用好例題拓展提高學習實效

尹平

用好例題拓展提高學習實效

尹平

教科書中的例題是圍繞本節（或本章）的概念、定理而設置的典型題目，在平時的學習過程中，往往有些同學不重視、不關注.本文借助于課本中一道題，加以變式拓展，希望能帶給同學們一些新的認識.

原題呈現：蘇科版《數學》九年級上冊第34頁：

圖1

如圖1，在矩形ABCD中，AB= 16cm，BC=6cm，點P從點A出發，以3cm/s的速度向點B移動，直到到達點B為止；同時點Q從點C出發，以2cm/s的速度向點D移動，經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？

【分析】設運動時間為t秒，因為PQ長為10cm，所以構造出以PQ為斜邊的直角三角形，作PH⊥CD，垂足為H，用t表示出線段HQ的長，用勾股定理列方程即可求解.

解：設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，

圖2

如圖2，作PH⊥CD，垂足為H，

則PH=BC=6，PQ=10，

HQ=CD-AP-CQ=16-5t.

因為PH2+HQ2=PQ2，

可得：（16-5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6.

答：P，Q兩點從出發經過1.6或4.8秒時，點P，Q間的距離是10cm.

變式一條件不變，在運動過程中，點P和點Q之間的距離可能是18cm嗎？如果可能，求出運動時間t，如果不可能，請說明理由.

解：與上述過程相同，

（16-5t）2+62=182，

所以在運動過程中，點P和點Q之間的距離不可能是18cm.

變式二（2016·威海一模）如圖3，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，直到到達點B為止，點Q以2cm/s的速度向點B移動，經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？

圖3

圖4

圖5

【分析】設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，表示出PB、BQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可.

解：設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，

則PB=16-3t，BQ=6-2t，

因為PB2+BQ2=PQ2，

所以（16-3t）2+（6-2t）2=102，

變式三條件不變，如圖4，∠DQP能否為直角？若能，請求出相應的時間t的值.

【分析】題目明確問∠DQP能否為直角，所以需要構建△DQP，再根據勾股定理求解.

解：能.

由∠DQP=90°，則有DQ2=DP2-PQ2，

所以（16-2t）2=62+（3t）2-62，

時，∠DQP為直角.

變式四條件不變，經過多長時間，點P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？

【分析】設時間為ts，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N，根據四邊形ABCD是矩形可知DC=AB=16cm，AD=BC=PM=QN=6cm，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，故DM=AP=3tcm，BN= CQ=2tcm，再分DP=PQ，DQ=PQ及DP=DQ三種情況進行討論即可.

解：設時間為ts，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N（如圖5），

因為四邊形ABCD是矩形，所以DC=AB= 16cm，AD=BC=PM=QN=6cm，

∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，

則DM=AP=3tcm，BN=CQ=2tcm.

分為三種情況：

①當DP=PQ時，則DM=MQ=3tcm，

∵3t+3t+2t=16，解得：t=2；

②當DQ=PQ時，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（16-3t-2t）2，

7t2-32t+12=0，

解得：

③當DP=DQ時，在Rt△DAP中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（3t）2，

即5t2+64t-220=0，

圖6

變式五如圖6，在矩形ABCD中，AB= 12cm，BC=4cm，點P以4cm/s的速度從頂點A出發沿折線A—B—C向點C運動，同時點Q以2cm/s的速度從頂點C出發向點D運動，當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動.問兩動點經過多長時間，使得點P與點Q之間的距離為

【分析】注意題目中對兩動點運動的表述，從而知道每個動點的運動路徑.不難看出P分別在AB、BC上運動，所以需要分類討論.

①當0＜t≤3時，則有（12-4t-2t）2+42=20，

②當3＜t≤4時，則有（16-4t）2+（2t）2=20，

得方程5t2-32t+59=0，

此時Δ＜0，此方程無解.

通過以上題目的變式，同學們一定會發現解決此類問題，關鍵是要會表示出相關線段長，利用勾股定理，再結合方程進行求解.同學們也可以作適當的變式，試試看，你會發現新天地.

（作者單位：江蘇省海門市正余初級中學）