

(19)

選擇合適的V0(s)和Yd(s)，滿足

(20)

(21)

根據Parseval定理，式(21)可推導出

(22)

同理可得，對于所有的k均有‖Vk+1(s)-Vk(s)‖2≥‖Vk(s)-Vk-1(s)‖2。所以，若式(10)不成立，則迭代控制輸入隨著k的增加發散。因此，式(10)是ILC在L2范數下收斂的必要條件。

證畢。

注1：因為S(s)、Wu(s)和T(s)在設計C(s)時已經確定，所以式(10)是否成立僅取決于Q(s)。為了保證收斂性、魯棒性和收斂速度，Q(s)應該嚴格小于等于1，因此可將其設計為一個低通濾波器。

將收斂的迭代控制輸入v(t)加入到ILC系統，系統輸出為

Y

Yd(當Q→1時)。

(23)

也就是說，Q(s)越接近于1，y(t)跟蹤yd(t)的效果越好，e(t)越接近于0。當Q(s)=1時跟蹤效果最好，因此可將Q(s)設計為幅值為1的低通濾波器，為改善跟蹤性能，其帶寬應遠大于yd(t)的帶寬。

根據定理1，利用性能加權函數設計ILC系統的收斂條件為：

定理2：對于如圖2所示的ILC系統，假設Wp(s)為Q(s)，其迭代學習律如式(7)所示，當k→∞時，迭代控制輸入為

v

(24)

那么該系統收斂的充分必要條件是

‖|WpS|+|WuT|‖<1。

(25)

剩余誤差為

e

(26)

證明：將定理1中的Q(s)換為Wp(s)，定理2即可得證。

根據定理2，可以利用設計反饋控制器C(s)時的性能加權函數Wp(s)直接設計ILC控制器Q(s)。與其他方法相比，該方法不需要單獨設計Q(s)就能夠保證ILC系統的魯棒收斂。然而，當且僅當Wp(s)的幅值小于等于1時定理2才成立。由式(26)可知，當Wp(s)的幅值大于1時，剩余誤差將大于學習之前的誤差，而且在設計反饋控制器時，為減小跟蹤誤差，選取的Wp(s)幅值通常都大于1。因此，為解決上述問題，需要對定理2做出如下修改。

定理3：對于如圖2所示的ILC系統，其迭代學習律如式(7)所示，當k→∞時，迭代控制輸入如式(9)所示。那么該系統收斂的充分必要條件是

‖Q(s)/Wp(s)‖≤1。

(27)

剩余誤差如式(11)所示。

證明：由引理1和式(11)可得

|QS|+|WuT|≤|WpS|+|WuT|<1。

(28)

因為C(s)保證了反饋控制系統的魯棒性，所以式(27)成立就可以保證式(10)成立。

一般來說，在設計魯棒反饋控制器時使用的性能加權函數Wp(s)包含了控制系統的相關信息，例如控制帶寬、跟蹤誤差等。因此根據以上命題推導出利用Wp(s)設計Q(s)的3點標準如下：

1)Q(s)是幅值為1的低通濾波器，以保證系統的魯棒性會讓收斂性，減小剩余誤差；

2)Q(s)的帶寬應遠大于yd(t)的帶寬，以改善系統的跟蹤性能；

3)Q(s)的截止頻率應小于等于Wp(s)的截止頻率，以保證Q(s)的階次大于等于Wp(s)的階次。

根據以上3點標準設計出的Q(s)，其對數幅頻特性如圖3所示。該ILC控制器不僅保證了ILC系統的魯棒收斂，而且減少了計算量。

圖3　Q(s)的對數幅頻特性Fig.3　Frequency properties of Q(s)

3　交叉耦合控制器設計

3.1輪廓誤差模型

根據Koren和Lo在文獻[6]中提出的變增益CCC方法設計CCC控制器，該控制器在跟蹤非線性輪廓時，可以根據指令輪廓的變化調節修正補償增益，從而改善輪廓精度。

變增益CCC中任意軌跡輪廓誤差的幾何關系如圖4所示。ρ為指令位置R處的曲率半徑，O為ρ對應的圓心，坐標為(XO,YO)，θ為R處的切線與X軸的夾角。

則實際位置P的坐標 (XP,YP) 可以表示為：

(29)

(30)

任意軌跡指令的近似輪廓誤差ε可表示為

ε=cxex+cyey。

(31)

式中CCC增益cx和cy分別定義為：

(32)

式中ρ、ex和ey都隨指令軌跡的位置改變，因此cx和cy也會隨指令軌跡的位置改變。

圖4　任意軌跡輪廓誤差幾何關系圖Fig.4　Geometric diagram of contour error of random path

3.2變增益CCC控制器設計

直驅XY平臺控制系統框圖如圖5所示。圖中Cx(s)、Cy(s)和Qx(s)、Qy(s)分別為上一節設計的X、Y軸反饋控制器和ILC控制器，用以補償跟蹤誤差。KC(s)為CCC控制器，用以補償輪廓誤差，然后分解成X、Y軸的補償分量，再與跟蹤誤差量相加后得到控制輸入ux(t)和uy(t)。CCC增益cx和cy的具體形式見式(32)。

4　仿真及結果分析

本文各單軸所用的PMLSM相同，系統標稱矩陣為

(33)

經試湊，選擇不確定性加權函數為

(34)

選擇的性能加權函數為

(35)

圖5　直驅XY平臺控制系統框圖Fig.5　Block diagram of direct drive XY table

利用Matlab中魯棒工具箱計算的反饋控制器為

Cx(s)=Cy(s)=

(36)

此時‖|WpS|+|WuT|‖=0.316 4。根據第2節提出的3點標準ILC控制器為

(37)

此時‖|QxS|+|WuT|‖=‖|QyS|+|WuT|‖=0.148 4，滿足魯棒收斂條件。

CCC控制器為

(38)

期望輸出為四葉草軌跡，各單軸的期望輸出為

(39)

設定每次迭代時，系統擾動為-10～10 N的隨機值。

設置初始控制輸入ux0(t)=uy0(t)=0，迭代次數為8。

迭代過程中，跟蹤誤差的均方根如圖6所示，從圖中可以看出，雖然在隨機擾動下被控對象模型不確定模型，但是設計的反饋控制器Cx(s)、Cy(s)和ILC控制器Qx(s)、Qy(s)能夠有效地減小各單軸的跟蹤誤差，并使其收斂于0。輪廓誤差的均方根如圖7所示。從圖中可以看出，設計的CCC控制器KC(s)能夠有效地減小輪廓誤差，并在ILC下使其基本收斂于0。

圖6　跟蹤誤差的均方根Fig.6　The RMS of tracking error

圖7　輪廓誤差的均方根Fig.7　The RMS of contour error

圖8為利用本文設計的反饋控制器、魯棒ILC控制器和CCC控制器進行圓形輪廓跟蹤后，期望輪廓和實際輪廓的對比圖。從圖中可以看出，實際輪廓與期望輪廓在8次迭代后就幾乎可以重合，實現了準確的輪廓跟蹤。

圖8　期望輪廓與實際輪廓Fig.8　Desired and the actual contour

5　實驗及結果分析

為了進一步驗證所提出控制方法的有效性，本文采用兩臺相互垂直的Kollmorgen公司的IC11-050A1系列PMLSM進行實驗研究，其參數、位置給定、參數設置與仿真時相同。XY平臺實驗系統的硬件接線圖如圖9所示。各單軸位置傳感器均采用美國GSI公司的Micro-E Mercury II 1600-40型光柵編碼器，運動控制卡嵌入上位PC機的PIC插槽中，X-RS232為PC與X軸驅動器的通訊口，Y-RS232為PC機與Y軸驅動器的通訊口，通過連接對應的通訊口調試每個軸的驅動器。

測試系統采用脈沖觸發方式，實驗所采用的直線電機為每個脈沖移動0.5 μm。在程序中將光柵尺采集的實際位置X與測試系統的脈沖數N做如下轉換

N=X/0.5。

(40)

迭代前后，各單軸的跟蹤誤差如圖10所示，從圖中可以看出，X軸的跟蹤誤差大約從0.01 m減小到0，Y軸的跟蹤誤差大約從0.02 m減小到0。迭代前后，輪廓誤差如圖11所示，從圖中可以看出，輪廓誤差大約從0.015 m減小到0。

圖10　迭代前后的跟蹤誤差Fig.10　Tracking error before and after ILC

圖11　迭代前后的輪廓誤差Fig.11　Contour error before and after ILC

6　結　論

本文為提高直驅XY平臺伺服系統的跟蹤精度和輪廓精度，首先利用性能加權函數在各單軸的設計了魯棒ILC控制器，通過ILC重復執行任務直接減小跟蹤誤差，不僅保證了ILC系統的魯棒收斂，而且簡化了設計的復雜性。然后利用變增益CCC方法在兩軸間設計了CCC控制器，直接減小輪廓誤差，使實際輪廓隨迭代過程不斷逼近期望輪廓。仿真結果表明，設計控制器的有效性，在簡化設計的同時，不但保證了系統的魯棒收斂，而且提高了跟蹤精度和輪廓精度。

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(編輯：劉琳琳)

Improved robust iterative learning control of direct driven XY table

WANG Li-mei，SUN Lu

(School of Electrical Engineering,Shenyang University of Technology,Shenyang 110870,China)

In the direct-driven XY table system of robust cross-coupled control (CCC),the designing process of iterative learning control (ILC) controller does not fully make use of the effective information of robust control,thus it increases the complexity.In order to solve this problem,the ILC controllers were designed in each axis with the performance weighting function that ensures the robustness,according to the robust condition of the direct-driven system with uncertainty and the robust convergence condition of the ILC in L2norm sense.Model of the direct-driven XY table system was established,and the designing methods were proposed both for the robust ILC controller in each axis and for the vary-gain CCC controller between two axes.Compared with the traditional ILC,this method guarantees the robustness,simplifies the process and improves the tracking and contour performances.At last the simulation and experiment results show the effectiveness of the proposed method.

iterative learning control(ILC)；robust control；cross-coupling control(CCC)；direct-driven XY table；performance weighting function

2015-09-07

國家自然科學基金(51175349)；遼寧省高等學校優秀人才支持計劃資助(LR2013006)

王麗梅(1969—)，女，教授，博士生導師，研究方向為交流伺服系統、智能伺服控制方法、直線伺服電機及其控制方法、無傳感器控制方法以及電氣運動控制等；

孫璐(1990—)，女，碩士，研究方向為直接驅動技術、迭代學習控制算法。

王麗梅

10.15938/j.emc.2016.09.001

TM 315

A

1007-449X(2016)09-0001-08