Carlitz反演公式的推廣

陳佳宏

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什　844006)

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Carlitz反演公式的推廣

陳佳宏

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什844006)

本文運(yùn)用和式重整的技巧，同時(shí)結(jié)合其他基本組合方法證明了一個(gè)新的反演公式，并給出其相應(yīng)的矩陣形式和旋轉(zhuǎn)形式.此反演公式包含經(jīng)典的Carlitz反演公式作為其特例，是后者的一個(gè)自然、簡(jiǎn)潔的推廣.

反演公式；Gould-Hsu反演；Carlitz反演①

0　引言

一些學(xué)者很早就已經(jīng)運(yùn)用反演的方法來(lái)證明組合恒等式及其他相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題. Riordan在其經(jīng)典專著中專門用兩章內(nèi)容第一次系統(tǒng)闡述了包括最簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式反演在內(nèi)的一系列當(dāng)時(shí)已知的反演關(guān)系[1].在Gould關(guān)于二項(xiàng)式反演的系列工作的基礎(chǔ)之上，Gould和徐利治給出了一對(duì)具有基本重要性的反演公式[2].它包含了上述Gould的二項(xiàng)式反演公式在內(nèi)的許多反演公式作為其特例，現(xiàn)常稱之為Gould-Hsu反演.同年，Carlitz在同一雜志上給出了Gould-Hsu反演的q-模擬，該反演公式包含Gould-Hsu反演作為其特例，現(xiàn)常稱之為Carlitz反演，但作者沒(méi)有給出更多的應(yīng)用[3].Carlitz反演的重要性是逐漸才為人們所認(rèn)識(shí).Andrews發(fā)現(xiàn)對(duì)于基本超幾何級(jí)數(shù)具有里程碑意義的Bailey變換等價(jià)于Carlitz反演的特殊情形[4].Gessel和Stanton[5,6]應(yīng)用Carlitz反演矩陣(Carlitz反演的等價(jià)形式)導(dǎo)出了一系列的求和公式和變換以及一些Rogerse-Ramanjuane型的等式.此后,關(guān)于這方面的研究層出不窮.鑒于Carlitz反演的重要性，尋求它的各種推廣是一件有意義的工作.為此，本文特給出Carlitz反演的一個(gè)推廣.

為后文敘述方便，首先引進(jìn)一些記號(hào)

(1)

其中pq是任意復(fù)數(shù)，n為任意正整數(shù)，且使得piqi≠1，i=1,2,…,n.又約定(p,q)0=1.

(2)

(3)

此處ai=ai(p,q)，bi=bi(p,q)是兩個(gè)與p，q有關(guān)的給定數(shù)列.且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)x，Ω(x,n,p,q)恒不為零，并約定Ω(x,0,p,q)=1.

1　主要定理及其證明

在前述記號(hào)和約定之下，有如下主要結(jié)果：

定理1.1 記號(hào)及約定同上，則有如下反演公式成立

(4)

在上述定理中令p=1，既是Carlitz反演公式.

引理1.2在定理1.1的條件下，以下等式成立

(5)

(6)

pn-1(1-pkqk)ck=(pnqn-pk-1qk-1)ck-1

(7)

定理1.1的證明 由反演關(guān)系，任意假定公式(4)中的兩個(gè)等式之一成立，則能由其推出另外一個(gè)等式即可.故若公式(4)中的第二個(gè)等式成立，將其代入第一個(gè)等式有

(8)

(9)

考慮到k為一變下標(biāo)，將k-j依然記作k，則此式等價(jià)于

(10)

如此只要證明

(11)

其中δn,j為Kronecker符號(hào).進(jìn)一步，轉(zhuǎn)化為證明

(12)

當(dāng)n=0時(shí)，(12)式左邊為

(13)

此時(shí)該等式成立.當(dāng)n=1時(shí)，(12)式左邊為

(14)

此時(shí)該等式也成立.當(dāng)n≥2時(shí)，(12)式左邊的和式為

(15)

(16)

上述倒數(shù)第二個(gè)等式由引理1.2得到，故等式(12)成立.進(jìn)而定理1.1得證.

注：若在公式(1)中假定第一個(gè)等式成立，以此推證第二個(gè)等式，則轉(zhuǎn)化為證明

(17)

上式可以通過(guò)如下分裂因子的辦法得到：

(18)

2　定理1.1的變式

定理1.1可改寫(xiě)為如下形式

(19)

記無(wú)窮維列向量α=(f(0),f(1),…f(n),…)T，β=(g(0),g(1),…g(n),…)T， A=(αn,k)，B=(βn,k)為無(wú)窮下三角矩陣，其中k,n取任意非負(fù)整數(shù).則定理1.1有如下的矩陣形式：

定理2.1記號(hào)如上，條件同定理1.1有

(20)

定理2.2記號(hào)如上，條件同定理1.1有

(21)

上式等價(jià)于

(22)

其中下標(biāo)k的上限可以取有限或無(wú)限值，視具體情況而定，沒(méi)有標(biāo)明.也可等價(jià)的寫(xiě)成

(23)

綜上所述，本文主要運(yùn)用和式重整的技巧并結(jié)合其他基本組合方法得到了Carlitz反演公式的一個(gè)自然推廣(定理1.1).同時(shí)，還給出了此推廣的矩陣形式(定理2.1)和旋轉(zhuǎn)形式(定理2.1).應(yīng)用這些定理，可以得到一些經(jīng)典等式的推廣[7,8,9].

[1]J. Riordan. Combinatorial Identities[M]. New York: John Wiley and Sons,1968.

[2]H.W. Gould, L. C. Hsu. Some new inverse series relations[J]. Duke Math. J,1973,40:885-891.

[3]L. Carlitz. Some inverse relations[J]. Duke Math. J,1973,40:893-901.

[4]G.E. Andrews. Connection coefficient problems and partitions[C].D. Ray-Chaudhuri (Ed.). Proc. Symp. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc.,1979,34:1-24.

[5]I.M. Gessel, D. Stanton. Application of q-Lagrange inversion to basic hypergeometric series[J]. Trans. Amer. Math. Soc.,1983, (277):173-203.

[6]I.M. Gessel, D. Stanton. Another family of q-Lagrange inversion formulas[J]. Rocky Moutain J. Math,1986, (16):373-384.

[7]劉治國(guó). Carlitz反演與Rogers-Ramanujan恒等式及五重積恒等式[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995, (1):70-74.

[8]張彩環(huán),張之正. 基本超幾何級(jí)數(shù)的變換公式及Rogers-Amanujan恒等式[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010,53(3):579-584.

[9]張之正,吳云.幾個(gè)基本超幾何級(jí)數(shù)變換公式的U(n+1)拓廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,56(5): 787-798.

[責(zé)任編輯：房永磊]

An Extension of Carlitz’s Reciprocal Formulas

CHEN Jia-hong

(School of Mathematics and Statistics, Kashi University, Kashi 844006, China)

In this paper, we provide a new pair of reciprocal formulas by using the skill of exchanging summation symbols and other basic combinatorial methods, and then exhibit two various forms of this extension. This new pair of reciprocal formulas contains Carlitz’s reciprocal formulas as its special case, and can be considered as a nature and concise extension of Carlitz’s reciprocal formulas.

reciprocal formula; gould-hsu inverse; carlitz inverse

2016-07-20

喀什大學(xué)科研基金(項(xiàng)目編號(hào)：152568).

陳佳宏(1981-)，男，寧夏銀川人，喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教，理學(xué)碩士，主要從事代數(shù)研究.

O157.1

A

1004-7077(2016)05-0039-04