數學廣角的取與舍

董江飛 陳金波

在一次研修活動中，有3位老師對“烙餅問題”一課進行同課異構，受益匪淺.不管是環節順序、活動組織，還是問題設計，都反映出執教者對教材的理解，但是對某些教學環節的“取舍”筆者有些個人想法，與大家探討.

一、舍之有理

1. 教學“一個餅、兩張餅的烙法”

學生對一個餅的面數、兩個餅的時間推算有多大的困難？在教學中是否真的有必要討論“一個餅要烙幾面？需要幾分鐘？怎么烙？兩個餅怎么烙？需要幾分鐘？”而且用手勢來演示烙兩個餅的過程，學生需要這樣的幫助嗎？

【我的教學片斷】

教師出示烙餅要求：每次最多只能烙兩個餅，兩面都要烙，每面3分鐘.

師：這句話告訴我們什么？

生：一次最多只能烙兩個餅，而且兩面都要烙，每個面都要烙3分鐘.

師：一次可以烙3個餅嗎？可以烙一個餅嗎？

生：每次只能烙一個或者兩個餅.

師：那么烙一個餅需要幾分鐘？烙兩個餅又需要幾分鐘呢？

學生口答

生：烙一個餅需要6分鐘，烙兩個餅也需要6分鐘.

師：為什么餅的個數不一樣，所用的時間卻一樣呢？

生：因為兩個餅可以一起烙，所以所用的時間一樣.

教師小結：因為鍋里一次最多可以烙兩個餅.

這個環節通過對烙一個餅、兩個餅的處理，使學生對“怎樣烙餅最省時”有了進一步的認識，這個認識不是教師告知學生，而是學生結合生活經驗，通過觀察深入思考逐步獲得，這樣能用更多的時間來探究3個餅烙法.

2. 教學“6個餅的烙法”

許多老師在教學6個餅烙法時，都會讓學生對比6個餅分成2個2個2個烙好，還是分成3個3個烙好.通過兩種不同分法的對比，確實讓學生感悟到：（1）烙的次數和所用時間相同的情況下，選擇哪種烙法更加好.（2）從“優化”角度出發，學生在“省時”的前提下還考慮了“省事”.但本課難點應在3個餅最優烙法上，所以6個餅沒有必要大費周章的比較.

【我的教學片斷】

師：除了4個餅，你認為還有幾個餅也能像這樣分成2個2個的同時烙？

生：6個、8個、10個……

（雙數的餅）

師：那么烙6個餅需要幾次？要用多少時間？

學生口答.

生：需要烙6次，一共需要18分鐘.

如果學生在這里回答了6個餅可以分成3個3個烙，那么就快速對比下，如果學生沒有說，那么可以快速帶過，畢竟學生已經很好掌握了4個餅的烙法，而6個餅只是套用4個餅的烙法，對學生來說是很簡單的一件事.

3. 教學“烙餅的規律”

對于“要不要發現烙餅張數與最少時間之間的關系”一直存在爭論，是不是沒有總結出來烙餅的規律就是一個遺憾？烙餅規律的總結是否有助于學生提升思想方法？而只有“烙餅的最少時間 = 烙的餅數 × 每面需要的時間”這個規律在學生的頭腦當中建構，課堂才會更具深度和完整性. 如果學生在這里能順利得出烙餅規律更加好，如果不能很順利的出來，我們完全沒有必要非要讓學生發現不可.因為烙餅問題的核心思想是：理解不同張數餅的最優方案關鍵是“每次總烙2個餅，不讓鍋里有空余”.只要在探究的過程中，把餅分為奇數個餅和偶數個餅進行分析，就自然而然地解決了知識上的問題，又能讓學生在探索過程中發現認知規律，還可以將大量的時間節省下來，使學生有充足的時間進行教學思考.而且這個規律還有很大的局限性，如果一個鍋能烙3個餅呢？所以學生只要知道怎么烙最省時就可以了.

【我的教學片斷】

師：請同學們仔細觀察這個表格，你有什么發現？

生：每多烙一張餅時間就增加3分鐘.

教師在課堂上要充分體現“三講三不講”原則，在教學中教師要考慮到學生到學情，有些教學目標就應該舍去，如果教師在教學中做到面面俱到，處處關注，反而導致教學中的目標不夠明確， “學生自己能學會的知識不講”更能體現教師的心中是否裝有學生，真正提高機會讓學生自己嘗試探索.

二、取之有道

1. 教學“3個餅的烙法”

3個餅的烙法要讓學生參與知識的形成過程，通過9分鐘烙法和12分鐘烙法進行比較，讓學生進一步體驗優化的根源是“每次總烙2個餅，別讓鍋有空余”.如何來突破3個餅的烙法，讓學生能真正理解這種烙法，明白為什么時間會少，少在那里？我覺得很有必要進行兩次動手操作探究.

第一次操作：

師：請你猜一猜烙3個餅需要幾次，一共需要多少時間？

生2：我的方法只要9分鐘就夠了.

師：請同學們動手來驗證9分鐘的烙法是否可行.

（動手驗證并且記錄）

學生到黑板上演示9分鐘到烙法，敘述烙餅的過程.

師：2號餅為什么要放在黑板上？

生2：拿出2號餅，才可以烙1號和3號，這樣用的時間就最少.

生3演示烙餅過程

第二次操作：

師：這種方法，請你動手再操作一遍，并重新記錄.

生：9分鐘的烙法，因為這種方法用的時間少.

師：時間少？少在哪里？

生：12分鐘的烙法烙了4次，9分鐘的只要3次就夠了.

師：為什么次數會不一樣呢？

生：12分鐘的烙法第3、4次，鍋里只烙了一個餅，鍋里有空余.

師：那你們覺得怎么烙最省時間？

生：只要每次總烙2個餅，這樣所用的時間肯定最少.

從統計表中可以看出：1. 學生能快速說出9分鐘烙法的人數很少，大部分學生的想法都是要烙12分鐘；2. 第一次講解后大部分學生已掌握，但這種掌握是模仿的，不是學生主動探索出來的；3. 第二次操作后，幾乎全部的學生都會了.所以2次動手操作很有必要，進一步感悟“交叉烙”的優化性，為后面學習打下基礎，只有在烙3個餅的時候，舍得花時間，整個課堂才會更有深意.

2. “烙餅問題”的運用

“烙餅問題”是一種數學思考方法，優化思想是我們生活中經常遇到的問題.當學生建立模型后，還應該讓學生運用優化思想，利用烙餅問題的模型解決生活中的實例，提高學生運用所學知識解決問題的能力.

【我的教學片斷】

出示教材107頁的例2.

師：這個題目和我們學過的“烙餅問題”有聯系嗎？

生：可以把醫生看成是“鍋”，可以把同學看成是“餅”.

師：怎么檢查所用的時間肯定最少？

生：只要每個檢查沒有空余是節省時間的最有效策略.

檢查身體是生活中經常碰到的例子，學生在理解題意以后，一開始很難與剛剛學過的烙餅問題產生聯系，這時通過教師的提醒，學生馬上聯想到了把醫生和學生分別看成“鍋”和“餅”，運用優化思想來解決這個問題，讓學生通過解決實際問題進一步體會優化思想在實際生活中的作用.

烙餅問題在教學中不僅要關注解決問題方法的探究，還要對學生進行數學思想的滲透.如果說“吃餅”是結果的話那么“烙餅”就是過程，如何讓學生吃到“餅”呢？我想只有落實烙餅的過程，抓住核心問題，舍去學生已經會的或者對學生促進意義不大的，學生不但能真正吃到“餅”，還能在這個過程中體驗到快樂.