α穩(wěn)定分布噪聲下一種穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架

金　艷, 胡碧昕, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

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α穩(wěn)定分布噪聲下一種穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架

金艷, 胡碧昕, 姬紅兵

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

針對(duì)傳統(tǒng)濾波方法在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下性能退化的問(wèn)題,從加權(quán)Myriad濾波以及加權(quán)Merid濾波方法出發(fā),以M估計(jì)理論為基礎(chǔ),推導(dǎo)得到穩(wěn)健加權(quán)(robust weighted,RW)濾波方法的統(tǒng)一算法結(jié)構(gòu),并據(jù)此提出了基于RW濾波的新算法,即基于穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架,從而將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及基于廣義柯西分布的加權(quán)濾波器統(tǒng)一起來(lái)。此外,針對(duì)線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)信號(hào)采用基于RW的LVD(RW-LVD)方法估計(jì)其參數(shù),并根據(jù)估計(jì)性能對(duì)RW方法的抑噪效果進(jìn)行分析。仿真結(jié)果表明,與基于加權(quán)Myriad濾波、加權(quán)Merid濾波以及基于廣義柯西分布的加權(quán)濾波等多種方法相比,在強(qiáng)脈沖噪聲下RW濾波方法能有效抑制脈沖噪聲,并具有良好的穩(wěn)健性。

α穩(wěn)定分布噪聲; 參數(shù)估計(jì); 代價(jià)函數(shù); 穩(wěn)健加權(quán)濾波

0　引　言

在雷達(dá)、聲吶、生物工程、地震探測(cè)等領(lǐng)域中,實(shí)際噪聲具有明顯的非高斯脈沖特性,較厚的概率密度函數(shù)拖尾,與傳統(tǒng)高斯模型相比,α穩(wěn)定分布可以更好地描述[1-4]。α穩(wěn)定分布是唯一滿足廣義中心極限定理的分布,因而在信號(hào)處理領(lǐng)域得到快速發(fā)展。針對(duì)該類噪聲下基于傳統(tǒng)高斯模型的信號(hào)處理方法性能下降的問(wèn)題,已有學(xué)者提出了基于加權(quán)Myriad濾波[5-8]以及加權(quán)Merid濾波[9-11]等多種降噪方法。這些方法在一定程度上抑制了α穩(wěn)定分布噪聲,但在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下性能均會(huì)下降。

對(duì)此,本文提出了可有效抑噪的穩(wěn)健加權(quán)(robust weighted,RW)濾波新方法,該方法基于M估計(jì)原理,構(gòu)造了適用于較強(qiáng)脈沖噪聲的代價(jià)函數(shù)。由于α穩(wěn)定分布噪聲不存在統(tǒng)一的封閉概率密度函數(shù)表達(dá)式,加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid濾波器均基于α穩(wěn)定分布中唯一存在封閉概率密度函數(shù)表達(dá)式的柯西分布,并采用最大似然估計(jì)方法對(duì)噪聲進(jìn)行抑制,然而在強(qiáng)脈沖噪聲下其抑噪性能退化。本文構(gòu)造的代價(jià)函數(shù)無(wú)需獲得樣本的概率密度函數(shù),從而解決了傳統(tǒng)加權(quán)濾波器采用最大似然估計(jì),與α穩(wěn)定分布噪聲不存在封閉的概率密度函數(shù)表達(dá)式的矛盾。此外,基于該代價(jià)函數(shù)的RW濾波方法,建立了α穩(wěn)定分布噪聲下穩(wěn)健加權(quán)濾波的統(tǒng)一框架,從而將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及基于廣義柯西分布的加權(quán)(weighted maximum-likelihood generalized Cauchy,WMGC)濾波器[12]有機(jī)統(tǒng)一起來(lái),構(gòu)建起RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ),并從濾波器輸出及代價(jià)函數(shù)兩個(gè)方面說(shuō)明以上3種濾波器服從于本文提出的RW濾波框架。

線性調(diào)頻(linear frequency modulation, LFM)信號(hào)是研究最早且應(yīng)用最廣的一種脈沖壓縮信號(hào),在通信、雷達(dá)和地震勘探等方面均有廣泛應(yīng)用[13-14]。Lv’s分布(Lv’s distribution,LVD)算法結(jié)合相位尺度變換[15],無(wú)需進(jìn)行二維搜索,具有較高的時(shí)頻分辨率,但在脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布噪聲下該方法性能退化嚴(yán)重。因此,本文首先對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲下的LFM信號(hào)進(jìn)行RW濾波,隨后對(duì)濾波后信號(hào)進(jìn)行LVD時(shí)頻分析,并利用LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果表明該方法的噪聲抑制性能。此外,需要說(shuō)明的是,該方法不僅適用于線性調(diào)頻信號(hào),在α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下均可適用,采用線性調(diào)頻信號(hào)僅是作為驗(yàn)證噪聲抑制性能的一個(gè)角度,用以說(shuō)明方法在α穩(wěn)定分布噪聲下的有效性。

1　最大似然估計(jì)與M估計(jì)原理

(1)

式中,f(xi;θ)為樣本的概率密度函數(shù),對(duì)似然函數(shù)求導(dǎo),令

(2)

(3)

式(3)也可描述為

(4)

式中,ρ(·)是代價(jià)函數(shù);φ(·)為ρ(·)關(guān)于θ的導(dǎo)數(shù)[16]。最大似然估計(jì)中求取似然函數(shù)最大值的問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為求取似然函數(shù)倒數(shù)最小值的問(wèn)題。因此,最大似然估計(jì)與M估計(jì)理論均可等效為最小值求取問(wèn)題。當(dāng)代價(jià)函數(shù)為ρ(X)=X2時(shí),式(3)所描述的M估計(jì)即等價(jià)于高斯假設(shè)下的最大似然估計(jì)。此外,通過(guò)構(gòu)造合適的代價(jià)函數(shù),M估計(jì)可應(yīng)用于脈沖噪聲環(huán)境并具有良好的穩(wěn)健性。

2　RW濾波原理及RW原理統(tǒng)一框架

2.1RW濾波方法

廣義柯西(generalized Cauchy,GC)分布的概率密度函數(shù)為

(5)

式中

(6)

式中，k為尺度參數(shù);p是拖尾參數(shù),在區(qū)間(0,2]取值;Γ(·)是Gamma函數(shù)。由于廣義柯西分布的拖尾參數(shù)僅可在較小范圍內(nèi)取值,導(dǎo)致基于該分布的濾波器的適用范圍、抑噪效果等性能受限。對(duì)此,本文引入輔助參數(shù)q,以擴(kuò)大拖尾參數(shù)的選取范圍,進(jìn)而擴(kuò)大濾波器的適用范圍。在此基礎(chǔ)上構(gòu)造基于RW濾波的代價(jià)函數(shù)為

(7)

根據(jù)式(3)和式(5),RW濾波的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(8)

此時(shí),若給定一組觀測(cè)樣本{x1,x2,…,xN}及非負(fù)濾波權(quán)值{h1,h2,…,hN},由M估計(jì)理論可得RW濾波的輸出為

(9)

(10)

(11)

由式(10)和式(11)可得

(12)

式中

令觀測(cè)樣本X=[x1,x2,…,xN],對(duì)應(yīng)的初始權(quán)值向量H=[h1,h2,…,hN],尺度參數(shù)為k,可得該濾波器的輸出和估計(jì)誤差分別為θ(h,X),e=θ-d,其中d是濾波器期望輸出。根據(jù)平均絕對(duì)誤差最小的準(zhǔn)則求得最佳權(quán)系數(shù),設(shè)誤差函數(shù)J(h,k)為

(13)

由式(13)可知,J(h,k)可能存在多重極小值點(diǎn),而最優(yōu)權(quán)值就是其中的一個(gè)。令

(14)

即可得濾波器權(quán)值的迭代關(guān)系式為

(15)

式中,μ是迭代步長(zhǎng);函數(shù)P[·]為矩形函數(shù);變量hj是第j個(gè)權(quán)值,hj(n),hj(n+1)分別為第n次和第n+1次迭代值[11]。

當(dāng)h取實(shí)數(shù)時(shí),RW濾波的輸出和權(quán)值迭代表達(dá)式分別為

(16)

(17)

式中,zi=sgn(hi)xi。

2.2RW濾波的統(tǒng)一框架

本文提出的RW濾波方法適用范圍廣泛,并且建立了一種RW濾波統(tǒng)一框架,該框架將加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及WMGC濾波器統(tǒng)一起來(lái),構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。本節(jié)從濾波器輸出和代價(jià)函數(shù)的構(gòu)造兩個(gè)角度,說(shuō)明以上3種濾波器均可用本文提出的基于RW濾波器的統(tǒng)一框架描述。

加權(quán)Myriad濾波器是從樣本序列服從柯西分布的Myriad平滑器中推導(dǎo)得來(lái)的,若給定一組觀測(cè)樣本及非負(fù)濾波權(quán)值{h1,h2,…,hN},Myriad濾波器輸出可表示為

(18)

與式(9)對(duì)比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q=2時(shí)即為加權(quán)Myriad濾波。

加權(quán)Merid濾波器的樣本序列服從p=1時(shí)的GC分布,其濾波器輸出可表示為

(19)

與式(9)對(duì)比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q=1時(shí)即為加權(quán)Merid濾波。

假設(shè)N個(gè)獨(dú)立樣本{x1,x2,…,xN}滿足位置參數(shù)為θ、尺度參數(shù)為k的GC分布,由式(5)及式(6)可知,WMGC濾波器輸出可表示為

(20)

與式(9)對(duì)比可知,RW濾波器中參數(shù)滿足p=-q時(shí)即為WMGC濾波。可見(jiàn)以上3種濾波器均可用本文提出的基于RW濾波器的統(tǒng)一框架描述。

此外,通過(guò)對(duì)最大似然函數(shù)與M估計(jì)分析比較,可知基于最大似然估計(jì)原理的3種濾波器,均可從M估計(jì)角度進(jìn)行定義:當(dāng)代價(jià)函數(shù)為ρ(xi)=lg{k2+hi|xi-θ|2}時(shí),可定義加權(quán)Myriad濾波器;選取為ρ(xi)=lg{k+hi|xi-θ|}時(shí),可定義加權(quán)Merid濾波器;選取為ρ(xi)=lg{kp+hi|xi-θ|p}時(shí),可定義WMGC濾波器。將以上3種濾波器的代價(jià)函數(shù)分別與式(7)對(duì)比也可看出,三者均服從本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架。

綜上所述,加權(quán)Myriad、加權(quán)Merid以及WMGC濾波器均可用本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架描述。由于α穩(wěn)定分布噪聲不具備封閉的概率密度函數(shù)表達(dá)式,以上3種穩(wěn)健濾波器均基于α穩(wěn)定分布下的特例,并采用最大似然估計(jì)獲得濾波器輸出,導(dǎo)致該類濾波器在脈沖噪聲下濾波性能有限。本文構(gòu)造的RW統(tǒng)一框架則從M估計(jì)角度出發(fā),無(wú)需依靠樣本的概率密度函數(shù),可在α穩(wěn)定分布環(huán)境下具有更好的噪聲抑制性能。此外,其有機(jī)地將多種傳統(tǒng)加權(quán)濾波器統(tǒng)一起來(lái),構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。

3　LVD原理

RW濾波從M估計(jì)角度構(gòu)造穩(wěn)健性較強(qiáng)的代價(jià)函數(shù),實(shí)現(xiàn)了對(duì)較強(qiáng)脈沖噪聲的抑制。為驗(yàn)證各濾波器的抑噪效果,本文采用LVD對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析。LVD算法能夠使LFM信號(hào)在初始頻率-調(diào)頻斜率(centroidfrequency-chirprate,CFCR)域表現(xiàn)為一峰值,該峰值對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)即為L(zhǎng)FM信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻斜率值。首先,對(duì)信號(hào)的對(duì)稱參數(shù)瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)(parametricsymmetricinstantaneousautocorrelationfunction,PSIAF)做尺度變換,消除時(shí)間變量之間的耦合關(guān)系。PSIAF定義如下：

(21)

(22)

式中，h是尺度因子[15]。對(duì)尺度變換后的PSIAF分別關(guān)于τ和tn進(jìn)行二維傅里葉變換,即得LVD的定義式:

(23)

LVD具有較高的能量聚集性,可較為準(zhǔn)確地對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),但其在脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布噪聲下性能嚴(yán)重退化。因此,本文首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行RW濾波,再采用LVD對(duì)濾波后LFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并用其結(jié)果表示各濾波方法的抑噪效果。

4　仿真實(shí)驗(yàn)及分析

LFM信號(hào)的數(shù)學(xué)模型定義如下:

(24)

(25)

仿真中LFM信號(hào)參數(shù)為:采樣頻率fs=256Hz,初始頻率f0=50Hz,調(diào)頻斜率k=25Hz/s,采樣點(diǎn)數(shù)N=256。

4.1方法性能比較

本文提出的RW濾波方法分別與基于加權(quán)Myriad濾波器[5-8]的LVD(myriadLVD,MYRLVD)、基于加權(quán)Merid濾波器[9-11]的LVD(meridLVD,MELVD)以及基于WMGC濾波器[12]的LVD(WMGCLVD)方法進(jìn)行對(duì)比。RW濾波中參數(shù)p與GC分布的拖尾參數(shù)一致,均在區(qū)間(0,2]取值。由于GC分布加權(quán)濾波器拖尾參數(shù)選取范圍較窄,導(dǎo)致其適用范圍、抑噪效果等性能受限。本文針對(duì)脈沖性較強(qiáng)的α穩(wěn)定分布,構(gòu)造了可擴(kuò)大拖尾參數(shù)選取范圍的參數(shù)q。大量仿真實(shí)驗(yàn)證明,在p∈(0,2],p+q∈(0,80]區(qū)間內(nèi),RW濾波均可抑制脈沖噪聲,而WMGC濾波器則僅適用于p∈(0,2],p+q=0,可見(jiàn),通過(guò)引入輔助參數(shù)q,RW濾波有效地?cái)U(kuò)大了拖尾參數(shù)的選取范圍,進(jìn)而獲得更為廣泛的適用范圍。特別地,當(dāng)參數(shù)選取為p∈(0,2],p+q∈(0,5]時(shí),RW濾波可在α穩(wěn)定分布噪聲下取得良好的抑噪效果。為方便說(shuō)明且不失一般性,本文設(shè)置RW濾波器參數(shù)p=1.4,q=2.0,窗長(zhǎng)N=5,初始權(quán)向量h=[0,0,5,0,0],步長(zhǎng)因子μ=0.05。

圖1(a)為L(zhǎng)FM信號(hào)的LVD等高線圖,可見(jiàn),LFM信號(hào)在CFCR域清晰明確,可直接獲得LFM信號(hào)初始頻率和調(diào)頻斜率。圖1(b)～圖1(f)是α=0.8,GSNR=3dB的α穩(wěn)定分布噪聲下,采用不同方法所得的LVD等高線圖。圖1(b)為脈沖噪聲環(huán)境下采用LVD所得的等高線圖,由圖可知,受脈沖噪聲影響LVD分析方法性能嚴(yán)重退化。由圖1(c)、圖1(d) 以及圖1(e)可知,Myriad、Merid以及WMGC3種濾波器能夠較為有效地抑制脈沖噪聲,但仍難以對(duì)噪聲下的LFM信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確分析。圖1(f)為RW濾波下的LVD(RW-LVD)等高線圖,可以看出,其與LFM信號(hào)的LVD等高線圖接近,RW濾波具有良好的脈沖噪聲抑制效果。

圖1　各方法下LVD等高線圖Fig.1　LVD contour map of each method

4.2參數(shù)估計(jì)結(jié)果及分析

下面采用所估計(jì)參數(shù)的歸一化均方根誤差(normalizedrootmeansquareerror,NRMSE)來(lái)比較在α穩(wěn)定分布噪聲下不同參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)劣,經(jīng)過(guò)200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

特征指數(shù)α=0.8時(shí),由圖2(a)、圖2(b)可知,當(dāng)GSNR≥-7dB時(shí),采用RW-LVD可以準(zhǔn)確估計(jì)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率和初始頻率;GSNR≥6dB時(shí),采用MELVD和WMGCLVD可獲得LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率,GSNR≥5dB時(shí),可得到LFM信號(hào)的初始頻率;GSNR≥8dB時(shí),MYRLVD才可得到LFM信號(hào)調(diào)頻斜率和初始頻率的準(zhǔn)確估計(jì);傳統(tǒng)LVD方法受脈沖噪聲影響嚴(yán)重,性能嚴(yán)重退化,難以對(duì)信號(hào)的參數(shù)做出有效估計(jì)。特征指數(shù)α=1.5時(shí),由圖3(a)、圖3(b)可知,當(dāng)GSNR≥-12dB時(shí),采用RL可以準(zhǔn)確估計(jì)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率和初始頻率;GSNR≥2dB時(shí),采用MELVD和WMGCLVD;GSNR≥0dB時(shí),采用MYRLVD可得到LFM信號(hào)調(diào)頻斜率和初始頻率;傳統(tǒng)LVD方法難以實(shí)現(xiàn)LFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。

綜上所述,同一GSNR下,RW-LVD比其他方法具有更小的歸一化均方根誤差,可在較低GSNR下準(zhǔn)確估計(jì)信號(hào)的參數(shù);隨著α的減小,各方法的性能都會(huì)下降,本文提出的RW濾波新方法則明顯優(yōu)于其他方法。因此,本文提出的RW濾波方法可有效抑制α穩(wěn)定分布噪聲,在較低信噪比下仍具有良好的穩(wěn)健性。

圖2　α=0.8時(shí)LFM信號(hào)參數(shù)歸一化均方根誤差Fig.2　NRMSE of the estimated LFM signal parameters for α=0.8

圖3　α=1.5時(shí)LFM信號(hào)參數(shù)歸一化均方根誤差Fig.3　NRMSE of the estimated LFM signal parameters for α=1.5

5　結(jié)　論

針對(duì)傳統(tǒng)加權(quán)濾波器在α穩(wěn)定分布噪聲下性能退化的問(wèn)題,本文從M估計(jì)角度出發(fā)提出了RW濾波新方法。通過(guò)對(duì)最大似然估計(jì)與M估計(jì)分析比較,構(gòu)造了一種能夠有效應(yīng)用于α穩(wěn)定分布噪聲的代價(jià)函數(shù),解決了傳統(tǒng)穩(wěn)健加權(quán)濾波器,需獲得樣本概率密度函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題。該方法不僅可有效抑制脈沖噪聲,而且構(gòu)造了一種RW濾波器的統(tǒng)一框架,構(gòu)建了RW濾波的統(tǒng)一理論基礎(chǔ)。仿真實(shí)驗(yàn)表明,加權(quán)Myriad濾波、加權(quán)Merid濾波以及WMGC濾波等多種方法,均可較為有效地對(duì)脈沖噪聲進(jìn)行抑制,但在強(qiáng)脈沖噪聲下其抑噪性能下降。本文提出的RW濾波方法在強(qiáng)脈沖下也可對(duì)噪聲進(jìn)行有效抑制。仿真結(jié)果表明,RW濾波方法可有效抑制α穩(wěn)定分布噪聲,從而提高了時(shí)頻平面分辨率,并獲得了較高的估計(jì)精度。

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Unified framework of robust weighted filtering in α stable noise

JIN Yan, HU Bi-xin, JI Hong-bing

(School of Electronic Engineering, Xidian University, Xi’an 710071, China)

In order to solve the problem that the performance of traditional filtering methods degrades significantly inαstable noise environment, a unified structure of robust weighted (RW) filtering is derived based on the M estimation theory, the weighted Myriad and the weighted Merid filtering methods, and accordingly a RW filtering method, i.e., the unified framework, is proposed. The weighted Myriad, the weighted Merid and the generalized Cauchy distribution based weighted filtering methods are interpreted within the unifying framework. The parameters of noisy linear frequency modulation (LFM) signals can be estimated by the Lv’s distribution method based on the RW (RW-LVD) theory, and the estimation results are used to analyze the noise suppression performance. Simulation results show that compared with the weighted Myriad, the weighted Merid as well as the generalized Cauchy distribution based filtering methods, the proposed RW filtering method has better performance and it is robust toαstable noise.

αstable noise; parameter estimation; cost function; robust weighted (RW) filtering

2015-11-03；

2016-05-25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-07-05。

國(guó)家自然科學(xué)基金(61201286)；陜西省自然科學(xué)基金(2014JM8304)資助課題

TN 911.7

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.01

金艷(1978-),女,副教授,博士,主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代信號(hào)處理、統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、非高斯噪聲處理、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)、通信信號(hào)偵測(cè)。

E-mail:yjin@mail.xidian.edu.cn

胡碧昕(1991-),女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榉歉咚乖肼曄翷FM信號(hào)處理。

E-mail:15353624268@163.com

姬紅兵(1963-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)楣怆娦畔⑻幚怼⑽⑷跣盘?hào)檢測(cè)與識(shí)別、醫(yī)學(xué)影像處理。

E-mail:hbji@xidian.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160705.1723.008.html