符號大O與符號小o的探究

佘梓航

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州　521041）

符號大O與符號小o的探究

佘梓航

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州521041）

文章旨在介紹符號大O及符號小o的定義.通過比較它們的不同，指出學生們在學習大O及小o會遇到的問題，并結合具體的例子探討如何解決這些問題.

高階無窮小；同階無窮??；符號大O；符號小o

1　引言

眾所周知，高等數學是理科生重要的必修課程之一，而在高等數學中，極限理論扮演著舉足輕重的角色，它是微分學和積分學的基礎.學生們學習極限理論的過程當中，他們必然會接觸到高階無窮小量與同階無窮小量的知識，也因此會接觸到符號大O及符號小o（下文將簡稱為大O小o）.但由于“無窮小的比較”的現有定義有多種表達形式［1］，不同的老師對于“無窮小之比”的理解也不盡相同，這也在無形中導致了學生們對該理論的不理解.本文將先從現有定義對大O及小o進行探討，指出現有定義存在的不足.介紹現有較為合理的定義［1］.同時，指出學生在學習它們時所遇到的問題，通過適當的例子與說明解決這些問題.

2　大O與小o的定義

大O符號是由德國數論學家Paul Bachmann在1892年著作《解析數論》中首先引入［2］.之后在德國的另一位數學家Edmund Landau的著作中被推廣.由此為啟發，Edmund Landau在1909年又介紹了小o符號，因此它們有時又稱為Landau symbols.從20世紀50年代開始它們被應用于應用數學中的漸近分析.到如今已經被數學家廣泛使用，大O符號一般用來刻畫被截斷的無窮級數，它描述的是函數數量級的漸近上界.小o符號比大O符號需要的條件更強，它代表的是收斂速度更快的函數類.下面將開始對大O及小o進行討論.

華東師范大學《數學分析》（第四版，上冊）［3］中給出如下的定義：

則稱f為當x→x0時的無窮小量.

3　學習大O小o會遇到的問題及解答

3.1現有定義的不嚴謹

首先，從定義本身的內容講起，上述的定義并不是很嚴謹.由定義1可以知道，當x→0時，是無窮小量，但是根據定義2并不能比較 f（x）與 f（x）本身的關系.因為只要當x按照數列趨向于0，便會有（無論n多大）.由于分母不能夠為0，于是也無法判斷f（x）與 f（x）之前的關系（更多例子見文［4］）.但事實上 f（x）與 f（x）是同階無窮小量，于是必須適當的修改一下該定義，擴大其外延使得可以滿足要求.文［1］提出了將無窮小量進行分類，分為第1類無窮小（在Uo（x0）內 f（x）≠0）和第2類無窮小（無論δ多小，必有x1∈Uo（x0）使得 f（x1）=0），同時改進了無窮小的相關定義，解決了該問題.利用文［1］中的定義進行講解，能夠使得學生不會在思考中陷入混亂，從而更好的理解符號大O和小o的含義.

其次，符號小o和大O的定義出現的順序也容易讓學生產生誤解.從定義2中可以知道，小o代表的是高階無窮小量，而在同階無窮小量的定義出現后立刻出現大O的定義，容易讓別人誤以為大O便是代表同階無窮小.其實不然，大O并不等于同階無窮小.大O的定義中確實包含了同階無窮小量的定義，大O的適用范圍比同階無窮小的范圍大.因此，在教學過程中，可以先講解大O的定義，再從大O的定義中提煉出同階無窮小的定義，這樣會減少上述問題的發生.

3.2學生學習大O小o時遇到的問題

根據以往的教學經驗，大學生們在學習大O小o時容易遇到以下的問題：

問題一：無窮小量中的x是否必須趨向于0？

問題二：小o代表高階無窮小，是否需要定義高階無窮大？

問題三：大O和同階無窮小有什么區別，是否可以只定義大O而不定義同階無窮??？

問題四：f（x）=O（g（x）（或o（g（x））中的“=”是否代表相等？

問題五：既然大O不是代表同階無窮小，那么大O與小o是否沒有聯系？

3.3學生遇到問題的解答

（1）問題一的解答

解答問題一，可以由定義直接解決.定義1～3都是利用Uo（x0）去進行定義，x0是多少并沒有規定，也即x0可以是0或者∞，如 f（x）=x-2，在x→2時也是無窮小量.

（2）問題二的解答

在解答問題二之前，必須先解釋一下什么是無窮大量？無窮大量簡單來講就是以∞（+∞或-∞）為非正常極限的函數（包括數列）.如在x→0的時候便是無窮大量.其實，高階無窮大量的概念包含在高階無窮小量之中.根據定義2，如果存在，稱 f（x）為g（x）的高階無窮小量.假設在某個Uo（x0）內， f（x）≠0，于是，上述的極限可以改為，也即說明了當 f（x）為g（x）的高階無窮小量時，g（x）則為f（x）的高階無窮大量，所以并不需要再定義高階無窮大量.

（3）問題三的解答

在3.1中已經闡明了大O和同階無窮小的關系.從定義中也可以知道，對于x∈Uo（x0），大O的使用必須滿足，，M≥0；而同階無窮小必須滿足，其中K,L＞0.它們最大的不同在于可否為0.下面將通過一個例子來說明它們之間的不同.

例1當x→0時， f（x）=x2+x，g（x）=x2，z（x）=x，試說明 f（x），g（x），z（x）之前的關系.

解：當x→0時，g（x）=O（f（x），此時g（x）卻為 f（x）的高階無窮小量；

但是對于f（x）和z（x），f（x）=O（z（x），此時f（x）也是z（x）的同階無窮小量.

因此，由上述例1可以知道，大O和同階無窮小是不同的.如果 f（x）中包含有多項，大O強調的是在x→x0中影響最大的項，而同階無窮小量強調的是相同的收斂速度.大O在計算數學和計算科學方面用得非常的多，因此，不能只定義大O或同階無窮小的任意一個.

（4）問題四的解答

f（x）=O（g（x）（或o（g（x））中的“=”并不代表相等，是表示屬于的意思.其實

因此，

也正由于O（g（x）和o（g（x）都是代表滿足條件的某類函數，因此大O和小o所代表的都是一種定性的關系.對于定量與定性的關系，文［5］通過泰勒公式的余項，對定性與定量進行了說明，同樣也能夠對問題四進行回答.

（5）問題五的解答

大O和小o之間肯定是有聯系的.其實，根據定義1～2，對任意的ε＞0，存在δ＞0，當

4　總結

在符號大O與符號小o的學習中，雖然學生們會遇到各種各樣的問題.但是只要牢牢把握住它們的定義，通過適當的例子去進行比較，便可以清楚的區分高階無窮小、同階無窮小以及大O與小o的區別.另一個方面，對于數學專業的老師，必須加強在課堂教學中理論聯系實際的能力，通過現實生活中應用到的例子進行講解，這樣能夠讓學生更好的理解.下面舉出例子可以供學生在課堂上討論，以便更好的區分大O與小o.

例2［6］已知當x→a時， f（x）＞0.證明：

（a）o（o（f（x））=o（f（x）；（b）O（o（f（x））=o（f（x）；

（c）o（o（f（x））=o（f（x）；（d）o（f（x）+O（f（x）=O（f（x））

特別的，對于統計專業的學生，在概率論的學習中還將會遇到大OP以及小oP，下標P表示依概率收斂（見文［7］）.它們會在大數定理和中心極限定理的證明中發揮重要的作用，同樣，在現在較為前沿的統計研究中也經常用到符號OP及符號oP進行證明，如：股票的協波動率估計量.因此，統計專業的老師也可以適當的給學生們講解符號OP及符號oP在熱門問題中的應用，從而達到既讓學生掌握符號大O與符號小o所代表的含義、又培養學生科研能力的效果.

［1］潘建輝，鄧志穎，楊春德.“無窮小的比較”的定義及其改進［J］.大學數學，2011，27（3）：204-208.

［2］WIKIPEDIA.Big O notation［EB/OL］.（2015-11-29）［2015-11-30］.https：//en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation.

［3］華東師范大學數學系.數學分析（第四版，上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2010：60-64.

［4］龔冬保.高階無窮小與低階無窮小——無窮小比較的一個問題［J］.高等數學研究，2000，3（3）：16.

［5］許紹元.泰勒公式的余項的定性與定量形式——談談在大學數學教學中如何培養學生的創新能力［J］.韓山師范學院學報，2014，35（3）：73-77.

［6］吉米諾維奇，李榮涷.數學分析習題集［M］.李植，譯.北京：高等教育出版社，2010：47-48.

［7］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2011：208-215.

The Discussion of BigONotation and SmalloNotation

SHE Zi-hang
（Shool of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

The aim of this paper is to introduce the definitions of the bigOnotation and the smallonotation.Their differences are compared to show some of the problems which the students encountered in learning bigOnotation and smallonotation.Solutions are discussed by using some examples.

infinitesimal of higher order；infinitesimal of the same order；bigOnotation；smallo notation

G 64；O 17

A

1007-6883（2016）03-0019-04

責任編輯朱本華

2015-12-02

佘梓航（1989-），男，廣東潮州人，韓山師范學院數學與統計學院助教.