基于方向?qū)?shù)的多元函數(shù)極值的判定

馬爍

(荊州理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部， 湖北 荊州 434000)

梁向

(荊州市沙市第一中學(xué)， 湖北 荊州 434000)

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基于方向?qū)?shù)的多元函數(shù)極值的判定

馬爍

(荊州理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部， 湖北 荊州 434000)

梁向

(荊州市沙市第一中學(xué)， 湖北 荊州 434000)

首先給出一階方向?qū)?shù)和二階方向?qū)?shù)的定義及其與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，然后利用方向?qū)?shù)給出了判斷二元函數(shù)在駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處是否取得極值的2個(gè)充分條件。實(shí)例分析結(jié)果表明，利用方向?qū)?shù)來(lái)判斷駐點(diǎn)或不可導(dǎo)是否為極值點(diǎn)是有效的。

方向?qū)?shù)；二元函數(shù)；極值；判別法

函數(shù)的極值不僅是函數(shù)性態(tài)的重要特征，而且在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。一般的教材[1,2]上都是利用二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷駐點(diǎn)是否為多元數(shù)的極值，但是對(duì)于多元函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，這一方法就失效了。文獻(xiàn)[3～8]利用高階偏導(dǎo)數(shù)或?qū)嵍涡偷睦碚撉蠼舛嘣瘮?shù)的極值，但比較繁瑣。下面，筆者利用方向?qū)?shù)給出判斷多元函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處是否為極值的條件及求法。

1　方向?qū)?shù)及其與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定義1[1]設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，l是從P(x0,y0)出發(fā)沿方向el=(cosα,cosβ)的一條射線(xiàn),在l上任取一點(diǎn)P(x,y)，有x=x0+tcosα，y=y0+tcosβ(t≥0),如果極限：

定理1[2]如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分,那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l(cosα,cosβ)的方向?qū)?shù)都存在,且有：

(1)

式(1)表示為(x,y)的一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)為方向?qū)Ш瘮?shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)方向?qū)?shù)。

對(duì)于方向?qū)Ш瘮?shù)式(1)，可以求關(guān)于方向l(cosα,cosβ)的方向?qū)?shù)。

定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)沿l(cosα,cosβ)的方向?qū)?shù)存在，對(duì)于l(cosα,cosβ)，如果極限：

存在，則稱(chēng)該極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)沿l(cosα,cosβ)的二階方向?qū)?shù)。

定理2如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)二階可微，則在點(diǎn)P(x,y)沿方向l(cosα,cosβ)的二階方向?qū)?shù)存在，且有：

定理2由二階方向?qū)?shù)的定義可以證明。

2　多元函數(shù)極值的判定方法

二元函數(shù)的極值可能在駐點(diǎn)處取得，也可能在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取得，下面給出利用方向?qū)?shù)判斷二元函數(shù)在駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處是否取得極值的判別方法。

同理可證(2)、(3)。

3　實(shí)例分析

則：

例2討論函數(shù)f(x,y)=x2-y2在點(diǎn)(0，0)處的極值情況。

則：

f(x,y)=x2-y2在點(diǎn)O(0,0)的去心鄰域內(nèi)方向?qū)?shù)既有大于零的又有小于零的，符號(hào)不確定，于是由定理3知函數(shù)f(x,y)=x2-y2在O(0,0)處不取極值。

例3討論函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3xy在點(diǎn)(1,1)處的極值情況。

解由于：

=6xcos2α-3cosαcosβ-3cosβcosα+6ycos2β

所以對(duì)于任意方向l(cosα,cosβ)，有：

故由定理4知函數(shù)f(x,y)在(1,1)處取得極小值。

4　結(jié)語(yǔ)

利用方向?qū)?shù)給出了判斷二元函數(shù)在駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處是否取得極值的2個(gè)充分條件。通過(guò)實(shí)例分析，結(jié)果表明利用方向?qū)?shù)來(lái)判斷駐點(diǎn)或不可導(dǎo)是否為極值點(diǎn)是有效的。 這種判別方法可以推廣到三元及三元以上的函數(shù)。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].第5版，北京：高等教出版社，2002:52～55.

[2] 王安平，楊波，周云才.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2013:89～92.

[3] 葉淼林.關(guān)于多元函數(shù)的極值[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1995,1(4)：71～73.

[4] 吳崇劍，李偉.二元函數(shù)極值的高階判別法[J]. 工科數(shù)學(xué),1995,1(11)：104～107.

[5] 李玲.關(guān)于多元函數(shù)極值問(wèn)題的討論[J].重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2006,15(2)：163～165.

[6] 董麗華.實(shí)用二次型理論解多元函數(shù)的極值問(wèn)題[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,27(2)：28～30.

[7] 王敏芝.關(guān)于多元函數(shù)的極值的判別準(zhǔn)則[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào),2007,24(5)：592～596.

[8] 朱用文，王燕，候汝臣.正定矩陣在函數(shù)極值中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40(21)：249～250.

[編輯]洪云飛

2016-04-25

湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2012年度立項(xiàng)課題(2012B310)。

馬爍(1981-),女，碩士，講師，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:mashuo050@163.com。

O171.2

A

1673-1409(2016)22-0064-04

[引著格式]馬爍,梁向.基于方向?qū)?shù)的多元函數(shù)極值的判定[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(22)：64～67.