問題驅動教學在線性代數(shù)教學中的應用

王劍

（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津300222）

問題驅動教學在線性代數(shù)教學中的應用

王劍

（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津300222）

以線性代數(shù)教學中的實施過程為載體，針對傳統(tǒng)數(shù)學教學中出現(xiàn)的理論與實際聯(lián)系不夠緊密的問題，探討了問題驅動原則的教學問題設計、知識架構以及數(shù)學建模思想。

問題驅動；數(shù)學建模；探究式教學

問題驅動教學是激發(fā)學生學習主動性和積極性，培養(yǎng)加強學生實踐能力和綜合素質的應用性教學模式。問題驅動原則是在教師的啟發(fā)引導下，結合教學內容和實際問題，不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題及解決問題的過程。美國教育家布魯巴克認為：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題”。高校線性代數(shù)教育的一個重要目的是培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與應用能力，主要貫穿在“理解理論知識—理論聯(lián)系實際—解決實際問題”3個層面［1］。問題是數(shù)學發(fā)展的原始驅動力，也是增強數(shù)學趣味性及提升教學效果有效性的源泉。本文以問題驅動教學模式下的線性代數(shù)課程設計為例，結合學生實際情況，探討問題驅動教學的實踐和效果。

1　問題驅動教學模式知識框架的構建

傳統(tǒng)數(shù)學教學模式中，學生在學習過程中基本是被動接受知識，缺少主動思考和參與，這不僅不能深刻理解知識的內涵，同時也削弱了自身的學習興趣。對于高職院校學生來說，如何將所學知識更好地應用到實際中是核心理念［2］。如果能有效結合實際問題，通過自主學習形成對數(shù)學知識的接受和應用，那么學生的學習積極性及創(chuàng)新能力都會有較大提高［3］。因此，問題驅動教學模式的關鍵是根據(jù)課程內容合理設置實際問題，在學生的新舊知識互動過程中搭建知識橋梁。

1.1利用本源問題引入數(shù)學原理

在講解線性代數(shù)矩陣運算知識點之前，嘗試先讓學生思考如下實際問題，通過分析和解決問題體會數(shù)學知識的運用，逐步在典型實例對比中提取問題的共性，歸納和總結新的數(shù)學概念和方法。

例1某班學期末甲、乙、丙三人高等數(shù)學總評成績的測算。

分析按照教學考核標準，學校每學期學生高等數(shù)學成績分為3部分，其中平時、期中與期末分別占20%、30%和50%，3部分成績的總和為學期末總成績，即

平時期中期末

806070甲0.2平時

708086乙0.3期中

908094丙0.5期末則甲、乙、丙3人總成績分別為：

80×0.2+60×0.3+70×0.5=69

70×0.2+80×0.3+86×0.5=81

90×0.2+80×0.3+94×0.5=89

記上述數(shù)表為矩陣形式，得到

為使學生體會矩陣乘法運算的本質特征，思考解題過程中蘊含的矩陣運算知識，下面從多方面給出關聯(lián)矩陣運算的實例。

例2某家電公司向3個商店發(fā)送4種產品的數(shù)量如表1所示，4種產品的售價及重量如表2所示。問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量分別是多少？

表1　某家電公司向3個商店發(fā)送4種產品的數(shù)量臺

表2　4種產品的售價及數(shù)量

分析：記錄4種產品數(shù)量矩陣為A，售價和重量矩陣為B，則

例3某個城鎮(zhèn)中，每年有30%的已婚女性離婚，20%的單身女性結婚，城鎮(zhèn)中有8 000位已婚女性和2 000位單身女性。假設所有女性的總數(shù)為一常數(shù)，1年后有多少已婚女性和單身女性？

分析：可按照如下原則構造矩陣A（第1行元素分別為1年后仍處于婚姻狀態(tài)的已婚女性和結婚的單身女性的百分比，第2行元素分別為1年后離婚的已婚女性和未婚的單身女性的百分比）。因此

1年后已婚女性和單身女性人數(shù)可表示為：

結論：1年后將有6 000位已婚女性和4 000位單身女性。

通過上述例題，讓學生結合實例體會矩陣的乘法運算。這里著重強調數(shù)學教學不局限于知識點本身，而是將數(shù)學與學生生活實際聯(lián)系起來，讓學生能夠在案例分析的基礎上把數(shù)學知識的基本原理和基本方法掌握好，從而逐步提高運用理論知識分析實際問題的能力。

1.2多角度探究數(shù)學原理，構建知識框架

在數(shù)學知識傳授過程中，要重視引導學生多個角度探究問題的數(shù)學原理。從教學基本內容出發(fā)，總結典型問題和實例，讓學生通過練習和思考歸納出相關數(shù)學知識的基本性質和常用方法［4］。當然，相關問題的選取不僅要與教學內容和教學目標相吻合，而且要具有一定的導向性，使學生經過自主探究，形成新的認知，體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣。

前面例1中初步應用了3×3階與3×1階矩陣乘法運算知識，為進一步讓學生深刻體會矩陣的乘法運算原理，下面給出包含矩陣可乘原則、乘積階數(shù)及乘積元素3個要素的相關例子。

注意：例6結論AC=BC，但A≠B。即一般來說，由AC=BC，且C≠0不能推出A=B。

2　結合數(shù)學建模思想的創(chuàng)新思維培養(yǎng)

教師教學是一種有目的、有計劃的創(chuàng)造性活動，學生學習知識最看重的就是知識的應用，學以致用本身也是所有學科的價值所在。切實讓學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)和應用能力的一個重要教學目標［5］。簡而言之，用數(shù)學語言抽象概括實際問題，從數(shù)學角度來刻畫或近似地反映實際問題，得到關于實際問題的數(shù)學描述，恰是數(shù)學建模的思想［6］。下面結合稍復雜的應用題，介紹數(shù)學建模的思想和解題過程，讓學生體會用數(shù)學知識解決實際問題的方法和步驟［7］。

例7常染色體遺傳的規(guī)律問題：動植物都會將本身的特征遺傳給后代，后代從每個親體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因對，即基因型，基因對就確定了后代所表現(xiàn)的特征。試考察第n代基因型分布在初始條件下的表現(xiàn)形式。

（1）問題分析

a.模型準備

如果考慮的遺傳特征是由2個基因A、a控制，那就有3種基因對，記為AA、Aa和aa。這里AA、Aa表示同一外部特征，認為基因A支配基因a，即基因a對A來說是隱性的。

雙親體結合形成后代的基因型概率矩陣為：

父體-母體的基因型AAAAAA-AaAA-AaAa-aaAa-aaaa-aa后代基因對AA11/20000 Aa01/211/21/20 aa0001/21/21

b.模型假設

設an、bn、cn（n≥2）分別表示第n代基因型為AA、Aa、aa的樣本占總數(shù)的百分比，且an+bn+cn=1。記第

c.模型建立

為簡化問題，設定初始條件。控制結合：顯性患者aa不能生育后代，正常人AA與隱性患Aa都必須與正常人AA結合生育后代，則aa所占的比例Cn=0，設第n代基因型分布為：

初始條件下，雙親體結合形成后代的基因型概率矩陣為：

父體-母體的基因型AA-AAAA-Aa后代基因對AA11/2 Aa01/2

引導學生逆向思維，逐步建立雙親體結合形成后代的基因型數(shù)學模型為：

其中an+bn=1。

第n代基因型分布與第1代基因型分布之間的關系為：

d.模型分析

（2）結果分析

通過構建數(shù)學模型，可用第1代基因型表示出第n代基因型分布，再結合極限思想，得出當n充分大時，第n代基因型分布趨于一個定值，表明經過足夠長的時間，隱性患者消失。

3　提升綜合應用能力的教學問題設計

數(shù)學教學的深化和發(fā)展是通過進行發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的大量訓練來完成的。數(shù)學學習往往要歷經“發(fā)現(xiàn)問題—分析問題--解決問題”，然后轉變?yōu)椤皵?shù)學理念”的認知過程［8］。問題驅動教學不僅可以培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識解決實際問題的綜合能力，而且有利于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性［9］。教學中要善于設計一系列具有針對性、層次性和挑戰(zhàn)性的開放式問題，具有多種實際背景和多種解題方案，以問題為目標，激勵和引導學生辯證思考，促使學生在理解和掌握數(shù)學知識的同時，能將其與其他學科相結合，實現(xiàn)知識的綜合應用。

4　結束語

學生通過多層次多角度理論聯(lián)系實際的實踐訓練，有利于深刻理解矩陣乘法的量化定義，提升數(shù)學應用意識。實踐證明，在線性代數(shù)教學中堅持問題驅動教學原則，有助于培養(yǎng)學生的主體意識和主動精神，提高學生的創(chuàng)新思維能力，使他們不局限于數(shù)學基本理論的思考，而是廣泛聯(lián)系社會實際，逐步提高自己的實踐能力和創(chuàng)新能力，從而達到從數(shù)學學習到個人綜合素質的提升和發(fā)展。

［1］楊憲立，趙自強.問題驅動原則在高等數(shù)學教學中的運用［J］.河南教育學院學報，2014，23（1）：49-52.

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［3］袁勇.問題驅動式教學模式在理工類高等數(shù)學中的應用探索［J］.教育與教學研究，2015，29（9）：82-85.

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［7］姜啟源.數(shù)學模型［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［8］孫詠梅.談高職數(shù)學教學中學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)［J］.教書育人：高教論壇，2014（4）：20-21.

［9］張艷霞.對話理論視角下高職數(shù)學教學創(chuàng)新探究［J］.教育與職業(yè)，2015（13）：101-103.

Application of problem driven teaching in linear algebra

WANG Jian
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

To deal with Theory Contact Practice in traditional mathematical teaching theory research，which is the carrier of linear algebra curriculum，this paper analyzes the problem driven principle for research-style teaching，knowledge structure and mathematical modeling thought in it.

problem driven principle；mathematical modeling thought；research-style teaching

G712；O151.2

A

2095－0926（2016）02－0053－04

2016-01-19

天津市教育科學“十二五”規(guī)劃課題（VE2016）.

王劍（1980—），男，講師，博士，研究方向為非交換幾何.