對兩個物理問題的思考與分析

方逸飛

一、魔盒上圓錐體的運動違背能量守恒嗎？

筆者一次在街上看到一個賣魔盒玩具的，其玩具很簡單，一個雙向金屬圓錐體，圓錐體很光滑，如圖1所示；一個有一定斜度的盒子，盒子的兩條斜邊上安裝有金屬條，也很光滑，如圖2所示.出售魔盒者將金屬圓錐體放在斜面的下端，稍微用手擾動一下，金屬圓錐體會自動的向斜面上端滾去，且越滾越快.我靜心的觀察了幾分鐘，沒有發現奧秘在哪里，只是想金屬圓錐體向上滾，一般看來是違背能量守恒的，出售者也正是運用人們這樣的心理來兜售這種魔盒的。對這樣的物理問題我一向很感興趣，就跟著賣魔盒的人反復觀察，拿一個金屬的鑰匙試試，看魔盒的高端是否帶有磁性，是不是磁力吸引圓錐體，結果沒有磁性，賣魔盒的還把盒子打開給我看，里面就是兩個粗鐵絲做的導軌，沒有什么秘密。對于這個魔盒我一時困惑了，怎么我們學的能量守恒定律在這里不適用了呢？

我就跟著賣魔盒的反復看，問賣魔盒的是什么原理，他說“我也不清楚”。賣魔盒的怕我看出什么奧秘，壞了他的生意，總想把我支開，或者鼓勵我買一個玩玩，我想一個高中學生還玩這樣的玩具，不好意思。我一邊觀察一邊思考，發現兩根導軌下邊窄很多上邊寬很多，導軌的坡度不算大，有半米來長，只是看上去一邊高一邊低比較明顯，再想雙向金屬圓錐結構，馬上發生了頓悟。原來是利用金屬圓錐體的重力勢能而向上滾動的。下端時導軌很窄，圓錐體的中心其實比較高，在軌道的高端，金屬圓錐體的重心要低一些。在金屬圓錐體放在低端稍微擾動就會向重心低的高端方向運動了。

為了驗證自己的看法，就動手做一個魔盒，試一試，效果很好。這里筆者將做法和幾個關鍵的尺寸介紹如下：如圖1中，R為圓錐體中部圓柱的半徑，l1為中部圓柱的長度，l2為整個圓錐體的總長度；圓錐體可以用金屬的也可以用密度較大的木質的，可以到小工廠去請工人師傅車一個，但錐體部分一定要打磨的很光滑.魔盒可以用三角板或其它扳子訂一個，在兩條斜邊AB和CD上固定金屬條或粗鐵絲，也將其打磨光滑.其尺寸是l1要稍小于魔盒上BC邊的長；l2要大于魔盒上AD邊的長；R要大于魔盒上AI的高度，這是最最關鍵的部分，一般AI=R為比較理想；斜邊AB和CD根據條件越長越好。

圓錐體能夠沿著斜坡向上爬的原因是：對稱的圓錐體重心在其中心位置，它兩端是圓錐體，魔盒的上部比下部寬，將圓錐體放在魔盒的下部，它處于一種不穩定平衡狀態，重心必然要下降，看上去，圓錐體好象在向上爬坡，實際上它的重心在下降.在圓錐體向上滾動的過程中，隨著圓錐體重心的下降，重力勢能不斷減小，動能增大，則速度隨著增大，所以我們看到圓錐體越滾越快.若圓錐體和魔盒的斜邊都很光滑，忽略摩擦力做功，圓錐體的機械能總保持不變，滿足機械能守恒定律。

二、雜技的頂云梯表演為什么有驚無險？

在雜技表演中，有一個爬云梯的精彩節目，一個大力士的肩膀上放著一部長云梯，其他演員一個個從大力士的身上往云梯上爬去，一共要爬上去四個或五個演員，并且陸續爬到梯子的頂端，進行各表演。觀眾們無不為此提心吊膽，梯子頭重腳輕是多么容易翻倒呀！可是，梯子盡管有一些搖擺，到底還是穩住了。這是為什么呢？

在此節目中，大力士的承受能力是沒有什么竅門可尋的。肩膀上頂梯子的大力士演員，憑著他敏捷感覺，把梯子的基底位置隨時加以靈活調整。當梯子向前傾時，他的肩膀立即向前挺；當梯子向后倒時，他的肩膀也隨即向后退。這樣，使重力作用始終通過基底，梯子就倒不下來。

我想云梯為什么要搞那么高呢？矮一些不是更安全嗎？對于這個問題我反復思索，我想這是為了表演的驚險還是別有原因呢。

帶著這個問題，我做了一個小實驗。就是用手指頂一支鉛筆和一個較長的小木棍，結果發現長度大的木棍還容易控制一些。通過反復實驗，發現棍子越長越容易控制，長的棍子在要倒時可以有充裕的時間去調整，這時我就想到了單擺的周期問題。單擺的周期公式是：T=2π，其中l是單擺的擺長，即單擺的懸點到擺球重心的距離；g是當地的重力加速度。在某個地方重力加速度的不變的，可見擺長大，其周期就大；擺長小，其周期就小。

我們可以用這樣的實驗來說明問題，用手指頂一支鉛筆和頂一根三米多長的竹桿。豎直放置的鉛筆或竹桿，先用左手扶作，只要一松手，都會失去平衡而傾倒，竹桿的重心較高，穩定性不及鉛筆，它更難維持平衡。但是，另一方面，正因為竹桿重心高，因此從開始傾斜至傾倒一個角度而倒下來，所需時間卻比鉛筆倒下的時間長得多。而且，竹桿倒下時的速度還與傾倒的角度有關：傾角越大，重心越低。這樣，竹桿就有更多的勢能轉化為動能，傾倒時的速度也就越大。通過計算我們得到，對一支長16cm的鉛筆來說，當頂端有1cm的偏離時，它的傾角約為3°左右，其頂端就要下降0.3cm左右.但對一根長三米的竹桿而言，它的頂端偏離平衡位置1cm時，傾角只有11分，杠頂下降0.003cm，重心只降低0.0015cm.可見，在偏離平衡的距離相同的情況下，竹桿越高，從離開平衡位置到某一偏離位置需要的時間越長.這就是單擺的擺長越大，其周期就越大的道理.這樣，盡管杠桿長，重心高對穩定性不利但是由于它開始傾倒時的速度很慢，因而在基底可以移到的情況下，就有充分的時間來調整竹桿的平衡，就能變不利為有利，杠子越長反而越容易保持平衡.所以說，頂長竹桿比頂鉛筆要容易.

由此可見，演員在梯頂時正是梯子重心位置最高、梯子的擺動周期最大的情況，即倒得最慢的情況，頂梯子的演員就有足夠的時間來調整梯子的基底位置。所以，這個看上去好像是最緊張的場面實際上倒并非是最難表演的。相反在演員們上梯下梯，大家往往認為是雜技表演的開始和終了時而不十分注意，其實卻是最難表演的場面。這時，重心位置不固定，有時甚至降得很低。這兩種情況，對頂梯子的演員來說，調整較為困難。為此，要求演員動作敏銳，有節奏，每個動作完成后必須有一定的間隙。