貝葉斯法則的理論分析與現實應用研究

余 麗

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貝葉斯法則的理論分析與現實應用研究

余 麗

（肇慶醫學高等?？茖W校，廣東肇慶 526020）

運用貝葉斯法則，可以讓決策者充分利用概率決策和概率推理來作出相應的決策．文章在其現實應用中列舉了工廠生產、信任度等生動例子，以便應用者能夠充分掌握、理解和靈活運用貝葉斯法則．

貝葉斯法則；概率決策；概率推理；決策者

1 問題的提出

貝葉斯推理的問題是條件概率推理問題，這一領域的探討對揭示人們對概率信息的認知加工過程與規律、指導人們進行有效的學習和判斷決策都具有十分重要的理論意義和實踐意義．但是要完全掌握、了解并靈活運用這一法則，存在著諸多困擾和難題，僅僅從數學理論方面的研究和學習顯然不夠，還必須結合現實社會中的種種生動例子，才能使學習者和應用者達到學習目的．

2 貝葉斯法則的定義

2.1 完備事件組

設實驗的樣本空間為，1,2,,n為的一組事件，若1,2,…,n兩兩互不相容，并且，則稱1,2,…,n為試驗完備事件組．

2.2 全概率公式

設試驗E的樣本空間為，如果A,A,…,A是的一個完備事件組，且P(A)>0 (i=1,2,…,n)，則對于的任一事件，有．

注：全概率公式是將求復雜事件的概率()轉化為求概率(A)與(B|A)乘積的和，其中 (=,,…,)．

2.3 貝葉斯法則解析

設事件為1,2,…,n試驗的完備事件組，對于任一事件，如果()>0，則有：，其中 (=1,2,…,)．

（1）首先要認識事件是試驗的一個事件，且把事件看成是一個“結果” ．

（2）完備事件組1,2,…,n理解成導致這一結果發生的不同原因，(A) (=1,2,…,)是各種原因發生的概率，通常在“結果”發生之前就已經明確，有時可以從以往的經驗中求得，因而稱之為先驗概率．

（3）貝葉斯公式是在“結果”已經發生之后，再去考慮各種原因發生的概率，(|A) (=1,2,…,n)．

有的時候，人們把(|A)稱為“原因”概率，把(A|)稱為“事后”概率，它能夠表現已有信息的更新情況，所以經常被用在時間原因的分析上．從貝葉斯公式可看出：“事后”概率可通過一系列的“原因”概率求得．(A) (=1,2,…,)是在不知道事件是否發生的情況下各事件發生的概率，在知道發生之后，對概率(A|) (=1,2,…,)就有了新估計，貝葉斯公式從數量上刻畫了這種變化．

3 貝葉斯法則的現實應用

3.1 貝葉斯法則在企業資質評判中的應用

從結論可以發現，在所有被資質評價為差的企業中，其實只有大約55%的企業才是真正的資質差的，換句話說，先前的資質評價是有較大誤差的，所以說我們不能對被資質評價為差的企業輕易下結論，更不能輕易地剝奪其投標的資格．作為市場經濟中的企業，理應本著實事求是的原則，對每一個企業進行深入了解，然后再作出正確科學的評價和合理的決定．

3.2 貝葉斯法則在企業生產中的應用

現代企業的機器化大生產，雖然是流水線的規?；a，但也避免不了在生產過程中出現的瑕疵．如果能夠運用貝葉斯法則，我們就可以比較容易地對產品的次品率進行判斷．

例如，在某企業的生產過程中，次品率為0.1%，但卻沒有合適的儀器可以對此進行檢查．此時，某人向企業推銷自己的檢測儀器，并聲稱誤判的概率只有5%．請問，該企業能不能使用某人的這個檢測儀器呢？要回答這個問題，我們可以用事件表示“實際上的次品”，用事件表示“經過檢查判斷是次品的產品”．于是得到，．我們用貝葉斯法則來計算被檢查出的次品中實際次品率，為：

同理可得，我們可以計算出“被檢查出的正品中實際正品率”為：.

于是，由(|)=0.018664可知，如果企業生產該產品成本較高的話，那么就不宜采用某人的檢測器，因為該檢測器檢測出來為次品的產品中，實際上98%以上的都不是次品，而是正品．所以，如果企業采用這臺機器，必定會造成較大的損失，降低企業的盈利率．

3.3 貝葉斯法則在生產索賠中的應用

生產索賠問題是當前市場經濟，特別是對外貿易中經常出現的糾紛，如果得不到妥善的處理，既會導致企業的收益減少，還會影響貿易伙伴之間的關系．因此，在生產的過程中，我們如果能清楚了解各種索賠的詳細情況，就可以很好地避免不必要的成本支出．假如通過以往的信息我們了解到，在所有的索賠實踐中，質量問題的占50%，數量短缺問題的占30%，包裝問題的占20%；同時還了解到，在產品質量問題引起的爭議中，有40%是通過雙方協商解決而未訴諸法律的，在產品數量問題引起的爭議中，有60%是經過雙方協商解決的，在包裝問題引起的爭議中，有75%是通過雙方協商解決的．現在的問題是，當出現了某一索賠事件，并且通過了雙方協商解決，要判斷這一事件不屬于質量問題引起的爭議的概率．

根據貝葉斯法則，我們可以假設事件{產品質量問題}，事件={產品數量短缺問題}，事件={產品包裝問題}，事件={雙方協商解決}，那么，由題設可知：(1)=0.5，(2)=0.3，(3)=0.2，且，(|1)=0.4，(|2)=0.6，(|3)=0.75，于是利用貝葉斯法則可以計算出：

由此可見，當出現了某一索賠事件，并且通過了雙方協商解決，這一事件屬于質量問題引起的爭議的概率為0.38，顯然，不屬于質量問題引起的爭議的概率就為0.62．

綜上所述，作為概率論的主要內容和難點內容，貝葉斯法則不但具有重要的理論意義，在現實中也有非常強的應用價值．不論是日常生活中，還是在經濟交往中，我們都會用到概率決策和概率推理，如果我們能靈活地運用貝葉斯法則，那么對這些社會、經濟、生活問題就能迎刃而解．對于在校的大學生而言，如果能在學習的過程中，舉一反三地將大量的生活案例融入課堂，必將增強學生對學習貝葉斯法則、學習概率論，乃至學習數學都會產生濃厚的興趣，他們會發現原來數學并不是枯燥無味的公式和定理，而是平凡而神奇的極具應用性的學科．正如數學家拉普拉斯所言，概率論只不過是把常識用數學公式表達了出來，而貝葉斯所做的正是這樣的工作．

[1] 楊靜，陳東，程小紅.貝葉斯公式的幾個應用[J].大學數學，2011（2）：166-169.

[2] 余麗.微分中值定理的證明及應用中的輔助函數構造[J].重慶三峽學院學報，2014（3）：21-24.

[3] 趙永祥，李麗.超幾何概率教學探討[J].重慶三峽學院學報，2014（3）：32-34.

（責任編輯：于開紅）

A Theoretical Analysis and Practical Application of Bayes Law

YU Li

By using Bayes rule, decision makers can make full use of probability decision and probability reasoning to take corresponding decisions. This paper enumerates the production in factories, credibility and other examples in real application, so that the users can fully understand, absorb and use Bayes rule in a flexible way.

Bayes Law; probability decision; probability reasoning; decision maker

O211

A

1009-8135（2016）03-0024-03

2016-03-01

余 麗（1987-），女，廣東潮州人，肇慶醫學高等專科學校講師，主要研究數學教育．

廣東省自然科學基金項目（項目編號：S2011010001591）階段性成果
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