圓中之“最”，有“跡”可尋

柏素霞

圓中之“最”，有“跡”可尋

柏素霞

近年來，以圓為載體，通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或是圓本身的運(yùn)動(dòng)來考查與圓有關(guān)的最值的題型不在少數(shù)，解決這類問題的關(guān)鍵是找出確定最值成立的條件，同學(xué)們要學(xué)會(huì)化未知為已知，與已學(xué)知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系，架起思維的橋梁，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，從而找到突破口求解.

一、結(jié)合三角形的中位線定理求解

例1如圖1，AB是⊙O的弦，AB=6，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°.若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是_______.

【分析】根據(jù)中位線定理得到，AC最大時(shí)，MN最大.AC是圓的一條弦，隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，弦AC的長(zhǎng)在發(fā)生變化，在圓內(nèi)，直徑是最長(zhǎng)的弦，因此，當(dāng)AC過點(diǎn)O為直徑時(shí)AC最長(zhǎng)，從而求得直徑后就可以求出最大值.

圖1

圖2

解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，如圖2，

【說明】在解決本類題型時(shí)我們要學(xué)會(huì)動(dòng)中覓靜，要分清在運(yùn)動(dòng)過程中圖形的不變?cè)睾妥儎?dòng)元素，探尋到那些隱含的、在運(yùn)動(dòng)變化中沒有改變的不變量或不變關(guān)系.本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解什么時(shí)候MN的值最大.本題中的不變關(guān)系就是三角形的中位線定理，通過這個(gè)不變關(guān)系實(shí)現(xiàn)了最大值的轉(zhuǎn)化，通過求AC的最大值從而求得了MN的最大值.

二、結(jié)合垂線段的性質(zhì)求解

【分析】如圖4，由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短.根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓心角和圓周角之間的關(guān)系可知∠EOF=120°，易求得∠EOH=60°，根據(jù)特殊的直角三角形三邊間的比例關(guān)系可知EF=當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短.

圖3

圖4

解：如圖4，連接OE，OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，

∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2，

∴OE=OF=1.

由圓周角定理可知

【說明】本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及特殊的直角三角形的性質(zhì).解本題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓，再利用特殊直角三角形三邊之比找出EF與圓的直徑之間的關(guān)系.這里的最值實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用了“垂線段最短”，再轉(zhuǎn)化為所要求的弦的最小值.

三、“最”上加“最”，綜合求解

例3如圖5，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是________.

【分析】利用勾股定理的逆定理得到∠C為直角，利用“90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑”，得到EF為圓的直徑.如圖6，設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D，圓心為點(diǎn)O，連接CO、DO，這兩條半徑之和始終等于直徑EF的長(zhǎng)，當(dāng)（CO+DO）的長(zhǎng)度最短時(shí)，則EF的長(zhǎng)度最小.故當(dāng)C、O、D三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)CD垂直于AB時(shí)，CD是圓的直徑，此時(shí)EF長(zhǎng)度最小，求出即可.

解：∵在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，可知EF為圓的直徑.

設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D，連接CD，

當(dāng)CD垂直于AB，即CD是圓的直徑時(shí)，EF長(zhǎng)度最小，最小值是

圖5

圖6

【說明】本題考查了勾股定理的逆定理及直徑、圓周角的相關(guān)性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是要看清圓在運(yùn)動(dòng)的過程中，EF與（CO+DO）始終相等，故可進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.在運(yùn)動(dòng)過程中，有那么一個(gè)特殊狀態(tài)，C、O、D三點(diǎn)共線且垂直于AB，此時(shí)CD最短且為直徑，這里運(yùn)用了兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的性質(zhì).

以上幾例為圓中有關(guān)最值計(jì)算問題的常用思路，同學(xué)們只要能尋得問題的源頭，便能抵達(dá)成功的彼岸.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）