2m階差分方程邊值問題解的存在性

周　展, 徐　菲

(廣州大學 a.數學與信息科學學院; b. 數學與交叉科學廣東普通高校重點實驗室， 廣東 廣州　510006)

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2m階差分方程邊值問題解的存在性

周展, 徐菲

(廣州大學 a.數學與信息科學學院; b. 數學與交叉科學廣東普通高校重點實驗室， 廣東 廣州510006)

討論一類2m階非線性差分方程邊值問題.通過建立相應的變分框架，將邊值問題的解轉換為對應的非線性泛函的臨界點.利用環繞定理，獲得變分泛函臨界點的存在性，進而得到所求邊值問題解的存在性.最后給出例子說明本文的結論.

2m階差分方程; 環繞定理; 邊值問題

0　引　言

差分方程在諸如物理、生態、金融等領域有著廣泛的應用.眾所周知，差分方程是微分方程離散化, 它與相應的微分方程有很多共同的性質，但很多差分方程與其對應的微分方程有本質不同.因此，在過去幾十年里，許多學者把注意力放在差分方程周期解的存在性、振動性、邊值問題等方面，獲得了豐富的結果，主要方法包括上下解方法、拓撲度理論、不動點理論等經典方法[1-4].2003 年開始，GUO等開始利用臨界點理論研究二階超線性差分方程的周期解和次調和解[3]，后來，這一方法被用來研究差分方程的邊值問題.

設R,Z分別表示實數集和整數集.對任給的a,b∈Z且a≤b,定義Z(a,b)={a,a+1,…,b}，Z(a)={a,a+1,…}.Δ為向前的差分算子，定義為Δun=un+1-un,Δkun=Δ(Δk-1un),k∈Z(2).設T∈Z(2), 在參考文獻[5]中，ATICI等討論了如下差分方程的周期邊值問題：

(1)

這里f∈C(Z(1,T)×R,R).方程(1)作為一個二階微分方程的離散模型，被應用于很多領域，如空氣動力學、核物理等.運用上下解方法，ATICI等建立了邊值問題(1)存在唯一解的條件.

2014年, LIU等在參考文獻[6]中利用臨界點理論研究了四階差分邊值問題

(2)

的解的存在性與不存在性條件.其中δ表示正奇數的比，f∈C(Z(1,T)×R, R).在物理學中方程(2)經常被用來模擬彈性梁的彎曲程度.2009年，ZOU等在參考文獻[7] 中利用臨界點理論討論了以下2m階差分方程：

Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1f(n,un)=0,

n∈Z(1,T)

(3)

在邊值條件

(4)

下的解的存在情況.其中T和m是任給的正整數,且T>m.然而，可以看到大部分參考文獻[5-6,8-12]都是研究二階或者四階差分方程的, 對一般高階差分方程的研究相對來說較少.受文獻[4-7,13]的啟發，本文討論更一般的2m階差分方程

Δm(pn-mΔmun-m)+(-1)m+1Δ(g(Δun-1))+

(-1)m+1f(n,un)=0,n∈Z(1,T)

(5)

在邊值條件

(6)

下的解的存在性.其中g∈C(R,R),f(n,·)∈C(R,R)對任意n∈Z(1,T).

1　準備工作

設m,T∈Z(1)且T>m, 定義向量空間Ω={u={un}|un∈R,n∈Z(1-m,T+m)}，對任意的u,v∈Ω,a,b∈R有au+bv={aun+bvn}.E={u={un}∈Ω|u1-i=u1,uT+i=uT,i∈Z(1,m)}是Ω的一個線性子空間.易知E與RT是同構的，因此，在空間E上可以定義內積如下：

(7)

由E上的內積可以誘導空間E上的范數：

(8)

對任意的r≥1, 可以定義空間E上的另一種范數：

(9)

因為E是有限維空間，所以存在2個常數c2(r)≥c1(r)>0使得

c1(r)‖u‖2≤‖u‖r≤c2(r)‖u‖2,?u∈E

(10)其中,‖u‖=‖u‖2.下面建立與邊值問題(5)～(6)相對應的變分框架.對任給的u={un}n∈Z(1-m,T+m)∈E, 定義E上的泛函

(11)

f(n,un),?n∈Z(1,T).

因此，u是泛函J的一個臨界點當且僅當u滿足邊值問題(5)～(6).記u={un}∈E，由于E與RT同構，所以u可寫成u=(u1,u2,…,uT)*∈RT.那么存在T×T階矩陣A使得

(12)

顯然, A是一個半正定矩陣.令σ+(A)為A的所有正特征值構成的集合.定義

設W,Y分別為A的0特征值和所有正特征值對應的特征向量空間,則

W={(u1,u2,…,uT)*∈RT|ui=w,

w∈R,i∈Z(1,T)},

且

RT=W?Y.

下面介紹一些臨界點理論的基本概念和基本結果.

定義1設S是一個實Banach空間,J∈C1(S,R)滿足Palais-Smale條件 (簡稱P.S.條件)， 如果對任給的{un}?S,{J(un)}有界，當n→∞時J′(un)→0蘊含{un}有收斂的子列.

引理1(環繞定理[14])設S=S1?S2是一個Hilbert空間, 其中，S1是S的一個有限維的子空間. 若J∈C1(S,R)滿足P.S.條件且滿足：

(1)存在常數σ>0和ρ>0使得J|?Bρ∩S2≥σ;

2　主要結論及其證明

定理1如果以下假設都滿足:

(A1)f(n,v),g(v)是關于v連續, 且g(0)=0,G(v)≥0對v∈R成立，其中n∈Z(1,T);

(A2)對任給的n∈Z(1-m,T),pn>0;

(A4)存在正常數R2和β>2使得0<βF(n,v)≤vf(n,v),n∈Z(1,T),|v|≥R2；

(A5)存在正常數R3和α<β使得0

那么邊值問題(5)～(6)至少存在2個非平凡解.

記

p*=max{pn,n∈Z(1-m,T)},

p*=min{pn,n∈Z(1-m,T)}.

則p*≥p*>0.

為了方便定理1的證明, 需要驗證下面的引理.

引理2假設(A1)～(A5)都滿足, 那么泛函J滿足P.S.條件.

證明設{u(l)}l∈Z(1)?E是一個P.S.序列，則存在常數C使得|J(u(l))|≤C,?l∈Z(1).根據式(11)，注1和注2有

(13)

注意到J(u(l))≥-C, 則由式(13)得

因為β>max{2,α}, 所以存在常數N0>0使得‖u(l)‖≤N0,?l∈N. 因此, {u(l)}是E上的有界序列.因為E是有限維的, 所以 {u(l)}存在收斂的子列.即J滿足P.S.條件.

(14)

定義

3　例題

例1設T為一正整數, 考慮四階差分方程邊值問題

(15)

Δu-1=Δu0=0,ΔuT=ΔuT+1=0

(16)

對照式(5), 有

m=2,pn≡1,g(s)=s3,f(n,v)=n2v5,

因此

易知邊值問題(15)～(16)滿足條件(A1)～(A5), 其中α=4,β=6, 由定理1 知至少存在2個非平凡解.

[1]AGARWAL R P, O′REGAN D. Singular discrete (n,p) boundary value problems[J]. Appl Math Lett, 1999, 12(8): 113-119.

[2]AGARWAL R P, WONG F H. Upper and lower solutions method for higher-order discrete boundary values problems[J]. Math Ineq Appl, 1998, 1(4): 551-557.

[3]GUO Z M, YU J S. Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J]. Sci China Ser A, 2003, 46(4): 506-515.

[4]ZHOU Z, YU J S, CHEN Y M. Periodic solutions of a 2nth-order nonliner difference equation[J]. Sci China Math, 2010, 53(1): 41-50.

[5]ATICI F M, CABADA A. Existence and uniqueness results for discrete second-order periodic boundary value problems[J]. Comput Math Appl, 2003, 45(6/9): 1417-1427.

[6]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Neumann boundary value problems[J]. Indag Math, 2015, 26(1): 293-305.

[7]ZOU Q R, WENG P X. Solutions of 2nth-order boundary value problem for difference equation via variational method[J]. Adv Differ Equ, 2009, Art. ID 730484,10pp.

[8]李龍圖, 翁佩萱. 二階泛函差分方程邊值問題[J]. 華南師范大學學報:自然科學版, 2003(3): 20-24.

LI L T, WENG P X. Boundary value problems of second order functional difference equation[J]. J South China Normal Univ: Nat Sci Edi, 2003(3): 20-24.

[9]梁海華, 翁佩萱. 一類四階差分邊值問題解的存在性與臨界點方法[J]. 高校應用數學學報, 2008, 23(1): 67-72.

LIANG H H, WENG P X. Existence of solutions for a fourth-order difference boundary value problem and critical point method[J]. Appl Math J Chin Univ Ser A, 2008, 23(1): 67-72.

[10]ZHENG B, ZHANG Q Q. Existence and multiplicity of solutions of second-order difference boundary value problems[J]. Act Appl Math, 2010, 110(1): 131-152.

[11]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Periodic solutions for fourth-order nonlinear functional difference equations[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(1): 1-10.

[12]LIU X, ZHANG Y B, SHI H P. Nonexistence and existence results for a class of fourth-order difference Dirichlet boundary value problems[J]. Math Meth Appl Sci, 2015, 38(4): 691-700.

[13]BONANNO G, CANDITO P, D′AUGI G. Variational methods on finite dimentional banach spaces and discrete problems[J]. Adv Nonlin Stud, 2014, 14(4): 915-939.

[14]RABINOWITZ P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[M]. USA: CBMS, American Mathematical Society, 1986.

【責任編輯： 周全】

Existence of solutions to the boundary value problems of a 2mth-order difference equation

ZHOU Zhan, XU Fei

(a. School of Mathematics and Information Sciences; b. Key Laboratory of Mathematics and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institute, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Existence of solutions to the boundary value problems of a 2mth-order difference equation is considered in this paper. By establishing the corresponding variational structure, we transform the problem of the existence of solutions to the boundary value problems into the existence of the critical points for the corresponding variational functional. By using Linking Theorem, we obtain the existence of the critical points of the variational functional, and the existence of solutions of the boundary value problems is achieved as well. An illustrative example is presented at length to illustrate our conclusion.

2mth-order difference equations; Linking Theorem; boundary value problems

2016-01-27;

2016-05-08

國家自然科學基金資助項目(11571084);廣州市“121人才梯隊工程”資助項目

周展(1965-),男,教授,博士.E-mail: zzhou@gzhu.edu.cn

1671- 4229(2016)04-0013-05

O 175.8

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