離散數學初識與應用

李振瑜

摘 要：我們高中數學學習中有涉及數列與差分、離散型隨機變量等內容，雖然其涉及的知識比較簡單，也不作為考察的重點，但是這一知識點卻可引申為未來數學學習中離散數學概念中最基本知識點。所謂離散數學，被視為現代數學的一個重要分支，其在各個學科領域都有著廣泛的應用，尤其在計算機科學領域、程序設計、編譯技術等有著重要作用。本文通過高中知識的展開，初步介紹了離散數學的概念，并就其在計算機軟件領域的應用做了一定的討論。

關鍵詞：離散數學；概念；應用

一、離散數學的概念

離散數學作為現代數學的一個十分重要的分支，同時是計算機科學和相關技術的理論基礎，所以又被人們戲稱為計算機的數學[ 1 ]。一般的，廣義離散數學的概念包含了圖論、數論、集合論、信息論、數理邏輯、關系理論、代數結構、組合數學等等概念，現代又加上了算法設計、組合分析、計算模型等應用方向，總的來說，離散數學是一門綜合學科，而其應用則遍及現代科學與技術的諸多領域。

二、離散數學在高中數學中的體現

離散數學的概念對于我們高中生來說可能相對陌生，但其實，我們高中數學中很多知識都常常涉及到離散數學。相較于我們平時接觸較多的連續性數學而言，離散數學側重于思維方式和邏輯過程的應用于體現，可以說是數學中一個非常特別的分支，在應用的過程中主要是構建起一種專屬的思維方式。這種方式既有別于傳統的對事物的理解與推論，還與常規的數學解題思維有著很大的不同。而高中階段像我們學習所涉及的數理邏輯、集合、數列等知識都是離散數學的基礎概念。

以一個簡單的高中數學命題的問題為例：高中數學的命題關系的討論，其中常見的命題形式有：若p則q，以及與其相關的原命題、逆命題、否命題、逆否命題的形式與真假關系，和“且、或、非”三種簡單的邏輯連接詞。這是我們在高中數學中常常接觸的一類問題，而延伸至離散數學的概念下，其實只是更深入的討論和研究了這一問題，并建立起獨特的邏輯概念，這種數理的邏輯也是計算機編程的基礎。

三、離散數學的應用

（一）數學思維在計算機軟件編程中的應用

隨著計算機科技的逐步發展，信息技術在日常生活中的應用目前越來越為廣泛。而軟件程序作為各種技術問題的關鍵，其發展更是日新月異，而算法被稱為軟件編程的基礎。數學思維的運用貫穿軟件與計算機科學的始終。

其實當我們對編程有了一定的了解后可以發現，需要通過編程實現的很多要求都可轉化為數學邏輯的討論與梳理。當計算機需要解決一個具體的問題時，必須運用應用數據結構的知識。而對于問題中所需要處理的數據，就需要從具體的問題中通過一定方式建立起一定的數學模型。然后再針對這一數學模型建立起相應的算法，最后通過編程實現對算法的應用，然后經過反復測試、調整直至確定最終的解答。上述過程即一個編程的過程，從提取模型、建立算法到問題解決的過程都離不開離散數學的知識運用。

（二）離散數學與人工智能

人工智能是現在非常熱門的一個議題，作為計算機學科發展的一個非常重要的方向，人工智能中對于離散數學的應用主要是數理邏輯部分充當智能思維的應用，即形成類似人類的思考方式。數理邏輯包括了命題邏輯與謂詞邏輯：所謂命題邏輯就是以命題為單位進行的前提與結論之間推理過程的研究；而謂詞邏輯則側重于研究句子內在的聯系。一般的，人工智能現在大致分為兩個流派，即連接主義流派和符號主義流派。在符號主義流派里，認為現實世界的各種事物可以用符號的形式表示出來，而最主要的理論就是人類的自然語言是可以用符號表示出來的。語言的符號化，是數理邏輯研究的最基本的內容，所以計算機的智能化是以將人類的語言符號化為機器可以識別的符號為前提的，通過這樣的方式才能使計算機進行推理，才能具有智能。由此可見數理邏輯中重要的思想、方法及內容貫穿到人工智能的整個學科。

（三）現實生活中的離散數學

其實離散數學除了在計算機、軟件技術等領域中有著重要的應用價值外。其在金融分析、交通規劃、企業管理、戰爭指揮等廣泛的領域也有著重要的應用。正是看到了離散數學對于未來科技發展的重要意義，很多國家都已將離散數學列為新世紀未來應當重點發展的數學領域之一。甚至美國有一家公司直接以離散數學來命名，他們運用離散數學的方法來分析解決企業管理上的問題，進而提高企業的效益。此外，試驗設計也是具有很廣泛發展潛力和很大應用價值的一門新興學科，它的數學原理就是組合設計。通過使用組合設計的方法解決工業行業的試驗設計問題，已有很多專門的公司在進行這方面的研究。最近，一位德國著名的離散數學家利用了離散數學的方法對藥物結構進行深入研究，極大節約了制藥行業的研制成本，引起了制藥業的廣泛關注。

（四）離散數學重要性

離散數學在計算機以及軟件領域都發揮著十分重要的作用，甚至現代計算機科學的理論基礎都可以被稱之為離散數學的一個分支。在其中大量的采用了離散數學中基本概念、 知識以及基礎的研究方法。 離散數學的學習不但為未來大學的進階學習提供極其必要的理論基礎，而且通過對離散數學思想和方法的學習也反過來提高了我們自身的邏輯思維能力和創造性思維能力。

四、總結

隨著科技信息時代的到來，計算機科學發展如火如荼，人工智能技術方興未艾，工業革命時代以來一直以微積分為基礎的連續數學的主導地位已經發生了顯著的變化，離散數學正逐步成為科學領域新突破的土壤，其重要性逐漸被人們認識。也有越來越多的人把更多的經歷投入到這一領域的研究中。

離散數學是一個非常注重思維邏輯的數學學科分支，對于離散數學的學習過程可以看作是一個對數學思維構建的鍛煉的過程。通過本文上述的討論，同時也可以看到，所有的理論學習都是一個循序漸進的過程，我們不應當放過自己學習中每一個細微的知識點，扎實的基礎知識和嚴謹的邏輯思維能力都對的未來進階學習有非常有益的幫助。

參考文獻：

[1] 傅彥，顧小豐，王慶先等.離散數學及其應用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 離散數學及其應用[M].北京：機械工業出版社，2006.