高等數(shù)學(xué)中利用輔助函數(shù)證明不等式的幾種方法

沈秀娟

摘 要：高等數(shù)學(xué)中證明不等式的方法多種多樣，而且有些題目適合一題多解.常用的方法有：比較法、反證法、判別式法等.本文從構(gòu)造輔助函數(shù)出發(fā)，利用拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于不等式的證明做了較系統(tǒng)的歸納和總結(jié).

關(guān)鍵詞：拉格朗日定理；單調(diào)性；不等式；輔助函數(shù)

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式的證明是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多數(shù)人在遇到不等式證明的問題是就不知所措，對(duì)不等式的證明，常用以下情形證明不等式，如：拉格朗日中值定理法、Taylor展開式公式法、泰勒中值定理、極值法、定積分的一些性質(zhì)等.本文以作輔助函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)不等式的證明做了一下探討.

一、用拉格朗日中值定理構(gòu)造函數(shù)證明不等式

該定理證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和閉區(qū)間[a，b]，使得：

（一）要證不等式的一部分可以寫成或；

（二）在上滿足拉格朗日公式的適當(dāng)放大或縮小，即可證出要證明的不等式.

二、用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)證明不等式

構(gòu)造輔助函數(shù)，取定閉區(qū)間；

構(gòu)造輔助函數(shù)方法：

1、利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)；

2、利用不等式兩邊相同“形式”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)；

3、若所證的不等式涉及到冪指數(shù)函數(shù)，則可通過適當(dāng)?shù)淖冃螌⑵浠癁橐子谧C明的形式，再如前面所講那樣，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù).

（一）利用不等式兩邊之差構(gòu)造輔助函數(shù)

（二）利用不等式兩邊相同“形式”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)

（三）利用公式法構(gòu)造函數(shù)

三、結(jié)論

不等式的證明在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有舉足輕重的作用，是進(jìn)行計(jì)算、推理、數(shù)學(xué)思想方法滲透的重要內(nèi)容.不等式的證法多種多樣，針對(duì)本文所存在的局限性，在以后的學(xué)習(xí)中一定注重題型的復(fù)雜多變形，把問題簡(jiǎn)單化，找到合適的解決方法.本文從構(gòu)造輔助函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，把題目變形整形，利用拉格朗日定理和函數(shù)單調(diào)性，對(duì)于不等式的證明給出了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，然后找到最簡(jiǎn)潔的證明方法.該方法對(duì)不等式的證明具有極其重要的意義，對(duì)學(xué)生在證明不等式時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ幸欢ǖ闹笇?dǎo)作用.

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