逼近非合作目標的自適應二階終端滑模控制

劉海龍, 史小平, 張　杰, 畢顯婷

(哈爾濱工業大學控制與仿真中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

?

逼近非合作目標的自適應二階終端滑模控制

劉海龍, 史小平, 張杰, 畢顯婷

(哈爾濱工業大學控制與仿真中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

針對逼近非合作目標過程中的相對軌道姿態耦合控制問題,綜合考慮系統不確定性、外部干擾以及滑模控制中的抖顫問題,設計了無抖顫的自適應二階非奇異終端滑模(secondordernonsingularterminalslidingmode,SONTSM)控制器。首先根據視線坐標系下的相對運動方程和體坐標系下的相對姿態方程建立了相對位置和姿態一體化模型。將高階滑模控制思想與非奇異終端滑模控制理論相結合,使所設計控制器克服了傳統滑模的抖顫問題,并同時具有收斂快、精度高、魯棒性強及能量消耗小等優勢。基于Lyapunov理論,對系統穩定性進行了嚴格的證明。數值仿真驗證了控制器的正確性和良好的控制性能。

非合作目標; 相對運動; 終端滑模; 耦合控制; 二階滑模控制

0　引　言

隨著空間科學技術的發展和深入,空間應用經歷了由單星系統到多星系統,由傳統對合作目標的交會任務到對非合作目標的逼近、抓捕等新的研究和實踐過程。對非合作目標的研究有著廣泛的應用前景,如在軌服務技術、空間碎片捕獲及空間攻防等,因此對非合作目標的研究受到了國內外學者的廣泛關注。

與傳統合作目標相比,對非合作目標的控制有著很大不同[1],具體包括:①目標航天器運動狀態及軌道參數等信息未知,僅能通過敏感器測量獲得其運動狀態或相對運動狀態;②由于目標航天器常處于失控狀態或存在機動,加之追蹤航天器存在嚴重的姿軌耦合問題及撓性附件對系統穩定的影響,故考慮姿軌耦合及撓性附件影響下的高精度控制成為了當前研究的熱點問題;③由于相對運動狀態僅能通過測量獲得,故系統狀態的獲得存在延時問題[2]的影響。

當前,國內外學者主要針對處于自由翻滾狀態的非合作目標展開研究,文獻[3]基于模型預測控制對航天器間的相對運動進行了研究,考慮到航天器在交會階段和對接階段具有不同的約束、要求和采樣速率,設計了具有動態可重構約束的模型預測控制器。文獻[4-5]在建立六自由度耦合動力學模型時考慮了姿軌耦合因素對系統的影響,在此基礎上,通過設計自適應律估計了系統的參數不確定性,并基于傳統線性滑模控制方法設計了姿軌一體化控制器。文獻[6-7]基于終端滑模控制理論與有限時間干擾觀測器技術,提出一種利用終端滑模控制進行反饋控制,并結合有限時間干擾觀測器對干擾進行前饋補償的控制策略,由于控制器中符號函數的幅值僅需大于干擾估計誤差,從而一定程度上削弱了抖顫現象的影響。文獻[8]針對姿軌耦合問題,將超扭曲算法與自適應方法相結合,設計了具有變增益的自適應超扭曲控制器,進一步提高了系統的魯棒性及減弱抖顫現象的影響。文獻[9]在建立類拉格朗日形式姿軌耦合動力學模型的基礎上,將線性滑模和自適應技術相結合設計了控制律,所設計控制律具有一定的抗飽和能力以及不依賴于目標航天器動力學參數的優勢。文獻[10]在視線坐標系下得到了相對軌道動力學方程,設計了具有較強實時性的姿軌耦合θ-D控制器,進一步考慮了目標航天器可能存在機動的情況,基于Lyapunov最小-最大定理對控制器進行了修正。文獻[11]在對非合作目標姿軌耦合控制問題的建模與控制律設計中,考慮了撓性附件對系統的影響。文獻[12]基于Hill坐標系建立了航天器姿軌耦合動力學模型,在考慮控制輸入耦合對系統影響的基礎上,進一步基于反饋線性化方法得到了姿軌耦合控制器,此外,對航天器的姿軌耦合源進行了較深入的分析。

然而,多數文獻在對航天器姿軌耦合問題進行建模時均假設目標航天器的軌道參數已知,且相對運動方程多建立在軌道坐標系之上,這種建模方法的缺點在于其實際工程應用通常依賴于高精度的相對導航算法,且當目標軌道參數未知時將不再適用。

針對在實際工程應用中存在非合作目標運行參數難以測算以及敏感器安裝等問題,有學者對傳統相對軌道動力學模型進行改進,提出了基于視線坐標系的建模方法[10],基于上述方法所得到的姿軌耦合動力學模型適應于任意軌道形式,并且其狀態變量無需復雜的濾波便可很容易地測量,且具有明顯的物理意義。

文獻[13]中提出的非奇異終端滑模控制在克服傳統線性滑模指數收斂慢缺點的同時,又解決了終端滑模存在奇異的缺點。但是,傳統滑模控制在實際應用中常以邊界層方法削弱抖顫,例如利用飽和函數代替符號函數等,邊界層方法導致系統的滑動模態并未真正停留在滑模面上,而是在其附近的一個領域內,致使滑模控制所具有的強魯棒性、對參數變化不敏感等優勢未能真正發揮。針對滑模控制中存在的“抖顫”現象,文獻[14-16]提出應用高階滑模的控制思想,通過對控制律導數的設計,從而達到消除抖顫且兼顧滑模控制高精度、強魯棒性等優勢的目的。

基于上述研究,本文針對逼近自由翻滾目標的姿軌耦合控制問題,在考慮控制指令耦合、外干擾及參數不確定性的基礎上,設計了無抖顫的二階非奇異終端滑模(secondordernonsingularterminalslidingmode,SONTSM)控制器。首先,基于視線坐標系建立了適應于任意軌道形式的相對運動模型,結合修正羅德里格參數(modifiedRodriguesparameters,MRP)描述的相對姿態模型,建立了六自由度姿軌耦合一體化模型。在此基礎上,設計了非奇異終端滑模面,通過對控制輸出導數的設計并對其進行積分處理,從而消除了傳統滑模的抖顫問題,實現了系統的高精度、強魯棒性的控制目標。所設計的自適應律避免了傳統終端滑模控制需要干擾界先驗信息的限制。最后,設計了與經典控制方法的對比仿真實驗,以驗證所設計控制器的正確性及控制性能。

1　模型建立

1.1視線坐標系

考慮到目標航天器軌道參數有可能未知,以及當其存在軌道機動時,將不再運行于開普勒軌道,此外也考慮到工程實際中的敏感器測量,本文將首先基于視線坐標系推導得到相對軌道動力學方程,并進一步結合相對姿態動力學方程最終得到類拉格朗日形式的姿軌耦合動力學模型。

地心慣性坐標系與視線坐標系示意圖如圖1所示,OiXiYiZi為地心慣性坐標系,OlXlYlZl為視線坐標系。在視線坐標系中,將追蹤航天器的質心作為其原點Ol,由追蹤航天器質心指向目標航天器質心的矢量為其Xl軸,Xl軸與Yi軸確定的平面內與Xl軸垂直且指向Yi一側的矢量為其Yl軸,Zl軸與Xl軸、Yl軸垂直,符合右手法則。qε表示視線傾角,qβ表示視線偏角。rc、rt分別為由地心指向追蹤航天器質心和目標航天器質心的位置矢量。

圖1　地心慣性坐標系與視線坐標系Fig.1　Inertial frame and line of sight frame

1.2相對軌道動力學

視線坐標系下的相對軌道動力學方程[10]為

(1)

(2)

將用矢量形式描述的相對軌道動力學方程式寫成分量形式

(3)

式中,ρ為追蹤航天器與目標航天器間的相對距離；qε，qβ分別表示視線傾角和視線偏角;ax,ay,az為控制加速度在視線坐標系下的分量;fdx,fdy，fdz為外界干擾加速度在視線坐標系下的分量。為方便后續控制器設計,需將上述分量形式的相對軌道動力學方程寫成類拉格朗日形式的緊湊形式

(4)

式中

1.3相對姿態動力學

本節將分別建立追蹤航天器和目標航天器的姿態動力學和姿態運動學方程,進一步得到航天器相對姿態動力學模型。

由剛體動量矩定理可得追蹤航天器的姿態動力學方程[4],即

(5)

式中,Jc表示追蹤航天器轉動慣量；ωc表示追蹤航天器角速度在本體坐標系下的表示；τ為姿態控制力矩；τd為外界干擾力矩。

考慮到追蹤航天器在與目標航天器進行姿態同步旋轉的過程中存在大角度機動,為避免姿態控制中存在奇異,本文使用MRP參數描述航天器的姿態運動,則追蹤航天器的姿態運動學方程為

(6)

式中,σc為追蹤航天器姿態的MRP參數。

同理,目標航天器的姿態動力學和姿態運動學方程分別為

(7)

(8)

式中,Jt表示目標航天器轉動慣量;ωt表示目標航天器角速度;σt為用以描述目標航天器姿態的MRP參數。

定義兩航天器之間的姿態偏差為σe,其具體表達式為

(9)

兩航天器間的誤差角速度可由式(10)得到

(10)

式中,ωe為兩航天器間的誤差角速度;R為由目標航天器本體系到追蹤航天器本體系的轉換矩陣。R的具體表達式為

(11)

則兩航天器間的姿態偏差動力學方程為

(12)

式中

對式(12)求導,整理可得類拉格朗日形式的姿態偏差動力學方程為

(13)

式中

1.4姿軌一體化動力學模型

(14)

式中

假設 1假設在追蹤航天器x軸正軸上安裝其對接口或抓捕裝置(如空間機械臂),在目標航天器x軸負軸上安裝相應的對接口,故兩航天器最終交會對接時滿足關系σc-σt=0。

2　參考軌跡設計

(15)

式中,ρi為慣性坐標系下的特征位置向量;xi、yi、zi為ρi在地心慣性坐標系下的分量。

(16)

由式(15)和式(16)可以得到視線傾角和視線偏角的期望值qεd、qβd。

(17)

(18)

(19)

式中

(20)

3　自適應二階終端滑模控制器設計

基于系統式(14)所示的姿軌一體化動力學模型,考慮系統中存在參數不確定性及未建模動態,可以進一步得到姿軌一體化動力學方程,即

(21)

(22)

在進行控制器設計前,首先給出如下合理假設:

假設 2在對非合作目標的逼近過程中,追蹤航天器與目標航天器間的相對運動和相對姿態信息可測、光滑且有界。

為了便于后文對系統穩定性進行分析,現給出一個關于非線性系統穩定性的引理。

引理 1[17]若存在一個連續函數V(t)使得如下條件成立:

(1)V(t)正定；

(2) 存在實數c>0,α∈(0,1)以及一個原點的開鄰域使得

(23)

則系統在有限時間內穩定,且收斂時間滿足

(24)

定義系統的狀態偏差為

e=q-qd

(25)

則狀態偏差的一階導數及二階導數分別為

(26)

(27)

(28)

定義線性滑模面為

(29)

式中,λ=diag(λ1,λ2, …,λ6),λi>0,i=1,2,…,6；且定義s=[s1,s2, …,s6]T,si>0,i=1,2,…,6。為應用非奇異終端滑模控制理論進行控制律設計,需要定義非奇異終端滑模面σ。

(30)

式中,β=diag(β1,β2, …,β6),βi>0,i=1,2,…,6；p和q為正奇數,且滿足1

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

式中,γ0>0為待設計參數。對式(37)求導可得

(38)

進一步有

(39)

式中

(40)

式中,σmax(0)=‖σ(0)‖∞。本文將進一步證明在終端滑模面σ=0上,滑模面s也將在有限時間ts內到達s=0平面內。定義Lyapunov函數

(41)

V2在終端滑模面σ=0上對時間求導,可得

(42)

式中,βmin為β中絕對值最小的分量；

設滑動模態s在有限時間ts內收斂至0,則由引理1可知,當t≥ts時,s(t)=0,且滿足

(43)

證畢

注 2傳統通過引入邊界層的方法[13]抑制滑模抖顫雖能保證控制器輸出連續,但卻失去了不變性這個顯著優點,使得控制精度變低以及系統魯棒性變差。本文在控制器設計中借鑒了高階滑模的設計思想,保持了傳統滑模具有不變性的優點,消除了抖振,并保持了控制精度。

注 3由控制律式(34)～式(35)整理可得

(44)

注意到式(44)本質上是一個低通濾波器,該濾波器以方程右端信號為輸入,以控制器u為輸出,這在理論上解釋了本文所設計的控制器可以消除滑模控制抖顫問題的原因。

(45)

4　仿真分析

(46)

(47)

式中,R(σt)為地心慣性坐標系與目標航天器本體系之間的轉換矩陣。

(48)

作用在追蹤航天器上的干擾力矩(單位:N·m)模型取為

(49)

式中,A0=1.5×10-5N·m；ω0為軌道角速度；N(0,v)表示均值為零且方差為v的高斯白噪聲。本文取vρ=10-5,vσ=10-5。

表1　仿真參數

本文所設計的SONTSM控制器參數選取為

為了驗證本文所提SONTSM控制器在動態特性、控制輸出及魯棒性等方面的性能,將本文提出的控制方法與文獻[12]中的經典PD控制以及文獻[19]中的線性滑模控制(sliding mode control, SMC)作比較,將控制輸出及收斂時間調整至大致相等的范圍內,得到如圖2～圖5所示的變化曲線。圖2和圖3分別為兩航天器間的相對位置變化曲線和相對姿態歐拉角變化曲線。圖4和圖5分別給出了控制加速度和控制力矩的變化曲線。

由圖2和圖3可知,3種控制器均能完成預期的控制目標,但相對于PD和SMC,本文的SONTSM具有更短的收斂時間和更高的控制精度,使得追蹤航天器在約30 s內到達期望位置,在10s內便完成了初始姿態最大值約76°的大角度機動,實現與目標航天器的姿態同步。需要說明的是,圖3在用歐拉角描述姿態角變化時出現了奇異,而事實上，本文所使用的MRP并不存在奇異現象。圖4和圖5表明，在姿軌耦合控制初期需要較大的控制加速度和控制力矩,這是由于初始相對位置和相對姿態偏差較大而引起的,后期只需較小的控制加速度和控制力矩便可實現對期望相對位置和姿態的跟蹤。由圖4和圖5可知,SMC出現了明顯的抖顫現象,而本文SONTSM控制方法不僅具有較小的控制輸出,更重要的是克服了傳統滑模控制方法中的抖顫現象,且保持了滑模不變性,從而兼顧了系統魯棒性和控制精度,其控制輸出的連續使得該方法具有工程可實現性。

圖2　目標航天器本體坐標系下的相對位置Fig.2　Relative position in the body coordinate frame of target

圖3　相對姿態角Fig.3　Relative attitude angle

圖4　控制加速度Fig.4　Control acceleration

圖5　控制力矩Fig.5　Control torque

圖6　復合干擾導數界的估計曲線Fig.6　Compound disturbance boundary estimation

為了在系統魯棒性方面對3種控制方法加以比較,本文將系統干擾的數量級由10-5提高至10-1,圖7和圖8給出了這一強干擾下3種控制方法作用下的兩航天器間地心慣性坐標系下相對位置和目標航天器本體坐標系下相對姿態的三維運動曲線。由圖7可知,PD和SMC控制下的追蹤航天器均已偏離期望位置,無法滿足航天器逼近要求。本文SONTSM控制下的追蹤器則依然能夠很好地收斂于期望位置,具有很強的魯棒性。圖8則表明在這一強干擾下,PD控制下的追蹤航天器姿態已無法與目標航天器實現姿態同步,而本文的SONTSM與SMC仍可完成任務。

圖7　強干擾下兩航天器的相對位置圖Fig.7　Relative position versus time with strong disturbance

圖8　強干擾下兩航天器的相對姿態Fig.8　Relative attitude angle versus time with strong disturbance

為了評價和比較在對目標航天器逼近過程中的能量消耗,由最優控制導出的性能指標函數定義為

(50)

本文取T=50 s,圖9給出了3種控制方法的能量消耗柱狀圖。由圖9可知,在系統收斂至期望狀態的過程中,本文提出的SONTSM方法能量消耗最小。

圖9　不同控制方法下的能量消耗對比Fig.9　Energy consumption comparision of different controllers

將3種控制律在調節時間、穩態精度和能量消耗等方面的控制性能歸納如表2所示。由表2可知,本文的SONTSM相對于另外兩種控制方法,具有收斂快、精度高且能量消耗小的優勢。

表2　3種控制控制律的控制性能對比

5　結　論

本文對逼近自由翻滾非合作目標的姿軌耦合控制問題進行了研究,首先建立了不依賴目標軌道參數的六自由度相對運動模型,同時考慮系統不確定性、外部干擾以及滑模控制中的抖顫問題,設計了無滑模抖顫的自適應SONTSM控制器并給出了穩定性證明。該控制器在繼承傳統非奇異終端滑模控制優點的同時,克服了抖顫現象。通過仿真驗證了控制器的正確性和有效性,并與經典PD控制和傳統SMC方法對比,仿真對比結果表明,本文所提出的SONTSM方法在克服抖顫現象及保持滑模不變性的同時,具有魯棒性強、收斂快、精度高和能量消耗小的優勢。

[1]HuY,XuLJ,XieYC.Controlforrendezvousanddockingwithatumblingtargetspacecraft[J].Journal of Astronautics, 2015, 36(1): 47-57.(胡勇,徐李佳,解永春.針對失控翻滾目標航天器的交會對接控制[J].宇航學報,2015,36(1):47-57.)

[2]MengZ,RenW,CaoY,etal.Leaderlessandleader-followingconsensuswithcommunicationandinputdelaysunderadirectednetworktopology[J].IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, Part B: Cybernetics, 2011, 41(1): 75-88.

[3]WeissA,BaldwinM,ErwinRS,etal.Modelpredictivecontrolforspacecraftrendezvousanddocking:strategiesforhandlingconstraintsandcasestudies[J].IEEE Trans. on Control System Technology, 2015, 23(4): 1638-1647.

[4]SunL,HuoW.Robustadaptiverelativepositiontrackingandattitudesynchronizationforspacecraftrendezvous[J].Aerospace Science and Technology, 2015(41): 28-35.

[5]ZhangQZ,JinYQ,KangZY,etal.Coupledcontrolofrelativepositionandattitudeforservicingspacecraftapproachingthetargetincloseproximity[J].Systems Engineering and Electro-nics, 2015, 37(1): 141-147.(張慶展,靳永強,康志宇,等. 服務航天器超近程逼近目標的相對姿軌耦合控制[J].系統工程與電子技術,2015,37(1):141-147.)

[6]YangJ,LiSH,SuJY,etal.Continuousnonsingularterminalslidingmodecontrolforsystemswithmismatcheddisturbances[J].Automatic, 2013, 49(7): 2287-2291.

[7]LanQX,YangJ,LiSH.Finite-timecontrolfor6DOFspacecraftformationflyingsystems[J].Journal of Aerospace Engineering, 2015, 28(5): 1-19.

[8]ChenBL,GengYH.Supertwistingcontrollerforon-orbitservicingtonon-cooperativetarget[J].Chinese Journal of Aeronautics, 2015, 28(1):285-293.

[9]JiangBY,HuQL,ShiZ.Relativepositionandattitudecoupledcontrollerdesignforapproachinganddockingwithafreelytumblingtarget[J].Journal of Astronautics, 2014, 35(1): 54-60. (姜博嚴,胡慶雷,石忠.與自由翻滾目標近距離段交會對接的相對姿軌耦合控制[J].宇航學報, 2014, 35(1): 54-60.)

[10]GaoDW,LuoJJ,MaWH.Nonlinearoptimalcontrolofspacecraftapproachingandtrackinganon-cooperativemaneuveringobject[J].Journal of Astronautics, 2013, 34(6): 773-781.(高登巍,羅建軍,馬衛華.接近和跟蹤非合作機動目標的非線性最優控制[J].宇航學報,2013, 34(6): 773-781.)

[11]MingX,PanHJ.Nonlinearoptimalcontrolofspacecraftapproachingatumblingtarget[J].Aerospace Science and Technology, 2011, 15(2): 79-89.

[12]LuW,GengYH,ChenXQ,etal.Coupledcontrolofrelativepositionandattitudeforon-orbitservicingspacecraftwithrespecttotarget[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2011, 32(5):857-865.(盧偉,耿云海,陳雪芹,等.在軌服務航天器對目標的相對位置和姿態耦合控制[J].航空學報,2011, 32(5): 857-865.)

[13]FengY,YuXH,HanFL.Onnonsingularterminalsliding-modecontrolofnonlinearsystems[J].Automatic,2013,49(6):1715-1722.

[14]SanjoyM,ChitralekhaM.Adaptivesecondorderterminalslidingmodecontrollerforroboticmanipulators[J].Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(4): 2356-2377.

[15]FengY,HanFL,YuXH.Chatteringfreefull-ordersliding-modecontrol[J].Automatic, 2014, 50(4): 1310-1314.

[16]LiHR,JiangZB,KangN.Slidingmodedisturbanceobserver-basedfractionalsecond-ordernonsingularterminalslidingmodecontrolforPMSMpositionregulationsystem[J].Mathematical Problems in Engineering, 2015(2015)：1-14.

[17]MoulayE,PerruquettiW.Finitetimestabilityconditionsfornon-autonomouscontinuoussystems[J].International Journal of Control, 2008, 81(5): 797-803.

[18]LevantA.Higherorderslidingmodes,differentiationandoutput-feedbackcontrol[J].International Journal of Control, 2003, 76(9/10): 924-941.

[19]LiJR,LiHY,TangGJ.Adaptiveslidingmodecontrolforapproachtouncontrolledrotatingsatellite[J].Journal of Astronautics,2011,32(4):815-822.(李九人,李海陽,唐國金.對無控旋轉目標逼近的自適應滑模控制[J].宇航學報, 2011, 32(4): 815-822.)

Adaptive second order terminal sliding mode control forapproachtonon-cooperativetarget

LIU Hai-long, SHI Xiao-ping, ZHANG Jie, BI Xian-ting

(Control and Simulation Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Theproblemofcoupledrelativeorbitandattitudeforapproachingtoanon-cooperativetargetisresearched.Withtheconsiderationofcoupledfactorsofcontrolcommand,systemuncertaintyanddisturbance,thechatteringfreeadaptivesecondordernon-singularterminalslidingmode(SONTSM)controllawisproposed.Firstly,therelativepositionandrelativeattitudemodelbasedonthelineofsightcoordinateframeandbodycoordinateframerespectivelyisestablished.Basedontheterminalslidingmodetheoryandinspiredbythehighorderslidingmodecontrol,thecontrollerovercomesthechatteringphenomenonthatappearsinthetraditionalslidingmode,whichalsohastheadvantagesofrapidconvergence,highprecision,strongrobustnessandsmallerenergyconsumption.BasedontheLyapunovtheory,thesystemstabilityisproved.Simulationresultsdemonstratethevalidityandeffectivenessoftheproposedcontrollaw.

non-cooperativetarget;relativemotion;terminalslidingmode;coupledcontrol;secondorderslidingmodecontrol

2015-12-07；

2016-04-25；網絡優先出版日期：2016-06-22。

國家自然科學基金(61203191)；航空科學基金(20140177006)資助課題

V448.2

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.19

劉海龍(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為飛行器控制、非線性控制。

E-mail:11B904016@hit.edu.cn

史小平(1965-),男,教授,博士,主要研究方向為系統仿真、飛行器控制。

E-mail:sxp@hit.edu.cn

張杰(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為飛行器控制、圖像處理。

E-mail:396200648@qq.com

畢顯婷(1988-),女,博士研究生,主要研究方向為航天器姿態控制、時滯控制。

E-mail:bixt261@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160622.1124.004.html