一道不定積分題目的解法研究

劉克英，李鵬，袁合才

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一道不定積分題目的解法研究

劉克英，李鵬，袁合才

在學習高等數學或者微積分時，學生大都認為計算不定積分很困難．這源于學時有限，而嚴重不足的作業量使學生對題目不熟悉．（記為）有3種正確的常規解法[1-2]，本文綜合并拓展已有解法[3-6]，給出了7類共22種解法．

以上解法的實質是換元．從結果來看，分為兩類，一類用反正弦或反余弦函數表示；另一類用反正切函數來表示．從創新點來看，解法1～3，5，8，9，12~14避免了討論變量范圍；解法15，16，18在文獻[3]中提到過，這里寫出了具體過程．特別地，歐拉代換（除了解法18）以及拆項的6個解法從未出現在文獻中，這是最有價值的．解法5是最優方法，代換的選擇很直接，過程簡潔，結果簡單．該不定積分不能用分部積分法來計算，在講解時可以指出問題所在．

[1] 同濟大學數學系．高等數學（上冊）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 彭輝．高等數學輔導[M]．濟南：山東科學技術出版社，2011

[3] 李振宇．關于一類函數的積分[J]．工科數學，1992（4）：106-109

[4] 高卓瑪．一道不定積分題的多種換元積分解法[J]．青海大學學報：自然科學版，2006，24（5）：71-72

[5] 吳維峰．探求不定積分的一題多解莫忘解法的正確性[J]．濰坊教育學院學報，2009，22（4）：42-43

[6] 吳維峰．對不定積分一題多解的分析[J]．高等數學研究，2010，13（6）：11-13

作者單位：（華北水利水電大學 數學與信息科學學院，河南 鄭州 450045）

基金項目：華北水利水電大學教育教學研究與改革項目