MIMO干擾信道下基于自適應復合代價函數的干擾對齊預編碼設計

景小榮, 凌榮楨

(1. 重慶郵電大學通信與信息工程學院, 重慶 400065;2. 移動通信技術重慶市重點實驗室, 重慶 400065)

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MIMO干擾信道下基于自適應復合代價函數的干擾對齊預編碼設計

景小榮1,2, 凌榮楨1

(1. 重慶郵電大學通信與信息工程學院, 重慶 400065;2. 移動通信技術重慶市重點實驗室, 重慶 400065)

在多輸入多輸出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)干擾信道中,針對傳統的單邊干擾對齊(interferencealignment,IA)算法不能有效地保留期望信號而導致系統容量受限的問題,提出一種利用輔助中間變量實現單邊IA的設計思想,并以此為基礎,給出一種基于自適應復合代價函數(adaptivecompositecostfunction,ACCF)的IA預編碼設計方法。該方法首先定義期望子空間內的殘留干擾和有用信號功率的自適應加權差作為代價函數;進而通過一輔助函數,將干擾抑制矩陣轉化為中間變量,以構造復合代價函數;最后利用格拉斯曼(Grassmann)流形上的梯度下降法實現復合代價函數的優化求解。數值仿真結果驗證了基于ACCF的IA方法在MIMO干擾信道中的有效性。

多輸入多輸出; 干擾對齊; 自適應復合代價函數; 梯度下降法

0　引　言

多小區多輸入多輸出(multiple-inputmultiple-output,MIMO)系統中存在的同道干擾(co-channelinterference,CCI)嚴重地制約了系統的容量,干擾對齊(interferencealignment,IA)作為近年來提出的一種能有效提高干擾系統可達容量的干擾管理技術而備受關注,其核心思想是通過設計發送預編碼矩陣,將干擾信號壓縮到特定的低維子空間內,以保留盡可能大的無干擾子空間用于期望信號的傳輸。

根據預編碼矩陣獲取方式的不同,現有的IA算法可分為兩類:直接法[1-2]和迭代法[3-10]。直接法通過解析計算實現完全IA,其復雜度較低,但通常對系統天線配置和信道狀態信息(channelstateinformation,CSI)有嚴格的要求;而迭代法需多次循環迭代以逼近完全IA,復雜度較高,但往往能獲得較好的系統性能,且算法設計更加靈活。因此,目前針對IA算法的研究主要集中于迭代法。

文獻[3]首次將IA迭代法引入到K收-發對MIMO干擾信道中,提出最具代表性的最小干擾泄漏(minimizeinterference-leakage,Min-IL)算法和最大信干噪比(maximizesignal-to-interferencenoiseratio,Max-SINR)算法,其主要設計思想為:利用上下行信道的互易性,通過收發兩端交替優化預編碼矩陣和干擾抑制矩陣來實現干擾消除。基于該設計思想,Householder變換IA算法[4]、最小加權核范數IA算法[5]、非線性IA算法[6]、快速收斂Max-SINR算法[7]等被陸續提出,該類算法的設計需要收發兩端的緊密配合,雖然在理論上能獲得較好的系統性能,卻難以應用于實際系統[8]。主要原因包括:首先,實際系統很難滿足該類算法對收發兩端完全同步的要求;其次,收發兩端的反復迭代會產生大量的反饋與同步信息,不僅給通信系統帶來沉重的冗余負擔,而且不適用于移動終端等計算能力有限的情形;最后,算法過分依賴信道互易性,只可能應用在時分雙工(timedivisionduplexing,TDD)系統中。

針對上述迭代IA算法的諸多不足,文獻[8]利用特征值求和,克服了IA算法對干擾抑制矩陣的依賴,提出了一種由發送端獨立完成的迭代IA預編碼方法,將適用場景從TDD系統擴展到頻分雙工(frequencydivisionduplexing,FDD)系統;文獻[9]延續該設計思想,利用空間距離理論,通過最小化干擾子空間到期望子空間的投影距離,實現預編碼矩陣的優化。文獻[10]以系統和速率的最大化為優化目標,利用該目標函數的結構特性對優化問題進行重組,最后采用凸優化方法獲得IA預編碼矩陣的局部最優解。上述IA算法均由發送端獨立完成,本文將其統稱為單邊IA算法。為達到發送端獨立設計的目的,已有的單邊IA算法刻意忽略了干擾抑制矩陣的影響,導致算法在對齊干擾的過程中,不能同時而有效地抑制期望信號的損失,雖然簡化了實現機制,卻限制了算法的設計靈活性和系統可達容量的提升空間,同時,其算法性能也很難與采用收發端聯合設計的IA算法比肩[11]。如果僅從數學角度觀察,后者中的干擾抑制矩陣僅僅是輔助完成預編碼設計的工具,其更新與接收端并沒有必然的聯系。然而,已有的單邊IA算法簡單地認為干擾抑制矩陣的更新僅能通過接收端完成,因而以直接回避干擾抑制矩陣計算的方法來簡化IA算法的實現機制,這是極不明智的。

為了突破傳統單邊IA算法在設計靈活性和可達容量提升空間上的限制,本文針對多收-發對MIMO干擾信道,提出了一種利用輔助變量優化預編碼矩陣的單邊IA設計思想。該設計思想將干擾抑制矩陣作為輔助中間變量,以函數映射的方式引入到發送端的IA預編碼設計中,使其在優化預編碼矩陣的同時得到更新,而無需接收端的參與,這樣既保證了算法的單邊可實現性,又拓寬了單邊IA算法的設計空間和系統可達容量的提升空間。基于該設計思想,本文以期望子空間內的殘留干擾與有用信號功率的自適應加權差為代價函數,以干擾協方差矩陣的部分特征向量構造干擾抑制矩陣,并利用格拉斯曼(Grassmann)流形上的梯度下降法實現了預編碼矩陣的優化求解。仿真表明,該方法較好地改善了系統性能。

1　系統模型

如圖1所示，在包含K個收-發對的MIMO干擾信道中,K個發送端同時獨立地向各自對應的接收端發送數據,接收端同時接收到期望信號和來自非期望發送端的干擾信號。假設第k個收-發對分別配置Nk和Mk根天線,發送端k發送的數據流數為dk,滿足dk≤min(Mk,Nk),則第k個輸出信號矢量yk∈CNk×1可表示為

(1)

式中，K={1,2,…,K};Hkj∈CNk×Mj表示發送端j到接收端k的平坦衰落信道矩陣,為簡單起見,文中假設各發送端已確知每一個信道矩陣;sk∈Cdk×1表示發送信號矢量,經矩陣Vk∈CMk×dk預編碼后,滿足功率約束E{‖Vksk‖2}≤Pk/dk,‖·‖表示矢量的2-范數，E{·}表示數學期望求取操作;nk∈CNk×1表示接收端k接收到的復高斯白噪聲矢量,其分布滿足nk～CN(0,σ2I)。信號yk經接收干擾抑制矩陣Uk∈CNk×dk處理后,可表示為

(2)

式中，(·)H表示矩陣的共軛轉置。

圖1　MIMO干擾信道模型Fig.1　MIMO interference channel model

該信道模型下,系統和速率可由式(3)表示

(3)

式中，Rk表示第k個收-發對的數據傳輸速率;det{·}表示矩陣的行列式;Qk為干擾協方差矩陣,其表達式為

(4)

2　IA可行性

對于多收-發對MIMO干擾信道,文獻[3]首次給出線性IA實現的條件如下:

(5)

(6)

(7)

然而,迭代IA算法通常難以實現干擾的完全對齊,即不能保證式(5)的絕對成立,因此判斷迭代IA算法是否可行的指標不再是式(5)的成立與否,而是接收期望子空間內的殘留干擾量是否能逼近到0。殘留干擾功率的表達式為

(8)

3　基于ACCF的預編碼設計

已有的迭代IA算法多以最小化殘留干擾作為優化目標[3,8],雖然能很好地抑制干擾,卻不可避免地造成期望信號的損失,而期望信號強度與噪聲功率是低信噪比(signal-to-noiseratio,SNR)下影響系統性能的主要因素,所以該類算法僅能在高SNR下能獲得較好的系統性能,而低SNR下的性能較差。因此,為了進一步改善系統性能,本文同時考慮干擾信號與期望信號,以期望子空間內的殘留干擾與有用信號功率的自適應加權差作為IA算法優化設計的代價函數,從而將殘留干擾的最小化和期望信號功率的最大化有效地融合進同一優化問題中,同時通過權值αk的選擇在二者之間找到一個可改善系統性能的最佳折中點。此時,IA問題可描述為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中，a0，b0分別為a和b的初始值;ΔK表示收-發對數的變化量;η1，η2分別表示a和b隨ΔK的變化速率,根據仿真,選擇η1≈0.1,|η2|≈1。

(14)

(15)

式(15)定義了一個在歐氏空間Vk∈CMk×dk內有特定約束的優化問題。為了減小該問題的求解難度,本文首先考慮去掉約束條件,由于對任意酉矩陣G,干擾協方差矩陣Qk都滿足:

(16)

(17)

即f(V)滿足酉不變性,這啟發本文引入Grassmann流形簡化式(15)給出的優化問題。Grassmann流形是內嵌在更高維歐氏空間的一個集合,可定義為[12]

Gr(Mk,dk)=

(18)

顯然,滿足式(15)的矩陣{Vk,k∈K}也恰好滿足Grassmann流形的定義,因此,將式(15)定義的歐氏空間上的約束優化問題重組到Grassmann流形上便可去掉約束條件,轉化為無約束問題。

由于Grassmann流形Gr(Mk,dk)的維度為dk(Mk-dk)[13],遠低于相應歐氏空間Vk∈CMk×dk的維度Mkdk,因此,引入Grassmann流形的另一個作用是大大降低了f(V)的解空間維度,從而極大地減小了算法的復雜度。

確定了優化空間,接下來是f(V)的求解問題。由于式(15)描述的優化問題不存在凹凸特性,不能通過解析計算直接求解,因此,本文利用經典的梯度下降法[14]來逐步逼近其最優解。梯度下降法是指代價函數的測試點在其約束集內,沿著其最陡下降沿方向上的某一軌跡不斷移動,直到梯度為零的線性優化方法。該方法的關鍵是計算f(V)的梯度。由于f(V)是定義在Grassmann流形上的實值函數,根據文獻[15],其梯度可按式(19)計算。

(19)

式中，(·)*表示矩陣的復共軛操作;?(·)/?(·)表示偏導數求取操作。

(20)

(21)

(22)

當k=i時,根據矩陣運算公式[16]：

d[Tr(X)]=Tr(dX), vec(dX)=dvec(X)

d [Tr (XTY)]=vecT(X)vec(Y)

可得

(23)

當k≠i時,利用矩陣運算公式[16]:

DXZ=DYZ·DXY,DX(AXB)=BT?A

dvec[F(X,X*)]=DXFdvec(X)+DX*Fdvec(X*)

可得

(24)

式中,(·)T表示矩陣的轉置;?表示矩陣的Krone-cker乘積;

(25)

(26)

(27)

(28)

綜上,梯度計算的最終結果為

(29)

由于可微函數的值沿其負梯度方向減小速度最快,因此梯度下降法的最陡下降沿方向為

(30)

接下來,解決最后一個關鍵問題,即最優迭代步長的選取。步長是梯度下降法中的一個重要參數,若取值太小會導致f(V)減小過慢,從而影響算法收斂速率;而取值過大又極有可能錯過f(V)的最優解,并且最優的步長值往往會隨著迭代進行而不斷變化。因此本文采用具有自適應功能的Armijo步長選擇機制[14]。該機制下,算法可根據f(V)的變化自動選擇最合適的步長,具體選擇步驟見表1。文獻[14]已證明滿足Armijo準則的步長一定存在。

表1　Grassmann流形上基于ACCF的IA預編碼算法

qfp:CMk×dk→Gr(Mk,dk)

其定義及具體計算方法在文獻[13]中有詳細介紹,此處不再贅述;

②步驟(4)中的〈·〉表示矩陣內積計算。由于本算法在Grassmann流形上執行,因此滿足如下關系[13]:

③步驟(4)中的步長搜索參數ε,β取值為ε=1,β=0.5,步驟(7)中的δ是終止迭代的門限因子,通常取值約為10-4。

總結上述分析,最終得到Grassmann流形上基于ACCF的單邊IA算法,其算法流程如表1所示。由于{αk,k∈K}可以保證f(V)非負并以零為下界,而步驟(4)能保證每次迭代后f(V)都會減小,因此該IA預編碼算法必然收斂,但f(V)最終能收斂到一個局部最優點還是全局最優點,至今仍是一個有待研究的開放性問題[8]。

需要指出的是,以上IA預編碼算法過程只需在線操作就可實現。同時,該干擾對齊預編碼設計算法與收發兩端聯合優化的設計機制[3-7]不同,其優化過程由發送端單獨完成,從而有效避免了聯合優化機制因收發兩端的反復交替迭代操作而帶來的大量反饋與同步信息開銷等問題。因此,該過程理論上不會對通信效率造成影響。

4　仿真分析

本節利用Matlab仿真,考察Grassmann流形上基于ACCF的IA預編碼算法(為方便圖中標識,簡稱為ACCF算法)的性能。考慮一含有K個收-發對MIMO干擾系統,每個收-發對分別配置N、M根收發天線,傳送d個數據流,設定其所有信道都是獨立同分布的瑞利平坦衰落信道,服從零均值單位方差的復高斯分布,下面以(M×N,d)K對該系統進行標識。

首先討論ACCF算法中的權重系數αk的取值對系統和速率的影響。圖2對比了(2×2,1)4和(2×2,1)5系統在不同SNR下,歸一化平均和速率隨αk的變化關系。為方便比較,本文定義歸一化平均和速率的計算式為

圖2　權值分析Fig.2　Weighting coefficients analysis

由圖2可知,歸一化平均和速率隨αk的改變有較大變化;且同一系統下,與最大和速率對應的最優權值隨SNR的增大而減小;相同SNR下,與最大和速率對應的最優權值隨收-發對個數K的增多而減小。由于SNR越大,干擾對系統性能的影響程度也越大;系統收-發對個數越多,干擾信號也增多,使得對齊干擾的難度隨之增大。因此,應減小αk的取值以提高干擾信號在f(V)中的比重,從而更加有效地抑制干擾信號。顯然,由式(11)給出的αk的自適應取值方式完全遵循了上述變化規律。

進一步,將ACCF算法與經典的Min-IL算法[3]、Max-SINR算法[3]以文獻[8]給出的最小干擾強度(minimize interference-strength,Min-IS)算法進行比較分析。其中，Min-IS算法屬于單邊IA算法,而Min-IL算法和Max-SINR算法的實現需要收發端的聯合優化。為保證公平性,本文將這4種IA算法在相同環境下進行仿真,即仿真的系統配置、信道系數矩陣、初始預編碼矩陣以及迭代次數均相同,并且均取100次仿真的平均值。圖3～圖5在分別比較了上述4種IA算法在期望信號保留、干擾抑制和可達和速率方面的性能。

圖3　期望信號分析Fig.3　Desired signal analysis

圖4　殘留干擾分析Fig.4　Leakage interference analysis

圖3與圖4分別給出(2×2,1)4系統在不同SNR下,接收期望信號功率相對于期望信號發送功率的值和接收殘留干擾功率相對于干擾信號發送功率的值隨迭代次數的變化曲線。從圖3可以看出,隨著迭代進行,期望信號功率隨迭代次數增加而減小,原因在于IA算法在對齊干擾的同時,不可避免地將部分期望信號也對齊到了干擾子空間內,造成期望信號的損失。圖3還顯示,相同SNR下,ACCF算法獲得的期望信號相對功率高于Min-IL算法和Min-IS算法,低于Max-SINR算法,且ACCF算法在SNR=0 dB時保留期望信號的能力比在SNR=30 dB時更強。圖4表明,Min-IS算法抑制干擾的能力最強,Min-IL算法次之,且兩種算法抑制干擾的能力均與SNR無關;ACCF算法抑制干擾的能力優于Max-SINR算法:Max-SINR算法在高SNR和低SNR下,抑制干擾的能力都比較弱;ACCF算法抑制干擾的能力隨SNR的增大而增強,反之亦然。文獻[18]指出,Max-SINR算法并不收斂,即其抑制干擾的能力非常有限,因此,Max-SINR算法雖能較好地保留期望信號,卻不能有效地抑制干擾;而本文給出的ACCF算法根據干擾對系統性能的影響特性,合理地調節權值,實現在低SNR下側重于期望信號的保留,而在高SNR下強調干擾的抑制。

圖5　和速率分析Fig.5　Sum-rate analysis

由文獻[17]可知,根據(M+N)與(K+1)d的大小關系,可將MIMO干擾系統分為IA“適合”系統和 非“適合”系統,為了考察ACCF算法在這兩種系統下和速率性能,圖5(a)和圖5(b)分別給出非“適合”系統(2×2,1)4與(2×2,1)5和“適合”系統(3×3,1)4下,上述4種IA算法的平均可達和速率隨SNR的變化曲線,仿真結果均為4種IA算法經過10次迭代所得。觀察圖5(a)可知，Min-IL算法和Min-IS算法的和速率性能非常接近,均差于ACCF算法,因為ACCF算法不僅同時考慮了干擾信號和期望信號的影響,還考慮了最優權值與發送功率和收-發對個數的關系,較好地改善了系統性能;Max-SINR算法的和速率性能最優,因為除了期望信號與干擾信號,Max-SINR算法還兼顧了噪聲的影響。與圖5(a)相比,圖5(b)中4種算法的和速率性能對比關系基本保持一致,唯一不同的是,各算法在不同SNR下的可達和速率均大幅度提升,因為對于IA非“適合”系統,抑制干擾和保留期望信號將變得非常困難,也就是說，上述4種算法在IA非“適合”系統下,均不能將干擾完全消除(見圖4),殘留的干擾信號限制著系統和速率的提升;而在IA“適合”系統下,通過IA算法,很容易將殘留干擾逼近為零,從而大幅度提高系統和速率[17]。

盡管圖5(a)與圖5(b)均顯示Max-SINR算法的和速率性能最好,但其僅能作為理論上的極限,難以應用于實際系統,主要原因有3個:一是Max-SINR算法按數據流進行優化且求解過程涉及噪聲導致計算復雜度過高;二是算法依賴于信道互易性,需要收發兩端的大量反饋與嚴格同步;三是算法收斂性得不到保證,即不能有效地抑制干擾。因此,性能僅次于Max-SINR算法的ACCF算法將會是一個較好的選擇。

雖然圖2～圖4均是針對非“適合”系統的仿真結果,但事實上,仿真表明,上述4種IA算法在“適合”系統下也能得到類似的結果,即ACCF算法的最優權值隨SNR和收-發對個數的變化規律與圖2類似;4種IA算法獲得的期望信號功率的大小對比關系和殘留干擾功率的大小對比關系分別與圖3和圖4保持一致,區別僅在于,4種IA算法抑制干擾和保留期望信號的能力均大大增強。

5　結　論

本文針對傳統單邊IA算法在設計靈活性與系統性能上的受限問題,提出一種將干擾抑制矩陣作為中間變量,輔助發送端實現最優預編碼的IA設計思想。該思想將IA算法的單邊設計從預編碼矩陣{Vk,k∈K}的獨立優化擴展到干擾抑制矩陣{Uk, k∈K}與預編碼矩陣{Vk,k∈K}的互助優化;并且不同于聯合IA對{Vk, k∈K}和{Uk,k∈K}的對稱更新設計,該設計思想下的{Vk, k∈K}和{Uk,k∈K}可以采用兩種不同的方式獲取,極大地提高IA算法設計的靈活性。此外,干擾抑制矩陣參與到預編碼設計中,有利于干擾抑制和期望信號保留的同時實現,拓寬了系統和速率的提升空間。

利用該思想,本文針對MIMO干擾信道,提出一種Grassmann流形上基于ACCF的單邊IA預編碼方法。仿真及理論分析表明,該方法與Min-IS算法相比,有更低的解空間維度、更強的期望信號保留能力和更高的可達和速率;而相比于Min-IL算法和Max-SINR算法,該方法的實現機制更為簡單,適用范圍更加廣泛。

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Precoder design for interference alignment based on adaptive compositecostfunctionoverMIMOinterferencechannels

JING Xiao-rong1,2, LING Rong-zhen1

(1. School of Communication and Information Engineering, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2. Chongqing Key Lab of Mobile Communications Technology, Chongqing 400065, China)

Thetraditionalone-sideinterferencealignment(IA)algorithmscannoteffectivelyreservethedesiredsignalsintheinterference-freesubspaceovermultiple-inputmultiple-output(MIMO)interferencechannels,whichcausesthedegradationofthesystemcapacity.Todealwiththis,anewIAdesignconceptwithauxiliaryintermediatevariablesisputforward,thenamethodbasedonadaptivecompositecostfunction(ACCF)isproposedtodesigntheprecodermatrices.Inthemethod,theadaptiveweighteddifferencebetweenthepowersoftheleakageinterferenceandusefulsignalsisfirstlydefinedasthecostfunction.Thentheinterferencesuppressionmatricesaretransformedintotheintermediatevariablesbyanauxiliaryfunctioninordertoobtaintheadaptivecompositefunction.Finally,thecompositecostfunctionisoptimizedtoobtaintheprecoderwiththemodifiedgradientdescentmethodontheGrassmannmanifold.SimulationresultsverifytheeffectivenessoftheACCF-basedIAmethodoverMIMOinterferencechannels.

multiple-inputmultiple-output(MIMO);interferencealignment(IA);adaptivecompositecostfunction(ACCF);gradientdescentmethod

2015-12-28；

2016-06-05；網絡優先出版日期：2016-07-17。

國家高技術研究發展計劃(863計劃)(2014AA01A705)；重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2015jcyjA40040)資助課題

TN92

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.10.28

景小榮(1974-),男,副教授,博士,主要研究方向為無線MIMO技術及信號處理。

E-mail:jingxr@cqupt.edu.cn

凌榮楨(1990-),女,碩士研究生,主要研究方向為MIMO系統中的信號處理。

E-mail:15123370785@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160717.0949.012.html