一種改進的變步長LMS算法及在車內降噪中的應用

崔婷玉，陳衛松,丁緒星，武　闖，張　麗

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖241000)

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一種改進的變步長LMS算法及在車內降噪中的應用

崔婷玉，陳衛松,丁緒星，武闖，張麗

(安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖241000)

為了提高傳統最小均方(LMS)算法的收斂速度，減小穩態誤差，基于Sigmoid函數，提出一種改進步長因子μ的方法。該方法通過建立步長因子μ和誤差信號e之間的非線性函數關系，并利用指數函數表示誤差信號e和可控參數，實現對步長因子μ進行調整。算法收斂初期步長因子μ相對較大，實現加快算法收斂速度的目的；算法收斂后期適度減小穩態階段步長因子μ，以達到減小算法穩態誤差的目的。將該算法應用于車內噪聲的有源控制，并與LMS算法進行仿真比較分析。仿真結果表明，相對于傳統LMS算法，該算法有效地加快了收斂速度，同時提高了系統的穩定性。

LMS算法;SVSLMS算法;變步長;車內噪聲

0　引言

隨著人們生活質量的提高，人們對于乘用車乘坐舒適度的要求也越來越高。對于乘用車來說，車內噪聲主要來源于發動機和車身震動輻射到車內的噪聲，以400 Hz以下的低頻噪聲為主。自適應主動噪聲控制系統在低頻噪聲領域已獲得廣泛的應用，是一種有效的乘用車車內降噪方法。在自適應主動噪聲控制系統中，多采用LMS算法。LMS算法的步長μ是固定值，步長μ取值大，收斂速度快，但穩態誤差較大，反之，步長μ取值小，穩態誤差較小，但收斂速度越慢。所以，LMS算法的收斂速度和穩態誤差是一對矛盾。

為解決該問題，研究人員提出很多種改進的變步長LMS算法，文獻[1]中提出的基于Sigmoid函數變步長SVSLMS算法是其中具有代表性的變步長LMS算法之一。該算法具有較快的收斂速度，但是Sigmoid函數在誤差信號e(n)接近零時變化太大，容易產生較大的穩態誤差。文獻[2]中針對SVSLMS算法的不足進行改進，通過減小穩態階段的調整步長μ，有效地減小穩態誤差，但是與SVSLMS算法相比，改進后的算法計算復雜度高，收斂速度提高較小。文獻[3]中提出一種基于步長和誤差信號之間的非線性關系的雙曲線正切函數變步長LMS算法，該算法有較小的穩態誤差，但是收斂速度提高較小。文獻[4]中提出一種步長和誤差信號呈正弦函數關系的變步長LMS算法，解決了LMS算法不能同時具有較快收斂速度和較小穩態誤差的矛盾，但是參數選取缺乏理論依據，只能通過實驗來獲得。文獻[5-13]中用不同的方法提出步長因子μ和誤差信號e之間的非線性函數關系的變步長LMS算法，這些算法在改變步長μ(n)時均遵循基本調整原則：在初始收斂階段，采用大的步長，加快收斂速度，穩態階段，采用較小的步長，降低穩態誤差。針對這種調整原則，本文在文獻[2]算法基礎上提出一種新的變步長LMS算法，能夠有效地提高初始階段收斂速度，減小穩態誤差。

1　改進的變步長LMS算法

文獻[1]提出一種基于Sigmoid函數的變步長LMS算法-SVSLMS算法，其步長μ(n)為：

(1)

式中，e(n)為誤差信號，α、β為常數。

SVSLMS算法的收斂范圍0<β<2/λmax(λmax是輸入信號自相關矩陣的最大特征值),克服了傳統LMS算法的收斂速度慢的不足，但是在穩態階段的步長較大，容易引起穩態失調。

文獻[2]在文獻[1]基礎上提出了一種改進的變步長LMS算法，步長μ(n)為：

(2)

式中，α為控制函數形狀的常數，β為控制函數取值范圍的常數。

該算法符合變步長算法調整準則，收斂范圍0<β<1/λmax,克服了SVSLMS算法的穩態誤差較大的不足，但是收斂速度提高較小。

(3)

在初始收斂階段，為了加快收斂速度，將文獻[2]變步長函數中固定值1調整為可控值exp(α)，當α>0，exp(α)>1，所以在條件相同的情況下，改進后的算法在初始階段步長較大，為符合當誤差函數e(n)取零時，步長也為零，將文獻[2]算法中的固定值2調整為h/exp(α)。因為μ(n)<[β·exp(α)]，所以本文算法β·exp(α)的最大值[β·exp(α)]max=1/λmax,本文算法收斂條件為α>0,0<[β·exp(α)]<1/λmax。

圖1中圖(a)、(b)是3種算法的步長和誤差關系比較圖。

(a)α=1.5，β=0.000 05,3種算法比較曲線

(b)α、β取不同值，3種算法比較曲線圖1　3種算法步長與誤差關系比較曲線

圖中，曲線1代表SVSLMS算法，曲線2代表文獻[2]算法，曲線3代表本文算法，為了便于比較，將圖1(a)中3種算法的參數α和β取相同值，α=1.5，β=0.000 05.初始階段誤差值e(n)相同時，曲線3的步長最大，使得本文算法收斂速度最快，在穩態階段，誤差值e(n)相同時，曲線3的步長小于曲線1但大于曲線2，穩態誤差小于SVSLMS算法但大于文獻[2]算法。所以本文算法克服了SVSLMS算法穩態誤差大的問題，同時也彌補了文獻[2]算法收斂速度提高較小的不足。

為了從數學角度更好地分析本文算法，根據本文參數變化規律α,β均取較大值，有利于加快本文算法初始收斂速度。圖1(b)中SVSLMS算法取值為α=2，β=0.5情況下，文獻[2]算法最佳取值為α=6，β=0.2，本文算法最佳取值為α=1.7，β=0.05，h=4，圖1(b)顯示在初始階段，誤差值e(n)相同時，曲線3的步長最大，使得本文算法收斂速度最快，在穩態階段，誤差值e(n)相同時，曲線3的步長最小，獲得穩態誤差最小，所以本文算法優于另外2種算法。

圖2、圖3和圖4分別是當參數h、α和β取不同值時，變步長μ(n)和誤差函數e(n)的關系圖。從圖2中可以看出，h在初始階段對步長影響較小，它對步長函數的底部有很大的影響，也就是說，在穩態階段，它對步長有較大的影響。如果h的值越大，步長在曲線底部改變得就越慢，誤差函數e(n)趨于零時，步長μ(n)越小，穩態誤差越小。反之，h的值越小，穩態誤差越大。所以結合文獻[2]和仿真結果取h=4。圖3和圖4表明，α和β參數的調整對初始階段步長影響較大，決定了算法的收斂性能，但α和β的調整對步長大小的影響不同，α和β參數均需調整。當α和β取值越大，初始階段的步長就越大，算法的收斂速度就越快。相反，α和β取值越小，初始階段的步長就越小，算法的收斂速度就越慢。所以本文算法的步長參數調整規則如下：在滿足算法不發散的前提下，選取較大的α、β和較小的h，可使算法具有較快的收斂速度和跟蹤速度。反之，選取較小的α、β和較大的h，會使算法具有較小的穩態失調。實際應用中，根據具體的情況，選擇適當的h、α和β值，才能達到最佳的效果。

圖2　 h改變時μ(n)和e(n)的關系圖

圖3　 α改變時μ(n)和e(n)的關系圖

圖4　β改變時μ(n)和e(n)的關系圖

2　仿真研究結果分析

2.1收斂性能和抗噪能力仿真比較分析

為了驗證本文算法在不同信噪比條件下的收斂性能和抗噪能力，對本文算法和另外3種算法進行仿真對比實驗。仿真條件如下：為說明文中算法對處理信號的選取具有一般性，輸入信號選用被噪聲信號干擾的隨機信號,其中噪聲信號r(n)為方差為1、均值為零的高斯白噪聲,濾波器階數為8。為了平衡收斂速度和穩態誤差，固定步長LMS算法的步長μ=0.00 001。由于另外3種算法的α和β取值不具有一般性，在滿足0<[β·exp(α)]<1/λmax范圍內隨機取相同值α=1.5，β=0.00 005。α和β取值如圖1(a)所示，4種算法在信噪比為10和15時誤差函數的MATLAB仿真結果如圖5所示。

圖5(a)和(b)中曲線1代表LMS算法，曲線2代表SVSLMS算法，曲線3代表文獻[2]算法，曲線4代表本文算法，在圖5(a)中，曲線4誤差e(n)收斂于n=200，穩態誤差e(n)<1，另外3條曲線n=200未收斂，穩態誤差e(n)>1。圖5(b)中，曲線4收斂于n=50，另外3條曲線n=50時未收斂，曲線4穩態誤差e(n)最小。仿真結果可以得出，相同條件下，曲線4的收斂速度要最快，穩態誤差最小，結果進一步驗證了本文算法收斂速度快和抗噪能力強的特點。與固定步長的LMS算法相比，本文算法的計算量增加了四次指數運算、兩次除法運算和四次加法運算。

圖5　不同信噪比條件下，4種算法收斂曲線對比

2.2車內噪聲控制仿真分析

為了分析本文算法在車內降噪中的應用，在車內錄取一段噪聲信號導入MATLAB程序中，采用LMS算法和本文算法對車內噪聲信號進行自適應濾波降噪。

仿真條件如下：讀取噪聲信號前1 000個采樣點,選取輸入信號和期望信號中的前100個采樣點作為訓練點構建自適應濾波器，隨機選取未參與訓練的采樣點進行自適應濾波降噪處理。經過多次實驗，LMS算法的固定步長最佳取值為μ=0.1，本文算法參數α，β取值為α=4，β=5。基于LMS算法和本文算法的自適應濾波降噪結果如圖6所示，圖4中細實線為經過自適應LMS濾波器處理后的誤差信號波形，粗虛線為經過本文算法構建的自適應濾波器處理后的誤差信號波形。

圖6　2種算法的誤差信號波形

圖6中分別是LMS算法和本文算法在自適應濾波過程中的誤差波形曲線，它表明了自適應濾波過程中誤差的變化過程。由圖6可知自適應LMS濾波中的誤差波形(細實線)達到穩態誤差的速度明顯比本文算法誤差曲線(粗虛線)要慢，同時本文算法在迭代過程中的誤差值明顯小于LMS算法。

通過建立基于LMS算法和本文算法的自適應濾波器，并應用于車內噪聲的主動控制的結果比較表明，本文算法抵消原始車內噪聲效果較好，對LMS算法在迭代步長取值矛盾問題有所改善，具有更快的算法收斂速度和較小的穩態誤差。

3　結束語

提出了一種改進的變步長LMS算法，針對傳統LMS和SVSLMS算法在收斂速度和穩態誤差方面存在的不足，該算法在SVSLMS算法的基礎上，通過調節可變參數值，達到動態選取步長大小的目的，有效提高了算法的收斂速度，降低了算法的穩態誤差，同時提高了算法在車內降噪應用中的降噪能力。該算法在后期需要在算法復雜度方面進行研究改進，減小相應計算量。

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An Improved Variable-step-size LMS Algorithm and Its Application for Reducing Noise in Vehicles

CUI Ting-yu，CHEN Wei-song，DING Xu-xing，WU Chuang，ZHANG Li

(College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu Anhui 241000，China)

In order to improve the convergence speed and reduce the steady-state error of the traditional least mean square (LMS) algorithm，a method is proposed to improve the step factor μ based on the Sigmoid function.In the algorithm，a nonlinear relationship is established between the step factor μ and the error signal e.The error signal e and controllable parameters are expressed in exponential form to adjust the step size factor μ.The step factor μ is relatively large in the initial convergence stage to speed up convergence of the algorithm.In the later convergence stage，the step factor μ is moderately reduced to achieve the purpose of reducing the steady-state error.The proposed algorithm is applied to the active control of vehicle interior noise.The control effect of the algorithm is compared with that of the LMS algorithm.The simulation results show that the proposed algorithm accelerates the convergence rate and improves the stability of the system.

least mean square (LMS) algorithm；sigmoid variable step-size LMS (SVSLMS) algorithm；variable step size；vehicle interior noise

10.3969/j.issn.1003-3114.2016.05.20

引用格式：崔婷玉，陳衛松,丁緒星，等.一種改進的變步長LMS算法及在車內降噪中的應用[J].無線電通信技術,2016,42(5):80-84.

2016-06-06

國家自然科學基金項目(61401004)；安徽師范大學研究生科研創新與實踐項目(2014yks063)

崔婷玉(1991—)，女，碩士研究生，物聯網技術專業，主要研究方向：有源噪聲控制。陳衛松(1973—)，男,副教授，碩士生導師，主要研究方向：音頻信號處理及噪聲控制。

TN911.23

A

1003-3114(2016)05-80-5