線性代數中矩陣章節基本概念及性質的教學方法探討

姜愛平

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線性代數中矩陣章節基本概念及性質的教學方法探討

姜愛平

（寧夏大學 數學計算機學院，寧夏 銀川 750021）

線性代數中矩陣章節的基本概念及性質較多且抽象，而基本概念及性質的理解直接影響學生對本課程知識的掌握和學習興趣．結合教學實踐，從注重基本概念的應用背景、重視基本概念在學科發展中的作用等方面將枯燥抽象的基本概念化為具體生動的問題，這對激發學生的求知欲，培養學生思維的邏輯性和嚴謹性，提高其實踐創新能力具有一定意義.

線性代數；矩陣；基本概念

線性代數是很多高校理工科、經管和農林等專業開設的一門公共基礎課，該課程基本概念較多且抽象，知識具有較強的連貫性，這對大多數非數學專業的學生而言，普遍感到學習較困難，學習興趣下降．另外，各高校進行的教育教學改革，使得理論學時由64學時減少為32學時，這使得教學質量難以保障[1-2]．線性代數這門課程主要借助行列式和矩陣等工具研究線性空間的結構和性質，因此，矩陣章節知識點的掌握好壞，對后續知識的學習和理解至關重要．本文結合教學實踐，針對矩陣章節重要基本概念及性質的教學方法，從注重基本概念的背景知識，重視基本概念在學科發展中的作用等方面進行探討，以期將枯燥抽象的數學概念轉化為生動具體的實際問題，既激發學生的學習興趣，又提高學生的數學應用能力和創新實踐能力．

1注重基本概念的應用背景

線性代數課程中矩陣章節的一些基本概念有很強的實際應用背景，若在講授這些基本概念之前，能從實際問題出發，通過歸納總結，提煉成數學問題，進而解決問題，并應用到實際生活當中，這將對激發學生學習興趣，提高課堂教學效果，培養學生實踐創新能力等有很大幫助．

例1[3]假定某地區人口總數保持不變，每年有5%的農村人口流入城鎮，有1%的城鎮人口流入農村，求年后該地區的城鎮人口與農村人口的比例，分析最終是否會趨于一個穩定狀態．

例2[4]在通信或信號處理等相關領域，若規定1~26個數字與26個英文字母一一對應，假設密鑰矩陣，已知接收信號為，求發出信號．

2重視基本概念在學科發展中的作用

任何一個學科的誕生和發展都離不開現實問題的出現和解決．因此，教師在授課之前應引導學生多思考，理清為什么要學習這個概念，有什么問題需要解決，怎么解決等．將知識轉化為思考，讓學生參與進來，體會到思考和學習帶來的快樂，感受到學科發展的曲折，如此，方能達到教書育人的目的．如在學習行列式的定義之前，通過觀察二元一次線性方程組其解的表達式，發現其結構復雜且具有一定的規律和特點，自然就會想到，若規定，則該方程組其解的表達式大為簡化，即，，其中：為線性方程組系數所構成的二階行列式，為中第列被常數項代替后形成的行列式．以此類推，可以給出三階行列式的定義．針對四階行列式的展開式項數的猜想，有2種不同的答案，即根據對角線法則得出的8項和觀察二階、三階行列式的展開式得出的4！項．針對這個問題，依然可以通過解四元一次線性方程組，觀察其解的結構，得出四階行列式的展開式應該是項．當然，也可以通過逆序數和全排列等知識，得出同樣的結論．

對于矩陣的秩等基本概念的學習，課堂上教師可以設問幾個問題，如為什么要學習這個概念，哪些問題需要解決等．實際上，對于元一次線性方程組，克拉默法則僅適用于方程個數等于未知元個數，且系數行列式時線性方程組解的判定，然而對于當系數行列式情況和方程個數不等于未知元個數時方程組解的判定等問題尚不清楚．同時，若矩陣，則相互等價，即它們的行階梯形矩陣非零行的行數是唯一不變的，這個參數其實就反映了矩陣的本質屬性，就是后面要學習矩陣的秩這個概念．實際上，即使學習了矩陣的秩，掌握了線性方程組解的判定定理后，當方程組有無窮多解時，各個解之間的關系以及解的結構是什么等問題仍不清楚，這就是需要學習向量組這一章的原因．所以，課堂上，尤其是在學習新的概念和定義之前，授課教師應該循循善誘，因勢利導，讓學生了解到學科知識的來龍去脈，前因后果，這在培養學生思維的邏輯性和知識的系統性等方面可起到事半功倍的效果．

3多角度深化基本概念及性質

對于教材上的定義和性質，可從不同角度舉一反三，深化知識，開闊思路，最終學以致用．如二階行列式可看成是由其列元素為向量坐標的２個向量所張成的平行四邊形的面積，三階行列式可看成由其列元素作為向量坐標的３個向量張成的平行六面體的體積，依次類推，階行列式可看成是由個向量張成的維平行多面體的體積[5]；文獻[6]中有關于施密特正交化（schimidt）數學公式，即

圖1 施密特正交化的幾何解釋

另外，對矩陣特征值和特征向量的定義也可進一步地深入學習，由可知，若為實數，表明非零向量在變換的作用下伸長或者壓縮，方向相反或者相同；若為復數，即，則表明非零向量在變換的作用下伸長倍，同時旋轉角度．

除了從幾何角度進行研究外，一一對應的思想也可以輔助理解新的性質，如矩陣與線性變換一一對應，可通過分析研究線性變換所具有的性質，來達到研究對應矩陣的目的．

4重視基本概念中的“同”和“異”

類比歸納是一種常見的數學思想方法，通過比較發現２種不同屬性事物的“同”和“異”，對于相同之處，進行歸納總結，提煉形成抽象理論，對于“不同”之處，則分析研究其具體原因．通過長期的思維訓練，相信這對深入理解基本概念及其性質，培養學生思維的嚴謹性具有很好的幫助作用[7-8]．如行列式的加法運算與矩陣的加法運算的“同”與“異”，相同之處是均為實數的加法運算，不同之處在于前者僅對同一行（列）元素加法運算，其他行（列）元素保持不變，而后者是對同型矩陣所有元素均進行加法運算；行列式的數乘運算與矩陣的數乘運算的“同”與“異”，相同之處是書寫形式相同，不同之處在于行列式的數乘僅僅是對某一行（列）元素乘以該常數，而矩陣的數乘表示所有元素均乘以該常數；實數運算所滿足的運算規律（如交換律，結合律和分配律）與矩陣運算滿足運算律（結合律和分配律）之間的“同”與“異”；矩陣乘積的轉置運算與矩陣乘積的逆運算

5注重基本概念的歸納和推廣

在學習矩陣的線性運算、乘法運算和轉置運算后，同濟大學編著的《線性代數》[6]在后續章節介紹了伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣以及矩陣的初等變換等基本概念，實際上伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣、矩陣的初等變換以及矩陣對角化等都可以理解為矩陣的運算．由其運算結果可知，矩陣運算結果可以是數（如行矩陣左乘列矩陣、方陣的行列式），也可以是矩陣．矩陣的秩與向量組的秩（或最大無關組所含向量的個數）、解空間的基礎解系所含向量的個數以及向量空間的維數等概念之間的關系，實際上屬于層層遞推，是概念的延伸和推廣．除此之外，由線性方程組解的判定定義也可直接推廣得到向量由向量組線性表示的判定定理．所以，教師在講授新概念的同時，若注重知識的連貫和銜接以及概念的外延，從某種程度上能有效地提高課堂效果，保障教學質量．

線性代數課程主要內容是借助行列式和矩陣等工具研究線性方程組解空間的結構，探討線性空間及線性變換等基本性質．而矩陣章節所涉及的基本概念和性質多且抽象，學生不易理解．為此，本文結合教學實踐，通過注重基本概念的應用背景，重視基本概念在學科發展中的作用，多角度深化基本概念及性質，重視基本概念中的“同”和“異”，注重基本概念的歸納和推廣等5個方面重視基本概念及其性質的課堂講授和練習，這對提高學生學習興趣，激發求知欲，完善知識結構，培養學生的實踐創新能力具有一定的實際意義．

[1] 王建鵬，馬會禮．工科線性代數課程教學改革研究[J]．高師理科學刊，2015，35（1）：71-73

[2] 孫春濤，蹇紅．關于線性代數課程教學方法的探討[J]．教育教學論壇，2014（22）：70-71

[3] 李秀蘭，張紅玉．線性代數在數學建模中的應用[J]．山西大同大學學報：自然科學版，2010，26（4）：3-4

[4] 孫延修．線性代數教學方法的思考與探索[J]．高師理科學刊，2013，33（5）：103-105

[5] 陳佘喜．加強線性代數教學，提高學生的數學能力[J]．當代教育理論與實踐，2013，5（4）：109-111

[6] 同濟大學數學系．工程數學·線性代數[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007

[7] 張莉，周羚君．類比方法在線性代數教學中的應用[J]．大學數學，2014，30（6）：67-69

[8] 李俊華，陳艷菊．淺談數學思想在線性代數概念教學中的應用[J]．教育教學論壇，2015（10）：181-182

Research on the teaching method of the definition and properties about the matrix in linear algebra

JIANG Ai-ping

（School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China）

The basic concepts and properties about the matrix in linear algebra are more abstract，which directly affect students to master this course knowledge and interest in learning．Try to change the abstract concept into specific problem in the way of paying attention to the application background of the concept，the role of concept in the subject development，etc．Which is interesting for stimulating students′ thirst for knowledge，training logical thinking and improving the practice innovation ability．

linear algebra；matrix；basic concept

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.03.014

2015-11-01

寧夏大學教育教改項目

姜愛平（1981-），女，河南漯河人，副教授，碩士，從事灰色系統理論研究．E-mail：jiangaiping2000@126.com