從“數(shù)學(xué)史之經(jīng)典”到“高考題之創(chuàng)新”

劉冰

近兩年全國(guó)與各省高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)了一大亮點(diǎn)與創(chuàng)新：中國(guó)數(shù)學(xué)史中的《九章算術(shù)》和《數(shù)書(shū)九章》走進(jìn)了高考，實(shí)現(xiàn)了經(jīng)典與創(chuàng)新的完美結(jié)合.

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，《數(shù)書(shū)九章》是對(duì)《九章算術(shù)》的繼承和發(fā)展，兩部書(shū)主要涉及算法、幾何、統(tǒng)計(jì)等方面內(nèi)容，在2015-2016年全國(guó)及部分省的高考數(shù)學(xué)卷中均有所體現(xiàn)，成為近兩年高考新載體.因此，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解中國(guó)數(shù)學(xué)史，以便更好地把握高考.下面我對(duì)近兩年相關(guān)高考數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析和點(diǎn)評(píng)，并對(duì)高考趨勢(shì)進(jìn)行合理預(yù)測(cè).

一、算法方面

例1（2016年全國(guó)新課標(biāo)II，理8）中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，右（下）圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=？

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

解析：第一次運(yùn)算：s=0×2+2=2；

第二次運(yùn)算：s=2×2+2=6；

第三次運(yùn)算：s=6×2+5=17.

故選C.

點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè)：本題考查了必修3中算法案例的秦九韶算法，在著作《數(shù)書(shū)九章》中提出了這種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法.

一般地，一元n次多項(xiàng)式的求值需要經(jīng)過(guò)次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工計(jì)算時(shí)，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

把一個(gè)n次多項(xiàng)式： f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

改寫(xiě)成如下形式：f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1）x+a0

=[（anxn-2+an-1xn-3+…+a3x+a2）x+a1]x+a0…

=[（…（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1]x+a0

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即

v0=an

v1=anx+an-1

然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即

v2=v1x+an-2

v3=a2x+an-3 …

vn=vn-1x+a0

這樣，求n次多項(xiàng)式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為了求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.

結(jié)論：對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式，至多做n次乘法和n次加法.

學(xué)生應(yīng)注意秦九韶算法的步驟及其程序框圖，在未來(lái)的高考中，它仍將是一個(gè)熱點(diǎn).

例2（2016年四川卷，理6）秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如（下）圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入n，x的值分別為3，2. 則輸出v的值為（ ）.

A. 9 B. 18

C. 20 D. 35

解析：初始值，程序運(yùn)行過(guò)程如下

v=1，

i=2， v=1×2+2=4；

i=1， v=4×2+1=9；

i=0， v=9×2+0=18；

i=-1， 跳出循環(huán)，輸出 v=18.

選B.

例3（2015年全國(guó)卷II，理8，文8）程序框圖（下）的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=？

（A）0 （B）2 （C）4 （D）14

[解析]逐次運(yùn)行程序，直至程序結(jié)束，得出a的值.

a=14，b=18.

第一次循環(huán)：14≠18且14<18，b=18-14=4；

第二次循環(huán)：14≠4且14>4，a=14-4=10；

第三次循環(huán)：10≠4且10>4，a=10-4=6；

第四次循環(huán)：6≠4且6>4，a=6-4=2；

第五次循環(huán)：2≠4且2<4，b=4-2=2；

第六次循環(huán)：a=b=2，跳出循環(huán)，輸出a=2，故選B.

點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè)：本題考查了必修3中算法案例的更相減損術(shù)，它包含在《九章算術(shù)》的“方田章”中，由過(guò)去的高考冷門(mén)，成為2015年高考熱點(diǎn).更相減損術(shù)與程序框圖相結(jié)合，加大了該問(wèn)題的難度.學(xué)生只有理解更相減損術(shù)，才能更好地完成此題.

因此，在必修3的“第1.3 算法案例”的學(xué)習(xí)及高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)更加重視：

案例1 輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）、更相減損術(shù)（《九章算術(shù)》）及其程序框圖；

案例2 秦九韶算法（《數(shù)書(shū)九章》）及其程序框圖；

案例3 進(jìn)位制及其程序框圖.

二、幾何方面

例4（2015年全國(guó)卷I，理6，文6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）.

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

解析：由米堆底部的弧長(zhǎng)可求出圓錐底面半徑，進(jìn)而求得米堆的體積.

設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r=8，解得r=，所以米堆的體積為V=·？仔r2·5=2·5≈（立方尺）.

故堆放的米約有÷1.62≈22斛，故選B.

點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè)：《九章算術(shù)》與高中內(nèi)容交匯點(diǎn)如下表：

三、統(tǒng)計(jì)方面

例5（2015年湖北卷，理2，文2）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）.

（A）134石 （B）169石 （C）338石 （D）1365石

解析：254粒和1 534石中夾谷的百分比含量是大致相同的，可據(jù)此估計(jì)這批米內(nèi)夾谷的數(shù)量.

設(shè)1 534石米內(nèi)夾谷x石，則由題意知，解得x≈169，故這批米內(nèi)夾谷約為169石.

點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè)：南宋時(shí)期的秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》中的“米谷粒分”問(wèn)題，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)思想，用樣本估計(jì)總體.

從此題中可以看出，未來(lái)的高考中，可以《數(shù)書(shū)九章》為載體，考查統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)點(diǎn).

《九章算術(shù)》和《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)幾代人共同智慧的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.在新時(shí)期下，在實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)的大形勢(shì)下，中國(guó)數(shù)學(xué)史之經(jīng)典，必然會(huì)成為未來(lái)高考的新熱點(diǎn).

從2015年全國(guó)II卷的“更相減損術(shù)”，到2016年全國(guó)II卷的“秦九韶算法”，在2017年的高考復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)更注意“輾轉(zhuǎn)相除法”和“進(jìn)位制”等內(nèi)容的講解和訓(xùn)練.