研究性教學在復變函數課程教學中的應用

馬建清

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研究性教學在復變函數課程教學中的應用

馬建清[1]

（武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430065）

研究性教學是我國高等教育教學改革的熱點之一，利用研究性教學討論了復變函數中的利用柯西積分公式，高階導數公式與留數定理求積分的區別和聯系，并且分析出這些方法之間的優缺點，使學生對求積分有一個清楚的認識．

研究性教學；柯西積分公式；高階導數公式；留數定理

研究性教學是一種開放式的教學，在研究性教學的過程中，既發揮了教師的主導作用，又體現了學生的主體作用，并且激發了學生的學習興趣，增強了學生的創新能力[1-2]．復變函數作為高等數學的后續課程，理論性強，課時不足，學生學起來很困難．如果采用傳統的教學方式，教師講授，學生被動接受，學生感覺枯燥、難懂[3]．因此，在復變函數的教學中，需要教師嘗試采用多種方式教學，充分調動學生的學習積極性，力求達到良好的教學效果．本文以復變函數中的復變函數積分為例開展研究性教學，取得很好的教學效果．

復變函數積分是復變函數中的一個重要概念．教材[4-5]中的第三章對于各種類型的積分分別介紹了相應的計算方法，尤其對于函數沿著閉曲線的積分．當曲線內有一個奇點時，可以分別用柯西積分公式和高階導數公式計算函數沿著閉曲線的積分；當曲線內不止一個奇點時，可以先利用復合閉路定理，轉化為曲線內有一個奇點的形式，然后再來求函數沿著閉曲線的積分．而在第五章介紹了留數之后，復變函數沿閉曲線的積分又可以用留數定理來求．但是柯西積分公式、高階導數公式與留數定理到底有什么區別和聯系，什么情況下用哪種方法好一些，學生往往很迷茫，有學生就此提出了問題．本文采用研究性教學，找出柯西積分公式、高階導數公式與留數定理之間的內在聯系和區別，并且分析出這些方法的優缺點．

讓學生比較這２種方法，通過比較有學生給出了結論：留數定理事實上是把柯西積分公式中與相乘的因子用一個留數表示出來，其本質是一樣的．

學生比較這２種方法，發現高階導數公式與留數定理在計算曲線內的奇點是高階極點時本質也是一樣的．但是利用留數定理時求留數必須要先弄清楚極點的階數，而高階導數公式則不需要．

有學生提出問題：既然柯西積分公式、高階導數公式與留數定理在上述情況下本質是一樣的，有時甚至還更簡單，為什么還要提出留數定理．于是給出例1．