基于空間頻率域非局部總變差的壓縮磁共振圖像

張寶強 蔡述庭

?

基于空間頻率域非局部總變差的壓縮磁共振圖像

張寶強 蔡述庭

（廣東工業大學自動化學院）

非局部總變差本質上是一種局部去噪方法，該方法的不足是無法利用整幅圖像的冗余性來進一步減少噪聲方差。為獲得一個更加真實有效的非局部解決方法，以傅里葉變換為依據，在非局部總變差的基礎上提出一種新的變分模型，這種方法稱為空間頻率域非局部總變差。該算法歸結為最小二乘數據擬合、空間頻率域非局部總變差和小波系數正則化的最小化線性組合。在模型求解方面，利用快速組合算法可實現快速收斂，提高算法的求解速度。經仿真驗證，該算法處理速度更快，圖像復原效果更好，可用于壓縮磁共振圖像復原中。

磁共振圖像；非局部總變差；傅里葉變換；快速組合分裂算法

0　引言

目前，磁共振成像由于對軟組織有極好的分辨率和對人體沒有電離輻射損傷等優點，廣泛應用于醫療診斷。然而從最近的壓縮感知理論[1]發展可知，采用高度欠采樣空間方法不僅能夠精確地修復磁共振（magnetic resonance，MR）圖像，并且可大幅度地縮短掃描時間[2]。非局部總變差（nonlocal total variation，NLTV）本質上是一種局部去噪方法，它能夠在不破壞原始圖像顯著特征的情況下有效去除噪聲，從而保留圖像的更多細節和結構特征。本文在NLTV[3-4]模型的基礎上提出了一種空間頻率域非局部總變差（spatial-frequency nonlocal total variation ，SFNLTV）模型[5]。SFNLTV模型在視覺效果和信噪比方面比NLTV模型好，且SFNLTV模型選取的參數對整幅圖像產生的影響不大。

1　非局部總變差模型

非局部總變差壓縮磁共振圖像的復原表達式為

其中，正則化參數和為2個正數；為局部傅里葉變換；為原始磁共振圖像；為空間欠采樣數據的量度；為小波變換[6-7]。

非局部（nonlocal，NL）算子的主要思想是將梯度和散度2個傳統的局部定義，通過圖論的相關思想擴展到非局部，使用非局部平均（nonlocal means ，NLM）[8]方法計算像素間的相似度以得到各像素相互間的權重，從而構造非局部梯度算子和非局部散度算子。令，，，NL算子定義為

(2)

非局部散度算子定義為

(3)

(,)為權重函數，非負且對稱的非局部變量，用來表示,之間的差異。如果2個像素之間的結構越相似，則權重系數(,)越大，反之亦然。(,)的表達式為

其中，為濾波參數；為標準差為的高斯核，計算方法

因此，NLTV半范數可表示為

(6)

2　改進的圖像去噪算法

2.1空間頻率域非局部總變差模型

為了能在MR圖像中獲得更好的復原結果，本文在NLTV模型的基礎上引入傅里葉變換[9]，即空間頻率域非局部總變差模型。空間頻率域非局部總變差壓縮磁共振圖像的復原表達式為

空間頻率域總變差模型的正則化表達式為

(8)

定義的傅里葉變換為，可得

(9)

(11)

(12)

(13)

首先，令

(15)

結合(14)和(15)，可得

2.2SFNLTV-FCSA算法

快速組合分裂算法[11]（fast combination splitting algorithm，FCSA）是一種快速迭代收縮閾值算法，其最大特點是能夠實現算法的快速收斂。由于這個特點，使得它與SFNLTV模型組合成SFNLTV- FCSA算法。

SFNLTV-FCSA算法的具體流程：

2)循環開始，迭代次數=1,2,...,；

①分別求鄰近映射1、2的值，

；

=+1；

3　實驗分析

3.1可視化比較

設定正則化參數和的值分別為0.001和0.035，同時給定輸入參數和，是最終結果。用峰值信噪比（PSNR）衡量復原圖像的質量

選取塊大小均為256像素×256像素的心臟磁共振圖像、大腦磁共振圖像、胸部磁共振圖像、動脈磁共振圖像，在采樣比均為20%的情況下進行實驗，同時把本文提出的SFNLTV-FCSA算法與共軛梯度法CG[13]、TVCMRI[14]、RecPF[15]和NLTV-FCSA等算法進行對比。為了能夠很好地進行比較，除了CG的計算復雜度很高，只迭代運行10次外，其他方法迭代運行50次，圖1~圖4表示使用不同的處理方法獲得的不同視覺效果。

Original?????CG ?????TVCMRI

RecPF?????NLTV-FCSA ?????SFNLTV-FCSA

Original????? CG????? TVCMRI

RecPF ?????NLTV-FCSA????? SFNLTV-FCSA

Original ?????CG ?????TVCMRI

Original ?????CG????? TVCMRI

3.2CPU運行時間和SNR

本文提出的SFNLTV-FCSA算法與共軛梯度法CG、TVCMRI、RecPF和NLTV-FCSA等算法在CPU運行時間和信噪比方面的性能比較如圖5所示。表1、表2給出了在每個實驗重復進行100次的情況下，使用不同方法得到的不同CPU運行時間和SNR。由圖5可知，采用SFNLTV-FCSA算法花費的時間更少，但卻獲得了更好的視覺效果，在CPU運行時間和SNR方面比NLTV-FCSA要好；而CG由于迭代計算復雜度較高，獲得的復原效果也最差，RecPF僅比TVCMRI略好一點，比NLTV-FCSA要差一些。

圖5 (a)　心臟圖像

(b)大腦圖像

(c)胸部圖像

表1　重復100次實驗信噪比的比較 （單位：dB）

表2　重復100次實驗CPU運行時間比較 （單位：s）

4　結語

本文提出一種高效的壓縮MR圖像復原算法。首先，SFNLTV-FCSA能有效解決SFNLTV項和L1范數項復合正則化問題，也更容易應用在其他醫學圖像領域。其次，快速組合分裂算法在每次迭代的過程中計算復雜度只有(plog())，其中表示復原圖像中的像素值，明顯提高了計算效率。然后，它具有很強的收斂性，使壓縮MR圖像復原方法比以前的方法執行效率更高。最后，通過實驗證明，SFNLTV-FCSA算法在精確度和復雜度方面比一些經典的算法效果更好。此外，由于正則化參數和都是手動固定的，在未來工作中將盡力根據需求自我調整正則化參數，以求圖像達到最好的復原效果。

[1] 劉海英.基于壓縮感知理論的高光譜圖像重建和超分辨成像技術研究[D].西安:西安電子科技大學,2014.

[2] Lustig M, Donoho D, Pauly J M. Sparse MRI: The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J]. Magnetic Resonance in Medicine, 2007, 58(6):1182-1195.

[3] 徐煥宇,孫權森,夏德深.基于非局部總變差的消除不規則采樣遙感圖像復原方法[J].測繪學報,2012,41(2):232-238.

[4] Lou Y, Zhang X, Osher S, et al. Image recovery via nonlocal operators[J]. Journal of Scientific Computing, 2010,42(2): 185-197.

[5] Hu H, Froment J. Nonlocal total variation for image denoising[J]. Photonics & Optoelectronics, 2012:1-4.

[6] 張軍,成禮智,楊海濱,等.基于紋理的自適應提升小波變換圖像壓縮[J].計算機學報,2010,33(1):184-192.

[7] 宋佳偉,徐煜明,肖賢建.基于小波變換和迭代反向投影的超分辨率算法[J].計算機技術與發展,2015,25(2):74-77.

[8] 楊帆.圖像非局部均值濾波去噪和修復算法的改進研究[D].南昌:南昌航空大學,2015.

[9] 司禎禎.傅里葉變換與小波變換在信號去噪中的應用[J].電子設計工程,2011,19(4):155-157.

[10] 茆曉軍,王軍鋒,劉興釗.基于梯度下降法的ISAR最小熵相位校正算法[J].現代雷達,2008,30(1):40-43.

[11] Huang J, Zhang S, Metaxas D. Efficient MR image reconstruction for compressed MR imaging[C]// International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention. Springer-Verlag, 2010: 135-142.

[12] 余平洋.共軛梯度算法的收斂性研究[D].鄭州:鄭州大學,2013.

[13] Ma S, Yin W, Zhang Y, et al. An efficient algorithm for compressed MR imaging using total variation and wavelets[C]// 2008:1-8.

[14] Yang J, Zhang Y, Yin W. A fast alternating direction method for TVL1-L2 signal reconstruction from partial Fourier data[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2010, 4(2):288-297.

[15] Huang J, Yang F. Compressed magnetic resonance imaging based on wavelet sparsity and nonlocal total variation[J]. Proceedings, 2012, 5(1):968-971.

Compressed Magnetic Resonance Image Based on Nonlocal Total Variation Spatial-Frequency Domain

Zhang Baoqiang Cai Shuting

(Institute of Automation, Guangdong University of Technology)

NLTV is essentially a local denoising scheme and the shortcomings of this approach is unable to use redundancies in the whole image to further decrease the noise variance. In order to obtain a more realistic and effective nonlocal solution, this paper propose a new variational model by adding to NLTV a term based on the Fourier transform, we call this new scheme spatial-frequency domain nonlocal total variation (SFNLTV). This algorithm formulated as the minimization of a linear combination of three terms corresponding to a least square data fitting, spatial-frequency domain nonlocal total variation (NLTV) and wavelet sparsity regularization. In term of solving the model, using fast composite splitting algorithm(FCSA) can achieve fast convergence, improve the speed of solving the algorithm. The simulation show that the processing speed of the algorithm is fast, and obtained better reconstruction result, can be applied to compressed magnetic resonance(MR) image.

Magnetic Resonance Image; Nonlocal Total Variation; Fourier Transform; Fast Composite Splitting Algorithm

張寶強，男，1990年生，碩士研究生，主要研究方向：圖像處理。E-mail: 739073853@qq.com

蔡述庭，男，1979年生，副教授，研究生導師，主要研究方向：多媒體信號處理。