一種求解分段常數(shù)Robin系數(shù)的數(shù)值方法

馬衍波

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州　521041）

一種求解分段常數(shù)Robin系數(shù)的數(shù)值方法

馬衍波

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

考慮分段常數(shù)的Robin反問題的數(shù)值求解，由于TV正則化泛函在0點(diǎn)不可導(dǎo)，其數(shù)值算法的設(shè)計(jì)是很大的挑戰(zhàn).文章給出一種自適應(yīng)的TV泛函，該泛函綜合了Tikhonov正則化方法和TV正則化方法的優(yōu)點(diǎn).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法對(duì)分段常數(shù)的Robin反問題的恢復(fù)有較好的效果.

Robin系數(shù)；Tikhonov正則化；反問題

考慮Laplace方程的Robin邊界問題

帶有Robin邊界條件的Laplace方程可用來(lái)刻畫眾多實(shí)際應(yīng)用，如對(duì)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)建?；蛟诎雽?dǎo)體研究中模擬金屬硅之間的導(dǎo)電性.關(guān)于其理論及數(shù)值研究已吸引眾多學(xué)者關(guān)注［1，2］.相對(duì)于正問題，若已知u在部分邊界上的值u0=u|Γ，其中Γ0?Γ，且Γ0?Γ1=Φ.重構(gòu)恢復(fù)Robin系數(shù)p的過程就構(gòu)成

0了一個(gè)反問題，稱為Robin反問題.該反問題來(lái)源于半導(dǎo)體裝置［3，4］、各種無(wú)傷檢測(cè)［5-7］.

Robin反問題是一個(gè)不適定問題，即使觀測(cè)數(shù)據(jù)的微小變化，也會(huì)造成恢復(fù)數(shù)據(jù)的巨大變化，即解不連續(xù)依賴于給定數(shù)據(jù).由于其不適定性，該問題的研究充滿了挑戰(zhàn)性，幾十年來(lái)對(duì)其理論研究和數(shù)值算法已取得了眾多成果［8-14］.而針對(duì)非光滑的Robin系數(shù)，基于全變差的非線性反問題的數(shù)值方法得到了很多學(xué)者的重視［15-18］.

由于TV正則化泛函在0點(diǎn)不可導(dǎo)，所以其數(shù)值算法的設(shè)計(jì)是很大的挑戰(zhàn).考慮到Tikhonov正則化方法和TV正則化方法的優(yōu)缺點(diǎn)，給出一種自適應(yīng)的TV方法，將Tikhonov正則化方法和TV正則化方法的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，該方法對(duì)分段常數(shù)的Robin反問題的恢復(fù)有較好的效果.

1　邊界積分方程及其離散化

首先，引入令?=?（x,y）為二維Laplace方程的基本解，由格林公式，得到如下積分方程

該積分方程含有dΓ（x）是定義在邊角上的指標(biāo)函數(shù)，滿足

定義

假定平面域的邊界Γ為光滑的，即設(shè)Γ=｛z（t）：t∈［0,1］｝,其中，z：R→R2為2π周期光滑函數(shù)，且z為定義［0，1］上的單射函數(shù)，滿足z'（t）≠0,?t∈［0,1］.令

可得到參數(shù)化的積分算子

及

其中，對(duì)向量a=（a1,a2），有a⊥=（a2,-a1）.

用中點(diǎn)積分公式對(duì)積分進(jìn)行離散并用中心差分商對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似.讓積分區(qū)間［0，1］被分為N等份［（i-1）h,ih］,i=1,2,…N，離散步長(zhǎng)為h=1/N，則離散點(diǎn)為ti=（i-1/2）h,？i=1,2,…,N.假設(shè)

記u和p分別是Γ上的函數(shù)u（t），Γ1上的函數(shù)p（t）的離散形式，它們分別為

記離散數(shù)據(jù)為

用中點(diǎn)積分公式進(jìn)行離散，分別記積分核函數(shù)Kd和Ks的離散矩陣為D和S.故而算子方程式的離散形式為

2　自適應(yīng)泛函

其中

注意：這里的pi是p（ti）的近似值，且p0=0，pm4-m3+1=0.

令

則有

這里Ei表示矩陣E的第i行.

引進(jìn)向量e（p）=R0A（p）-1f-u0，上述泛函（1）可以簡(jiǎn)寫為殘差項(xiàng)和正則項(xiàng)之和

該正則泛函充分考慮了ROF模型和l2模型的優(yōu)勢(shì)：當(dāng)|pi+1-pi|?β，說(shuō)明函數(shù)在該點(diǎn)處梯度變化較大，可能存在斷點(diǎn)，相應(yīng)的正則分量接近|pi+1-pi|，可以充分利用TV正則的優(yōu)勢(shì)處理斷點(diǎn)的恢復(fù)；而|pi+1-pi|?β說(shuō)明函數(shù)在該點(diǎn)處梯度變化不大，此時(shí)相應(yīng)的正則分量接近||pi+1-pi||2/β，故此時(shí)可以充分利用l2范數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)，使得近似解具有一定的光滑性.

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用高斯牛頓法討論橢圓域上的Robin反問題的數(shù)值恢復(fù).在本實(shí)驗(yàn)中，設(shè)其具有標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)表示

實(shí)驗(yàn)中固定a=1，b=0.2.分別給定Γ0及Γ1為

函數(shù)g（t）為

在本實(shí)驗(yàn)中，選擇有兩個(gè)斷點(diǎn)和三個(gè)斷點(diǎn)的分段常數(shù)的Robin參數(shù)分別為p1（t）和p2（t）.具體如下

考慮不同噪聲級(jí)數(shù)下的恢復(fù)情況，各實(shí)驗(yàn)中正則參數(shù)α的選取由偏差原理給出.給出了不同噪聲水平下的系數(shù)恢復(fù)情況.

當(dāng)所給噪聲級(jí)別δ=5%時(shí)不同情形下的恢復(fù)效果見圖1，其中對(duì)左圖的恢復(fù)經(jīng)過55次迭代，相對(duì)誤差為1.3%，而對(duì)右圖經(jīng)過70次迭代，相對(duì)誤差為1.6%.

圖1　噪聲級(jí)別δ=5%時(shí)的恢復(fù)效果

當(dāng)所給噪聲級(jí)別δ=10%時(shí)不同情形下的恢復(fù)效果見圖2，其中對(duì)左圖的恢復(fù)經(jīng)過86次迭代，相對(duì)誤差為2.1%，而對(duì)右圖經(jīng)過90次迭代，相對(duì)誤差為3%.

圖2　噪聲級(jí)別δ=10%時(shí)的恢復(fù)效果

當(dāng)所給噪聲級(jí)別δ=15%時(shí)不同情形下的恢復(fù)效果見圖3，其中對(duì)左圖的恢復(fù)經(jīng)過100次迭代，相對(duì)誤差為4.3%，而對(duì)右圖經(jīng)過113次迭代，相對(duì)誤差為5.2%.

圖3　噪聲級(jí)別δ=15%時(shí)的恢復(fù)效果

4　結(jié)論

自適應(yīng)的TV泛函充分考慮了TV模型和l2模型的優(yōu)勢(shì)，在可能存在斷點(diǎn)的地方，充分利用TV正則的優(yōu)勢(shì)處理斷點(diǎn)的恢復(fù)；而在不是斷點(diǎn)的地方，可以充分利用l2范數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)，使得近似解具有一定的光滑性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)也說(shuō)明了這一點(diǎn).

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Numerical Method of Piece-wise Constant Robin Coefficient

MA Yan-bo
（School of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

In this paper，we consider a numerical method for reconstructing piecewise constant Robin coefficients.A novel adaptive Total Varition functional is proposed based on the Tikhonov functional and Total Varition functional.The numerical expriments are presented to illustrate its distinct features.

Robin coefficient；Tikhonov regularition；inverse problems

O 241.82

A

1007-6883（2016）03-0023-06

責(zé)任編輯朱本華

2016-01-14

國(guó)家自然科學(xué)基金（項(xiàng)目編號(hào)：11271238）.

馬衍波（1978-），男，山東巨野人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士.