具有相依利率的離散時間風險模型破產(chǎn)概率的上界

牛祥秋[*]

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具有相依利率的離散時間風險模型破產(chǎn)概率的上界

牛祥秋[*]

（遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029）

研究具有相依利息率的離散時間風險模型的破產(chǎn)概率，在模型中假定利率為一階自回歸結(jié)構(gòu)，并且考慮風險投資．利用遞歸更新方法和鞅方法分別給出了破產(chǎn)概率的上界估計，并且討論了相應的最小上界問題．

一階自回歸；破產(chǎn)概率；最優(yōu)化投資；上界

近年來，越來越多的學者運用隨機控制理論研究保險風險管理問題[1-3]，但關于離散時間風險模型下的最優(yōu)控制問題的文獻相對較少．文獻[4]研究了一類具有馬兒可夫鏈利率和隨機投資回報的離散時間風險過程，分析了破產(chǎn)概率的最小上界問題．文獻[5]研究了２種類型破產(chǎn)概率的廣義Lundberg不等式．本文研究具有一階自回歸利率結(jié)構(gòu)的離散時間風險過程，并利用文獻[4]中的證明方法，獲得破產(chǎn)概率的上界估計，并討論保險公司的最優(yōu)投資策略問題．

1 模型描述

本文考慮離散時間風險模型

顯然

2 運用遞歸更新方法確定破產(chǎn)概率的上界

Browne發(fā)現(xiàn)，在布朗運動模型下，最優(yōu)的投資策略是常數(shù)策略．Gaier給出的破產(chǎn)概率最小上界的最優(yōu)投資策略是一個漸進最優(yōu)的常數(shù)策略．受這些結(jié)果的啟發(fā)，文中只關注常數(shù)投資策略，即是一個常數(shù)，記為．為了簡便，省略和的上角標．

使用歸納法，假設

由式（7）和式（8）可知

3 利用鞅方法確定破產(chǎn)概率的上界

由文獻[5]可知，投資的決策函數(shù)是一個僅與變量有關的函數(shù)，獨立于當前盈余水平．由文獻[6]可知，最優(yōu)控制策略是平穩(wěn)的，因此允許存在這樣一個集合，使得

引理1[4]812假設是一個非負測度函數(shù)，是關于代數(shù)的一個測度，則．并且，如果獨立于，那么．

[1] Browne S．Optimal investment policies for a firm with a random risk process：exponential utility and d minimizing the probability of Ruin[J]．Math Operations Res，1995，20：937–958

[2] Hipp C，Plum M．Optimal investment for insurers[J]．Insur Math Econ，2000，27：215–228

[3] Yang H，Zhang L．Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J]．Insur Math Econ，2005，37：615–634

[4] Xu Lin，Zhu Dongjin，Zhou Yanru．Minimizing upper Bound of ruin probability under discrete risk model with markov chain interest rate [J]．Communications in Statistics-Theory and Methods，2015，44：810–822

[5] Gaier J，Grandits P，Schachermayer W．Asyptotic ruin probability and optimal investment[J]．Ann Appl Probab，2003（3）： 1054–1076

[6] Sch?l A．On discrete-time dynamic programming in insurance：exponential utility and minimizing the ruin probabiltiy[J]．Scand Actuarial J，2004（3）：189–210

[7] Cai J，Dickson C M．Ruin probability with a Markov chain interest model[J]．Insur Math Econ，2004，35：513–525

Upper bound of ruin probability under discrete risk model with dependent rates of interest

NIU Xiang-qiu

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）

Researched on the ruin probability of a discrete time risk model with dependent rates of interest．In this model，the interest rate was assumed to be a structure of first-order autoregression and risk investment was considered．The upper bounds were derived by renewal recursive technique and martingale method respectively，the corresponding minimum upper bound for ruin probability was also discussed．

first-order autoregression；ruin probability；optimal investment strategy；upper bound

F224

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.007

2015-11-20

牛祥秋（1989-），男，山東菏澤人，在讀碩士研究生，從事保險精算研究．E-mail：657049682@qq.com