一道超越方程的趣解

黃立羽

引言 在高中數學中，遇到超越方程往往無能為力，可是巧妙利用函數的單調性及圖像性質，往往會使問題迎刃而解. 如題 已知x1是方程x + lg x = 3的解，x2是方程x + 10x = 3的解，求x1 + x2的值.

分析 通過兩個函數單調性、換元求解.

證法一 已知x1 + lg x1 = 3，不妨設lg x1 = x3，則x1 = 10，

所以有10 + x3 = 3.

又因為10 + x2 = 3，且方程y = x + 10x是單調函數，

所以x2 = x3，所以x1 + x2 = 3.

證法二 因為x1 + lg x1 = 3，

所以lg x1 = 3 - x1 10=x1.

又因為10 = 3 - x2，

所以可得3 - x1，x2是關于t的方程103-t = t的兩根，

顯然3 - x1 = x2，所以x1 + x2 = 3.

上述證明的巧妙之處在于換元，下面呈現一種數形結合的方法，解決問題.

證法三 因為y = 10x和y = lg x互為反函數，通過圖形可以得到點（x1，3 - x1）與（x2，3 - x2）在直線y = -x + 3上，且關于直線y = x對稱，所以x1 = 3 - x2，即x1 + x2 = 3.

上述方法通過函數的幾何意義，清晰地解釋了題目所蘊含的意義，下面采用一種放縮法，解決本問題.

證法四 不妨設x1 + x2 > 3，則

x1 > 3 - x2 = 10 > 10 = 10 = x1，

矛盾.

同理，當x1 + x2 < 3時，有

x1 < 3 - x2 = 10 < 10 = 10 = x1，

矛盾.

所以，x1 + x2只能為3.

總結 面對有些超越方程，巧妙地換元或利用函數圖像與性質，可以巧妙地處理問題，而且解題難度大減，方法獨特，猶如空中雜技，美不勝收.