Delta結構3D打印機運動學研究

鄭　曉， 王　君

(湖北工業大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

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Delta結構3D打印機運動學研究

鄭曉， 王君

(湖北工業大學機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

描述一種直線型Delta結構3D打印機的結構，對結構進行了一定等效簡化。以該3D打印機機械本體為研究對象，對其運動學反解以及速度反解進行分析與研究，推導出運動學反解方程以及速度反解公式。

3D打印機; 運動學; Delta結構

3D打印(Three Dimension Printing，3DP)技術[1]是采用離散材料(液體、粉末、絲、板、片、塊等)逐層累加原理制造實體零件的技術。相對于傳統的材料去除技術，3D打印是一種自下而上材料累加的制造工藝[2-3]。進入21世紀以來，Delta系列機器人呈現出高速、高精度、靈活性等發展方向[4]，Pierrot團隊相繼發明了四支鏈的H4、I4、Heli4以及Part4等機構[5-7]，Clavel先后提出將外轉動副改為移動副的三種變異形式[8]，即直線型Delta結構，本文研究的3D打印機，其結構即為一種直線型Delta結構。

Delta結構3D打印機是Delta結構并聯機器人與3D打印的融合。3D打印技術在國內的應用還不十分廣泛，因而對3D打印機的研究還處于初期階段。而目前對Delta結構并聯機器人運動學研究主要集中在對四支鏈機構的研究上，Pierrot[6]、Choi[9]等均采用牛頓迭代法對H4變異機構進行運動學分解求解。對于直線型Delta結構雖有一些研究[10-13]，但其運動學求解方式普遍較為繁瑣。針對以上情況，本文對直線型Delta結構3D打印機進行運動學分析，結合幾何和代數的方法，求出運動學反解，并在運動學分析的基礎上對其進行速度分析，求出其雅克比(Jacobi)矩陣，同時得到其速度反解。該方法相對于傳統方法計算更加簡單，推導過程更加直觀易懂。

1　打印機結構描述

該3D打印機由定平臺、動平臺以及連接兩平臺的3個分支組成(圖1)，3個分支以定平臺中心呈對稱分布，具有相同的運動鏈，都含有一個平面平行四邊形機構。該平行四邊形機構一端與滑塊連接，另一端與動平臺連接，動平臺中心與該3D打印機的打印頭部分相連接，該平行四邊形機構可等效為過其上下邊中點的一根單桿。滑塊安裝在直線導軌上，導軌的下方安裝有3臺步進電機，步進電機帶動軸上的同步帶輪做旋轉運動，同步帶輪依靠與滑塊固定在一起的同步帶，將同步帶輪的旋轉運動轉變為滑塊的直線運動，滑塊的上下運動使得動平臺完成對打印頭位置的控制。

圖 1　3D打印機實物圖

該3D打印機機構簡圖如圖2所示，定平臺為一個正三角形△A1A2A3，其特征參數是R；直線導軌垂直于定平臺，滑塊(移動副)Mi(i=1,2,3)安裝在直線導軌上，其位移為li(i=1,2,3)；動平臺為正三角形△B1B2B3，其特征參數是r，動平臺與移動副通過簡化平行四邊形機構后的單桿連接，三根單桿桿長均為l。

圖 2　3D打印機機構簡圖

2　打印機運動學反解分析

求解運動學反解就是在已知動平臺位姿的條件下求解定平臺三個移動副的位移量。以定平臺幾何中心O為坐標原點建立坐標系O-XYZ，以動平臺幾何中心O′為坐標原點建立坐標系O′-X′Y′Z′，3根單桿即為該打印機機構的3條支鏈。支鏈分布見圖3，單個支鏈在XOZ面的投影見圖4。

圖 3　支鏈分布圖

如圖3所示，點Ai為移動副在定系O-XYZ面的投影位置，向量

(1)

其中，αi(i=1,2,3)為OAi與O-XYZ中X軸正向的夾角。

圖 4　支鏈結構簡圖

沿移動副軸線方向的向量

(2)

則向量

OMi=OAi+AiMi=

(3)

Bi點在坐標系O′-X′Y′Z′中表示為

(4)

(5)

由于三根單桿的桿長是固定的，即向量MiBi的模為l，用等式表示為：

(6)

將式(3)、式(5)代入式(6)中，得到關于移動副位移li的方程

(7)

解方程(7)得

li=Z±

(i=1,2,3)

(8)

根據delta結構3D打印機的設計要求，定平臺在動平臺上方，根據坐標系的建立可知li>Z，則li最終表達式為

li=Z+

(i=1,2,3)

(9)

上式即為該3D打印機的運動學反解方程。

3　打印機速度反解分析

該Delta結構3D打印機的速度方程可以通過式(7)對時間求導來得到。

將式(7)寫成如下形式

(10)

將式(10)兩端同時對時間求導，v1、v2、v3表示輸入速度(移動副速度)，vx、vy、vz表示輸出速度(動平臺末端執行器在坐標系O-XYZ內的速度)，整理得

(11)

將式(11)整理成矩陣形式，得

(12)

(13)

J=B-1A,

式(13)反映了輸入速度與輸出速度之間的關系，J稱為此打印機的雅克比(Jacobi)矩陣，同時得到速度反解的公式為

4　結論

1)對于本文介紹的一種直線型Delta結構3D打印機，對其結構進行了詳細描述，以桿長作為約束條件，結合代數和幾何方法推導出了運動學反解方程。此方法計算過程簡單、推導直觀。

2)在運動學反解的基礎上進一步推導出雅克比(Jacobi)矩陣以及速度反解公式，雅克比矩陣表示了該Delta結構3D打印機輸入速度與輸出速度之間的關系，是進行動力學分析以及奇異性分析的基礎。

[1]科技智囊專題研究小組．3D打印，讓世界更精彩[J]．科技智囊，2013(3)：13-17．

[2]中國機械工程學會．3D打印，打印未來[M]．北京：中國科學技術出版社，2013：1-4．

[3]邢鴻飛，保羅·麥基里．第三次工業革命[J]．世界科學，2012(7)：10-11．

[4]馮李航、張為公．Delta系列并聯機器人研究進展與現狀[J]．機器人，2014(5)：375-382．

[5]PierrotF，NabatV，CompanyO，etal．Optimaldesignofa4-DOFparallelmanipulator：Fromacademiatoindustry[J]．IEEETransactionsonRobotics，2009，25(2)：213-224．

[6]PierrotF，MarquetF，GilT，H4parallelrobot：Modeling，designandpreliminaryexperiments[C]//IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation．Piscataway，USA：IEEE，2001：3256-3261．

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[責任編校： 張眾]

Research on Kinematics of Delta Structure 3D Printer

ZHENG Xiao, WANG Jun

(SchoolofMechanicalEngineering,HubeiUniversityofTechnology,Wuhan430068,China)

This paper studies the kinematic characteristics of a linear Delta structure 3D printer. The printer is composed of a fixed platform, a movable platform and three branches, and the mechanical body is a linear Delta structure. The structure of the 3D printer is described and simplified to some extent. With the 3D printer as the research object, this paper analyzes the kinematics reverse solution and inverse velocity of the 3D printer, based on which the inverse kinematics equation and inverse velocity formula are derived. It provides a theoretical basis for the application of linear Delta structure 3D printer in practical work．

3D printer; kinematics; delta structure

2016-03-22

國家自然科學基金(51405140)； 湖北省自然科學基金重點項目(2015CFA112)； 湖北省教育廳優秀中青年科技創新團隊項目(T201505)

鄭曉(1991-)， 女，湖北十堰人，湖北工業大學碩士研究生，研究方向為機構綜合與分析，機器人學

1003-4684(2016)04-0021-03

TH12

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