高等數學中利用輔助函數證明不等式的幾種方法

沈秀娟

摘 要：高等數學中證明不等式的方法多種多樣，而且有些題目適合一題多解.常用的方法有：比較法、反證法、判別式法等.本文從構造輔助函數出發，利用拉格朗日定理和函數的單調性，對于不等式的證明做了較系統的歸納和總結.

關鍵詞：拉格朗日定理；單調性；不等式；輔助函數

在高等數學的學習過程中，不等式的證明是一個重點和難點，大多數人在遇到不等式證明的問題是就不知所措，對不等式的證明，常用以下情形證明不等式，如：拉格朗日中值定理法、Taylor展開式公式法、泰勒中值定理、極值法、定積分的一些性質等.本文以作輔助函數為出發點，對不等式的證明做了一下探討.

一、用拉格朗日中值定理構造函數證明不等式

該定理證明不等式的關鍵是構造適當的函數和閉區間[a，b]，使得：

（一）要證不等式的一部分可以寫成或；

（二）在上滿足拉格朗日公式的適當放大或縮小，即可證出要證明的不等式.

二、用函數的單調性構造函數證明不等式

構造輔助函數，取定閉區間；

構造輔助函數方法：

1、利用不等式兩邊之差構造輔助函數；

2、利用不等式兩邊相同“形式”的特征構造輔助函數；

3、若所證的不等式涉及到冪指數函數，則可通過適當的變形將其化為易于證明的形式，再如前面所講那樣，根據不等式的特點，構造輔助函數.

（一）利用不等式兩邊之差構造輔助函數

（二）利用不等式兩邊相同“形式”的特征構造輔助函數

（三）利用公式法構造函數

三、結論

不等式的證明在整個數學學習中占有舉足輕重的作用，是進行計算、推理、數學思想方法滲透的重要內容.不等式的證法多種多樣，針對本文所存在的局限性，在以后的學習中一定注重題型的復雜多變形，把問題簡單化，找到合適的解決方法.本文從構造輔助函數為出發點，把題目變形整形，利用拉格朗日定理和函數單調性，對于不等式的證明給出了系統的歸納和總結，然后找到最簡潔的證明方法.該方法對不等式的證明具有極其重要的意義，對學生在證明不等式時選擇恰當的方法有一定的指導作用.

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