弦微分代弧微分及圓環(huán)線圈面磁場的解析算法

張方孫長利張德志沈峻嶺張擁軍

（1.淮北中房金爵房地產(chǎn)開發(fā)有限公司，安徽淮北 253000；2.滎陽市水務(wù)局，河南滎陽 450100）

弦微分代弧微分及圓環(huán)線圈面磁場的解析算法

張方1孫長利2張德志2沈峻嶺2張擁軍2

（1.淮北中房金爵房地產(chǎn)開發(fā)有限公司，安徽淮北 253000；2.滎陽市水務(wù)局，河南滎陽 450100）

對于圓環(huán)線圈電流磁場的精確計(jì)算方法，當(dāng)遇到圓環(huán)線圈面和對稱軸上的磁場計(jì)算問題時(shí)，存在不適用的缺陷。該文通過數(shù)學(xué)變換和論證，使用弦微分代弧微分的方法，經(jīng)積分有效解決了圓環(huán)電流尤其是線圈圓環(huán)面上磁場的解析算法問題，彌補(bǔ)了軸對稱線圈磁場的精確計(jì)算方法中所存在的不足，可用于圓環(huán)線圈面等磁場的數(shù)值計(jì)算。

圓環(huán)線圈 磁場 解析解

1　圓環(huán)線圈電流元Ids的軸向dBx、徑向dBr、周向dBφ磁場

如圖1：求⊙O環(huán)A點(diǎn)電流源Ids在任一點(diǎn)P（a，rsinΦ’，rcosΦ’）的軸向（dBx）、徑向（dBr）磁場。P是距⊙O為a，距x軸為r的同圓心軸的平行⊙O’周上的任意點(diǎn)。O’=Φ’，A（0，RsinΦ0，RcosΦ0），E（0，0，R/cosΦ0），O’（a，0，0），∠AOB=Φ=Φ0-Φ’，PP’=a，PP’⊥⊙O，∠AOA’=△Φ，PO’∥BB’，AP=ρ，A’P=ρ’=ρ+△ρ，∠P’PA=θ，∠APA’=△θ，⊙O弧微分ds=rdΦ，dB=［μ0/（4л）］［（Ids）Χρ0/ρ2］.

求：dBx；dBr；dBφ.

④dBx；dBr；dBф.在平行⊙O’周P點(diǎn)有：dB=dBx（軸向）+dBr（徑向）+dBф（周向），經(jīng)推導(dǎo)

2　弦微分代弧微分用于圓環(huán)線圈軸向Bx、徑向Br磁場的解析算法

2.1弦微分代弧微分法的討論

如圖2，⊙O中A（x，y），A’（x+Δx，y+Δy），ф對應(yīng)的弧弦，改變應(yīng)弧的改變量為ф所對應(yīng)的弦的微小改變量為′。

表示當(dāng)自變量ф的微小改變量Δф→0時(shí)，Δф所對應(yīng)的弧改變量的微分

=0（∵cosβ≤1是有界函數(shù)，且根據(jù)無窮小定理2）

2.3結(jié)果

3　弦微分代弧微分用于圓環(huán)線圈軸向磁場Bx的解析算法

3.1弦微分代弧微分對圓環(huán)線圈面上軸向磁場Bx的解析算法

3.2數(shù)值計(jì)算

a=0，R=1，r∈｛0.999；0.99； 0.9；0.7；0.5； 0.3；0.1；0.01；0. 001 ｝；

［4л/（μ0I）］Br∈｛1000.060318；103.0083021；10.4347499；3. 580294635；2.401139081；2.170595712；2.146599406；2.013454487；2.001334534｝

3.3與軸向磁場Bx精確計(jì)算方法比較

3.4計(jì)算結(jié)果

R=r=1（r≠0）；a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5；0.4；0.3；0.2；0. 1；…｝（a≠0）；

［4л/（μ0I）］Br∈｛0.1742668058；0.5492082842；0.8284177799；0.9610701869；1.124570047；1.331857666；1.606908936；2. 00318576；2.69075153｝.

當(dāng)R=r=1；a∈｛2；1；0.7；0.6；0.5；0.4；0.3；0.2；0.1｝，與弦微分代弧微分Br計(jì)算數(shù)值比較全相等.

3.5結(jié)果

弦微分代換弧微分可用于圓環(huán)線圈特別是圓環(huán)面上軸向磁場的近似數(shù)值計(jì)算。

4　弦微分代弧微分用于圓環(huán)線圈徑向磁場Br的解析算法

4.1弦微分代弧微分對圓環(huán)線圈徑向磁場Br的解析算法

4.2數(shù)值計(jì)算

R=r=1，a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5； 0.4；0.3；0.2；0.1；0.01；0.001；0.0001 ｝；

［2л/（μ0I）］Br∈｛0.1792418；0.6199047；1.0584226；1. 3081783；1.6591043； 2.1850764；3.0554443；4.775091452；9. 854296888；99.97379261；999.996228；9999.999508｝

4.3與徑向磁場Br精確計(jì)算方法比較

4.4數(shù)值計(jì)算

令R=r=1（r≠0），a∈｛2.0；1.0；0.7；0.6；0.5； 0.4；0.3；0.2；0. 1…｝（a≠0）；

［2л/（μ0I）］Br∈｛0.1792865848；0.6198230489；1.058422858；1.308056086；1.659142489；2.185080156；3.055418169；4. 774867375；9.852985812｝.

弦微分代弧微分∶精確算法：99.978%；100.013%；99.9999%；100.009%；99.9977%；99.9999%；100.0008%；100.004%；100.0001%

4.5結(jié)果

使用弦微分代換弧微分算法，可用于圓環(huán)線圈徑向磁場的近似計(jì)算。

5　結(jié)語

通過對兩弦差的改變量與微小弧的對應(yīng)弦之差的極限是高階參考文獻(xiàn)：

無窮小存在成立的證明，以及把弦微分代弧微分方法用于圓環(huán)線圈磁場函數(shù)的積分，并求得圓環(huán)線圈磁場的解析式，且計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。此方法可用于圓環(huán)線圈徑向、軸向磁場的數(shù)值計(jì)算，尤其在圓環(huán)線圈面上軸向磁場的計(jì)算方面優(yōu)勢明顯，是對磁場精確計(jì)算方法的必要補(bǔ)充。

［1］汪誠義.考研數(shù)學(xué)：高等數(shù)學(xué)與微積分［M］.北京：中國物資出版社，2008（Ⅰ）：155-156.

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［3］王瑩，肖峰.電炮原理［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1995：93-94.

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張方（1979-），男，大專，淮北中房金爵房地產(chǎn)開發(fā)有限公司，總經(jīng)理助理（工程師）安徽淮北象山區(qū)人民路268號，郵編253000。