不定積分中分部積分法的新探究

劉芳

摘要：分部積分法是求不定積分的常用方法，但是學生在應用的過程中遇到很多問題。本文在深入分析不定積分公式的基礎上，模糊其中函數u、v的定義和選擇問題，根據被積函數自身的特點尋求其更簡潔、靈活的使用方法。最后結合例題幫助學生更好地掌握分部積分公式。

關鍵詞：不定積分；分部積分公式；微分

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）47-0200-02

高等數學是所有高等學校的一門必修課，而微積分是高等數學中的重要內容。不定積分研究的是與微分運算正好相反的問題：求一個可導函數，使它的導函數等于已知的函數。不定積分是微分運算的逆運算，是微分學和積分學的聯系紐帶。求不定積分的常規方法包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，其中的分部積分法是教學過程中的一個難點。

分部積分法是利用微分公式d（uv）=udv+vdu，推導得到了分部積分公式udv=uv-vdu[1].因此，當udv不容易直接積出，而vdu較為容易求出時，可以采用分部積分公式作為轉換。一部分教材[1，2]指出分部積分法的關鍵是要正確地選擇u和v，選擇時應兼顧如下兩點：（1）dv容易求出；（2）vdu要比udv容易積出。但是，這樣的描述比較籠統。還有一些教材[3]列舉了一些常用的選擇方法，如當被積函數為冪函數和指數函數相乘時，選擇冪函數為u；當被積函數為冪函數和對數函數相乘時，選擇對數函數為u；當被積函數為冪函數和反三角函數相乘時，選擇反三角函數為u；文[4]將基本初等函數分為“低、中、高”三類，用“低等服從高等”的思路來解決u、v的選擇問題；文[5]、[6]則總結出一套“口訣”，這樣都需要學生死記硬背，不易于學生的理解和掌握。

本文將以例題的形式進一步分析分部積分公式，不再局限于函數u、v的定義和選擇，而是將被積函數進行分類，根據被積函數的特點來進行u、v的設定，進而讓學生能夠靈活使用分部積分法進行不定積分的計算。

一、類型一：可降冪型

此類型的被積函數為冪函數與指數函數或三角函數的乘積。此時，一般將冪函數設為u，指數函數或三角函數則為dv.這是因為應用分部積分公式之后，冪函數通過微分后次數降低一次，使得轉換后的不定積分較容易求積出。

二、類型二：直接型

此類型的被積函數為分對數函數或反三角函數（即不能直接積分的函數）與其他函數（即能直接積分的函數）的乘積。此時，將分對數函數或反三角函數設為u，其他函數則為dv.

三、類型三：循環型

此類型的被積函數為指數函數與正弦（或余弦）函數的乘積。此時，需要使用分部積分公式兩次才能找到原函數。任意設定其中一部分函數為u，其他函數則為dv.分部積分兩次后會還原到原來的函數，只是系數有一些相應的變化。因此，等式兩邊就含有系數不同的同一積分。

一元函數的不定積分是微積分中的重要知識點，對定積分的學習有非常重要的作用。教師通過對函數的類型、性質等的細致觀察、理解和分析，可以培養學生的發現問題、分析問題和解決問題的能力，進而有助對于學生創新能力的培養。本文針對不定積分中的分部積分法，通過對被積函數類型的分析將其分為三類：降冪型、直接型和循環型，簡化計算過程，幫助學生合理、有效地使用分部積分公式。

參考文獻：

[1]祁愛琴，邵珠艷，胡西厚.醫用高等數學[M].北京：科學出版社，2013：77-97.

[2]王培承，祁愛琴，魏曼莎.醫科高等數學[M].濟南：山東人民出版社，2010：76-98.

[3]同濟大學應用數學系.高等數學[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：184-222.

[4]范梅.不定積分的分部積分法探究[J].西安航空學院學報，2015，33（1）：66-68.

[5]胡結梅，鄭華盛.不定積分計算方法注記[J].高等數學研究，2014，17（6）：10-13.

[6]朱孝春.一元函數不定積分中換元積分法與分部積分法的教學研究[J].數學教學研究，2011，30（11）：51-53，56.