基于動態極值理論和Copula函數的極端海平面高度預測建模

汪楊駿，侯太平，張 韌,2，錢龍霞，王 鋒，龍 強

(1. 解放軍理工大學 氣象海洋學院，江蘇 南京 211101；2. 南京信息工程大學 氣象災害預報預警與評估協同創新中心，江蘇 南京 210044；3. 河北省唐山市曹妃甸工業區氣象局，河北 唐山 063000)

基于動態極值理論和Copula函數的極端海平面高度預測建模

汪楊駿1，侯太平1，張 韌1,2，錢龍霞1，王 鋒3，龍 強3

(1. 解放軍理工大學 氣象海洋學院，江蘇 南京 211101；2. 南京信息工程大學 氣象災害預報預警與評估協同創新中心，江蘇 南京 210044；3. 河北省唐山市曹妃甸工業區氣象局，河北 唐山 063000)

全球氣候變化背景下，海平面上升是一個潛在的重大風險，為防范氣候災害，應對極端氣象海洋事件，需客觀、定量地對未來極端海平面變化進行科學預測。為此，基于Copula函數和動態極值分析理論，綜合考慮平均海平面變化(包括垂直陸地運動和基準的局地變化)與潮、涌、浪等其他氣候變化的增水對極端海平面高度的影響，采用DREAM方法改進Bayes推斷對動態極值模型的參數空間估計問題，提出一種新的模型對未來極端海平面高度變化進行預測，旨在改進傳統模型存在的不確定性問題，并運用該模型對氣候變化背景下廈門地區未來35年的海平面變化情景進行了模型應用和實驗模擬。

極端海平面高度；動態極值模型；DREAM方法；Bayes推斷；Copula函數

Abstract: In the context of global climate change, sea level rise is a potentially major risk. In order to prevent the climate disasters,and to deal with extreme weather events, it is necessary to objectively and quantitatively predict the future extreme sea level changes. To this end, based on the theory of Copula function and that the dynamic extreme value analysis, the authers of this paper have made comprehensive consideration of the influence of the mean sea level changes (including the vertical land movement and the baseline) and the changes of the water level of the tide, surge and wave,and used Bayes method to improve the parameter estimation of DREAM. A new method is proposed to predict the future extreme sea level changes, and the proposed method is used to improve the existing problem of the traditional method, and a model is used to simulate the sea level changes in Xiamen area in 35 years.

Keywords: extreme sea level； dynamic extreme value model； DREAM； Bayes inference； Copula function

極端海平面事件是指由惡劣天氣氣候(如大風)引起的沿岸洪水、風暴潮、高水位事件等。不同于平均海平面高度緩慢持續的變化，極端海平面高度的變化對沿海城市和港口有著直接而顯著的影響。據國家海洋局公布的《海洋災害公報》顯示，僅2014年我國沿海共發生風暴潮過程9次，造成直接經濟損失135.78億元，死亡6人(含失蹤)。隨著我國“一帶一路”計劃的展開，作為“海上絲綢之路”重要聯接節點的沿海港口城市將迎來巨大的發展機遇，但與此同時，更為聚集的人口、密集的基礎設施，使得這些港口城市在遭受極端事件時所面臨的災害也更加嚴重。因此，科學、準確地預測未來極端海平面高度變化成為十分迫切的需求。

研究表明極端海平面高度變化的趨勢與平均海平面高度變化趨勢基本一致[1-2]。也有學者指出極端海平面高度變化大于平均海平面高度[3-4]，并認為這可能是由于局地的氣候變化引起的[5]。Menendez等[6]指出ENSO對太平洋地區和季風區的極端海平面高度的年際變化有重要的影響；在歐洲南部，NAO對極端海平面高度變化也有顯著負反饋作用[1]；Ullmann等[4]指出在卡馬圭，受由歐洲中部海平面氣壓上升引起的偏南風影響，年最大海平面上升速率是平均海平面變化的兩倍；Abeysirigunawardena等[5]指出自20世紀70年代中葉以來，受強PDO正位相影響，年海平面高度極值變化趨勢是年平均海平面的兩倍。除上述氣候尺度的海平面變化特征外，多數學者認為風暴潮增水對極端海平面高度有著更為顯著地影響[7-9]。

極端海平面高度變化有許多預測方法，如Hunter[10]采用耿貝爾極值分布模型和全球海平面的模式預估數據，分析了2100年全球平均極端海平面高度期望及其頻率變化，由于全球尺度上，無需考慮局地氣候因素影響，因此風暴潮的影響也可被假定為固定不變。Tebaldi等[8]采用半經驗公式和POT極值分布模型分別求得2050年美國沿岸海平面高度和風暴潮增水變化，兩者求和得到美國沿岸極端海平面高度變化。Menendez等[11]采用動態廣義極值分布模型預估了2020年極端海平面高度季節變化情況。汪楊駿等[12]采用耿貝爾極值分布模型借助Arcgis平臺預估了2050年中國寧波地區極端海平面高度變化及其造成的損失。

上述研究從多空間、時間尺度開展了極端海平面高度預測，但仍存在一些問題亟待解決。第一，局地尺度上影響極端海平面高度的因素主要有平均海平面高度(包括陸地的垂向運動和基準的變化)、浪、潮、涌的變化以及氣候變化引起的極端海平面高度變化，這些要素的數據來源不盡相同，數據存在較大不確定性，即便簡單相加也會造成誤差增大，且其不確定性也無法衡量。第二，相對于靜態極值分布，動態極值分布含有的參數空間維度更高，如何有效地對高緯度、高非線性的參數進行最優估計，尚未有效解決。針對上述問題，本文通過計算未來海平面高度平均分布和浪、潮、涌以及氣候變化引起的極端海平面高度的動態極值分布，采用Copula函數求得未來極端海平面高度的聯合分布，用積分期望作為海平面高度的預測值；針對傳統的最大似然估計方法參數估計時難以滿足正則條件的問題[13]，引入Bayes推斷方法進行參數估計以更有效獲取綜合樣本和先驗信息，將Bayes推斷和DREAM方法結合以求解高維動態極值分布的最優參數空間。

1 研究方法與技術途徑

IPCC AR5在其特別報告中指出未來極端海平面高度變化是由平均海平面高度變化與極端海平面增水(如風暴潮、天文大潮、浪等)綜合作用而成[14]。

圖1 未來極端海平面高度預測流程圖Fig. 1 The flow chart of future extreme sea level forecast

方法步驟和技術流程如圖1所示。首先對原始數據(包括相對海平面高度的多模式集合預估值、陸地垂直運動的多模式集合預估值以及極端海平面增水年最大觀測資料)進行預處理，通過Copula模型求得平均高海平面的預測高度及其概率分布，采用動態極值理論預測未來給定重現期的極端海平面增水及其概率分布(其中用Bayes推斷對廣義極值分布模型進行參數估計，DREAM算法求得各參數后驗分布)；最后采用Copula模型聯立得到未來極端海平面高度及其概率分布從而對極端海平面高度的期望進行預測。

1.1 數據處理

采用CMIP5多模式預估結果作為相對平均海平面高度預測值和陸地垂直運動高度預測值。對于浪、潮、涌及局地氣候變化引起的極端海平面增水，作如下處理：

1)選取研究區域的驗潮站站點的逐時和逐月海平面高度數據。

2)即使是統一驗潮站，其數據依然存在重復記錄、數據缺省、驗潮零點的變動、明顯的異常值和不同的采樣間隔等問題。因此要對驗潮站數據進行誤差訂正。

3)訂正后的驗潮站記錄包含平均海平面高度的變化以及浪、潮、涌及局地氣候變化引起的海平面增水變化。這里采用逐時海平面高度數據減去年平均海平面高度數據，剔除平均海平面高度變化的影響，將其作為浪、潮、涌及局地氣候變化引起的海平面增水變化數據集。

4)從該數據集中選取歷年最大值，作為極端海平面增水的歷史觀測資料。

1.2 Copula理論

Copula函數描述的是時變量間的相關性，實際上是一類將聯合分布函數與它們各自的邊緣分布函數連接在一起的函數。Copula函數最早由Sklar提出，用不同邊緣分布的變量來構造聯合分布[15]。其定義如下：令F為一個n維的邊緣分布函數集F1，F2，…，Fn，對于所有的實數x，這些邊緣分布存在一個聯合分布函數C，即

若F1，F2，…，Fn都連續，則存在唯一的函數C。

根據Sklar定理，可以自由地把任意n個邊緣分布函數構成一個n元的聯合分布函數。選取9個Copula函數作為連接函數，這9個函數涵蓋了目前應用中的大部分，其特性及定義如表1所示。前7個Copula函數(Clayton，Ali-Mikhai-Haq(AMH)，Gumbel，Frank，Joe，A12，A14)隸屬于阿基米德函數簇，其中A12, A14由Nelsen在1999提出[16]。Farlie-Gumbel-Morgenstern(FGM)和Gauss為非阿基米德函數簇。

表1 本文所采用的Copula函數定義及參數空間Tab. 1 Definition and parameter domain of the Copula used in this paper

采用最大似然估計法對上述Copula函數進行參數估計，用AIC[17](Akaike information criterion)方法和Genest-Rivest方法[18]進行擬合優度檢驗，選取最優的Copula函數。

1.3 平均海平面高度

1.4 浪、潮、涌及局地氣候變化引起的極端海平面增水

1.4.1 動態極值模型

其中，[a]+=max[a,0]，μ為位置參數，ψ>0為尺度參數，ξ為形狀參數。廣義極值分布模型根據ξ的不同可分為三種不同的分布形狀：ξ=0為Gumbel分布；ξ>0為Fréchet分布；ξ<0為Weibull分布。

值得注意的是，式(3)中位置參數μ(t)是時間的函數，這意味著該廣義極值分布模型有隨時間變化的特性，故可稱為動態極值分布模型；相比于靜態極值分布模型，動態極值分布模型加入了“時變”的因子，使得模型用于對未來狀態的預測時更為靈活、準確。

未知參數μ(t)的選取，Renard等[21]提供了多種可供選擇的函數諸如多項式函數、分段函數等。水文氣象文獻中，當研究極端事件發生頻率變化趨勢時，μ(t)常取線性或對數-線性模型[22]。因此，本文未知參數μ(t)定義如下：

通過動態極值分布模型，用如下公式計算特定重現期R的極端增水。

1.4.2 Bayes推斷模型

根據式(5)可以求得浪、潮、涌及局地氣候變化引起的極端增水。采用貝葉斯推斷方法求解式(5)中的參數空間。傳統的參數估計方法如矩估計法、最大似然估計法、概率加權矩估計法、L矩估計法等，以樣本為出發點，把未知參數θ為未知常數，在一定的統計模型下作出統計推斷。而Bayes方法首先采用一個先驗分布去描述未知參數θ，在得到樣本觀測值之后，由樣本觀測值與先驗分布提供的信息得到未知參數θ的后驗分布。相比于傳統估計方法，Bayes統計推斷方法有以下優點：1)一般而言，極值具有較少的觀測數據，若直接用較少的數據對統計模型中參數進行估計會有較大的偏差。在此情況下，先對未知參數的分布有一個較全面的認識，再結合較少的極值觀測值，能得到較好的參數估計。2)由于未知量必然存在不確定性，Bayes推斷方法可以采用概率與概率分布客觀的描述未知量的不確定性。

假設各觀測值是相互獨立的，則用Bayes估計參數的函數關系可表示如下：

這個夜晚左小龍特別難熬，還有一只不懂事的蚊子在他的左手中指上咬了一口，那一口恰好咬在骨頭斷裂的位置，還不能撓，真是生不如死。有的時候疼好忍，但癢就不好忍了，忍還不能撓是最不能忍的。左小龍在這個時候想起了泥巴。他突然想，不知道這個小姑娘現在怎么樣了。明天應該去找找她，告訴她自己受傷了，當然，是在見完黃瑩的情況下。

在使用Bayes公式時(式(6)、(7))，遇到兩個問題：第一，關于先驗分布的選取問題；第二，邊緣密度函數積分計算的問題。為此，采用非信息的正態分布作為μ1，μ0，ψ的先驗分布，采用N(0，0.32)作為ξ的先驗分布[21]。而關于邊緣密度函數的積分運算，當θ維度較高，即使使用數值積分方法，計算也比較困難，因此引入DREAM(diffe rential evolution adaptive metropolis algorithm)方法[23]解決該這一問題。

1.4.3 DREAM算法

對于復雜Bayes推斷的后驗分布求解，傳統方法主要采用MCMC(markov chain monte carloalgorithm)方法[24]。Braak等用DE-MC(differential evolution markov chain)方法[25]改進了傳統的MCMC方法，這種算法加快了傳統MCMC方法的運算與收斂速度。而DREAM方法在DE-MC方法的基礎上，基于一個群進化架構，采用自適應差分進化學習策略對傳統的MCMC進行改進，可以同時運行多個不同的鏈開展全局搜索，且自動調整目標函數隨機搜索的范圍和方向，大大增強了傳統MCMC方法對于復雜、多維問題搜索的能力。

DREAM算法的計算步驟如下：

1)采用先驗分布生成初始種群{xi,i=1，…，N}

2)計算概率密度函數p(xi)，i=1，…，N。

FORi←1,...,NDO (CHAIN EVOLUTION)

3)在每一條鏈i中產生一個候選點yi，

其中，δ意味著產生建議點的對數，而r1(j)，r2(n)∈{1，…，N}，且對于j，n=1，…，δ，r1(j)≠r2(n)。e和ε的值分別取自Ud(-b,b)和Nd(0,b*)，b和b*為目標函數的一個細小偏差。而γ為躍遷系數，取決于δ和d'，d'為更新的維度。

4)采用二項分布式以1-CR的概率，將每一維度上的建議值yi用xi替換。其中CR為遺傳算法中的交換率。若CR=1，則所有維度都更新，即d'=d。

5)計算p(yi)和候選點上的α(yi，xi)，α(yi，xi)為Metropolis比值。

6)若α(yi，xi)可接受，則xi=yi，否則xi保持不變。

END FOR(CHAIN EVOLUTION)

7)利用IQR[26](Inter-Quartile-Range)統計方法剔除離群數據鏈。

通過DREAM，可以得到各個參數的概率密度函數，用MC方法進行抽樣帶入式(5)，即可求得在特定重現期R下未來時間t時極端海平面增水高度。

1.5 極端海平面高度

2 案例分析

基于上述研究思想對廈門2050年極端海平面高度進行預測。

2.1 2050年廈門平均海平面高度預估

2050年廈門相對海平面高度預估值如表2所示。由于廈門的陸地垂直運動不明顯，為計算方便假設由此引起的海平面高度變化為0。因此，可用表2結果擬合得到2050年廈門相對海平面高度符合正態分布(結果通過置信度為99%的k-s檢驗，p-value=0.939 4)，其概率密度函數表示如下：

表2 多模式對2050年廈門相對海平面高度預測Tab. 2 Multi-model prediction of relative sea level in Xiamen in 2050

注：① 溫室氣體排放情景，是對未來氣候變化預估的基礎。IPCC評估報告采用新一代情景稱為“典型濃度目標”(representative concentration pathways，RCPs)。這里representative代表許多種可能性中的一種可能性，用 concentration 而不用輻射強迫是要強調以濃度為目標，pathways則不僅僅指某一個量而且包括達到這個量的過程。4 種情景稱為RCP8.5、RCP6、RCP4.5及RCP2.6。其中，RCP8.5指輻射強迫上升至8.5 W/m2，2100年CO2當量濃度達到約1 370×10-6；RCP6指輻射強迫上升至6 W/m2，2100年CO2當量濃度達到約850×10-6；RCP4.5指輻射強迫上升至4.5 W/m2，2100年CO2當量濃度達到約6 500×10-6；RCP2.6指輻射強迫上升至2.6 W/m2，2100年CO2當量濃度達到約490×10-6。

圖2 樣本鏈收斂情況Fig. 2 Convergence of the sample chain

2.2 2050年廈門極端海平面增水預估

選取廈門驗潮站1954-1997年海平面高度逐時資料(資料源：夏威夷大學海平面高度中心(UHSLC)：http://ilikai.soest.hawaii.edu/uhslc/datai.html)，資料本身已經經過訂正，可以直接用于研究。將逐時資料與年平均值相比，剔除平均海平面高度變化的影響后，得到1954-1997年年最大海平面高度歷史觀測資料。將其代入式(3)、(4)的動態極值模型中，通過Bayes推斷和DREAM算法計算得到各參數的特性及分布情況。

圖3 各參數的后驗概率密度Fig. 3 The posterior probability density of the parameters

圖4 各參數的分布空間Fig. 4 Distribution space of each parameter sample

變量名平均值標準差μ02.43450.1306μ10.00300.0026ψ0.40210.0359ξ-0.01140.0300

2.3 2050年廈門極端海平面高度預估

將上述求得的參數樣本通過計算機輸入到式(5)中，并令重現期R=100a，t=2 050a，便可得到2050年廈門百年一遇的海平面極端增水樣本預估值。而通過式(10)可得到等量的平均海平面高度樣本。引入Copula模型來計算兩者的聯合概率密度。采用表1所示9種Copula函數代入計算，通過AIC準則和Genest-Rivest方法選取了Frank Copula作為連接函數，其中Genest-Rivest檢驗結果如圖5所示。

圖5表征的是廈門地區2050年平均海平面高度與海平面極端增水聯合概率密度的Frank Copula函數的Genest-Rivest檢驗結果。如圖5所示，該FrankCopula函數理論估計與經驗估計擬合較好。絕大部分點都分布在45°對角線附近，因此可以作為廈門2050年平均海平面高度與極端海平面增水概率密度函數的連接函數，將其代入式(9)，通過計算機運算得到2050年廈門百年一遇極端海平面高度分布情況如圖6所示。

圖5 Genest-Rivest方法檢驗結果(廈門)Fig. 5 Test result of Genest-Rivest method in Xiamen

圖6 2050年廈門百年一遇極端海平面高度概率密度Fig. 6 Probability density of a-hundred-year return period extreme sea level in Xiamen in 2050

圖6表征了2050年，廈門遭遇的百年一遇極端海平面高度的分布情況。從圖中可以得到，廈門遭遇百年一遇的極端海平面高度概率密度整體呈現出中間大，兩頭小的“鐘形結構”，發生的期望為4.92 m，其95%置信區間為4.40～5.63 m。

廈門地區現采用的極端海平面預測模型，是在假設極端海平面增水不變的情況下，將當前測得的百年一遇的極端海平面高度線性疊加上未來平均海平面高度的變化[27]，按照此方法得到2050年廈門地區極端海平面度應為4.72 m。本文模型在考慮了極端海平面增水變化因素后，得到2050年廈門地區極端海平面高度期望為4.92 m，其95%置信區間為4.40～5.63 m。

在防波堤的建設過程中，若設計標高過小則不能有效防范極端高水位事件，從而對當地的經濟與人員安全造成威脅，而設計標高過大則會提高建設成本。采用動態極值理論和Copula函數對極端海平面高度進行建模預測，相比于其他預測模型，該模型得到的廈門市未來百年一遇的極端海平面高度是一條概率密度曲線。因此結合risk-cost-benefit的分析方法就可以對不同設計標高下防波堤建設成本與其所能抵御的極端海平面事件的損失進行量化比較，從而實現效益最大化。

3 結 語

針對傳統方法在分析極端海平面高度變化時存在的問題和局限，提出一種新的未來極端海平面高度預測模型。通過分析和案例計算得到如下結論：

1)通過引入動態極值模型來對極端海平面高度預測，較好體現了極端海平面高度隨時間變化的特性。

2)引入Bayes方法對模型參數空間進行估計，可以綜合考慮局地水文經驗來改善樣本量少帶來的不確定性。同時，得到的結果是各參數的分布，而非一個特定的值。能夠盡可能提取樣本的信息以刻畫參數的不確定性，為衡量誤差提供了一種簡捷的技術途徑。

3)DREAM算法所具有的高維全局搜索能力，可加速最優參數空間的搜索效率，使構造的動態極值模型可以更為復雜，所包含的物理統計信息可以更為完備。

4)引入Copula函數來求解兩個變量的聯合分布，用期望和概率分布代替單一加權平均。能夠有效減少誤差，更好地刻畫極端海平面變化的不確定性。

5)利用該預測模型對廈門地區2050年極端海平面高度情況進行了預測。結果顯示，2050年，廈門遭受百年一遇的極端海平面高度的期望為4.92 m，95%的置信區間為4.40～5.63 m，可將此作為設計防波堤高度的輔助決策支持。

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Prediction modeling of extreme sea level based on dynamic extreme value theory and Copula function

WANG Yangjun1， HOU Taiping1， ZHANG Ren1,2， QIAN Longxia1， WANG Feng3， LONG Qiang3

(1. Institute of Meteorology and Ocean, PLA University of Science and Technology, Nanjing 211101, China; 2. Collaborative Innovation Center on Forecast Meteorological Disaster Warning and Assessment, Nanjing 210044, China;3. Meteorological Bureau of Caofeidian Industrial Zone, Tangshan 063000, China)

1005-9865(2016)04-0062-09

P731.23

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.04.009

2015-08-04

氣象水文預先研究項目(407010602)；唐山市曹妃甸工業區專項(CQZ-2014001)

汪楊駿(1990-)，男，碩士研究生，從事海洋環境風險評估研究。E-mail：492670449@qq.com

張 韌，教授，博士生導師，從事海洋環境影響評估與決策研究。E-mail: zrpaper@163.com