基于理由的偏好防策略投票方案

李　娜，袁旭亮

(南開大學 哲學院，天津　300350)

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基于理由的偏好防策略投票方案

李娜，袁旭亮

(南開大學 哲學院，天津300350)

所謂的社會選擇理論就是將社會中眾多的個體偏好聚合為社會偏好，并在此基礎上做出充分體現每一社會成員的真實偏好的社會選擇。20世紀70年代，吉伯特和薩特思維特提出并證明了任何合理的防策略投票方案都是獨裁的，這是社會選擇理論的一個非常重要的結論。為了深化對社會選擇理論的認識，基于理由的偏好作為基本的偏好關系，研究不同情形下的基于理由的偏好聚合問題，構建一個基于理由的偏好投票方案，并對其防策略性進行了研究。

社會選擇理論；吉伯特-薩特思維特防策略投票不可能性定理；防策略投票方案；基于理由的偏好

一、引言

所謂的社會選擇理論是將社會中眾多的個體偏好聚合為相應的社會偏好，進而做出一個體現每一個體的真實偏好和意愿的最佳社會選擇。在形式上，社會選擇理論是典型的群體決策問題，但是在更深層次上，社會選擇理論所研究的是“個人價值與社會選擇之間的沖突與一致性的條件”，也即協調社會成員間有分歧的價值觀和不同的利害關系，使之趨于一致。對社會選擇理論的研究具有悠久的歷史，可以追溯到中世紀關于投票方法的研究。從18世紀開始，對社會選擇問題的研究逐漸系統化，法國數學家孔多塞首先發現了“投票悖論”；數學家博達針對“少數服從多數”投票方案存在的缺陷提出了博達計數法；到20世紀50年代，美國經濟學家肯尼斯·約瑟夫·阿羅提出并證明了著名的阿羅不可能性定理(簡稱為阿羅定理)[1]；進而，在阿羅定理的基礎上，艾倫·吉伯特和馬克·薩特思維特對社會選擇理論進一步研究發現任何合理的投票選舉方案都可以被操縱，也即吉伯特-薩特思維特防策略投票不可能性定理[2-3]。后世對社會選擇問題的研究都以阿羅定理和吉伯特-薩特思維特定理為基礎，試圖通過弱化阿羅關于投票方案的性質條件來得到可能性定理，進而構造一種防策略(操縱)的偏好聚合機制(投票方案)[4]。

社會選擇理論問題的本質是偏好的聚合問題，其關鍵在于構造一個完美的(防策略的)偏好聚合機制。本文以丹尼爾·歐歇爾森和斯科特·溫斯坦定義的基于理由的偏好作為基本的偏好關系[5-6]，研究基于理由的偏好聚合問題，并嘗試構造一個基于理由的偏好投票方案，進而對其是否具有防策略性進行研究。

二、基于理由的偏好聚合

給定名冊(L,U)，令P∈L是一元謂詞并且χ∈U為一個理由集。為了更清楚地闡述相關概念，將偏好關系下標處的χ省略。

定義1

φ=def?xy((Px≈Py)→?z((Px∧Pz)≈(Py∧Pz)))。

在定義1中，φ表示對于任意的個體x和y，若x具有性質P與y具有性質P是無差異的，那么對于任意的個體z，x具有性質P并且z具有性質P與y具有性質P并且z具有性質P也是無差異的。即：若Px與Py是無差異的，那么分別在Px與Py上合取任意的Pz其結果也是無差異的。

命題1令M=〈D,W,t,u,s〉是一個模型，w0∈φ[M]。那么存在一個實數R上的函數F：R2→R使得對于所有滿足條件

(Px∧Py)[M,d]≠?

的指派d，都有

u(s(w0,(Px∧Py)[M,d]))=F(u(s(w0,Px[M,d])),u(s(w0,Py[M,d])))。

證明：對于具有形式u(s(w0,Px[M,d]))和u(s(w0,Py[M,d]))的數，定義

(1)F(u(s(w0,Px[M,d])),u(s(w0,Py[M,d])))=defu(s(w0,(Px∧Py)[M,d]))。

對于所有其他的實數r1和r2，F(r1,r2)可以被定義為R中的任意一個元素。下面證明F是一個函數。為了這個目的，令變元q是已知的，并且假設

(2)u(s(w0,Px[M,d]))=u(s(w0,Pq[M,d]))。

為了完成這個證明，現在只需證明

(3)u(s(w0,(Px∧Py)[M,d]))=u(s(w0,(Pq∧Py)[M,d]))。

F的第二個斷言可以用同樣的方法處理。從式(2)可得

w0∈(Px≈Pq)[M,d],

因此，由定義1可得

w0∈((Px∧Py)≈(Pq∧Py))[M,d],

由此可得

u(s(w0,(Px∧Py)[M,d]))=u(s(w0,(Pq∧Py)[M,d]))。■

命題1說明對于由簡單合取支Px和Py構成的公式Px∧Py，可以構造出一個函數F，將各個合取支的效用聚合為合取式Px∧Py的整體效用。下面是定義1的推廣。

定義2

φ=def?xy((Px≈Py)→?x1…xk((Px∧Px1∧…∧Pxk)≈(Py∧Px1∧…∧Pxk))。

命題2令M=〈D,W,t,u,s〉是一個模型，w0∈φ[M]。那么存在一個實數R上的函數F：Rk→R使得對于所有滿足條件

(Px∧Px1∧…∧Pxk)[M,d]≠?

的指派d，都有

u(s(w0,(Px∧Px1∧…∧Pxk)[M,d]))=F(u(s(w0,Px[M,d])),u(s(w0,Px1[M,d])),…,u(s(w0,Pxk[M,d])))。

證明：利用命題1施歸納于個體的個數k即可證明。

下面筆者將討論另一種簡單的偏好聚合，也即如何將由單個理由i∈χ所索引的個體效用ui聚合為理由集χ下的復合效用uχ。令{1},{2},{1,2}∈U，并且{1}和{2}分別簡寫做1和2，{1,2} 簡寫做1,2。

定義3

φ=def?xy(((Px≈1Py)∧(Px≈2Py))→(Px≈1,2Py))。

定義3表明，給定理由{1}和{2}，對于任意的個體x和y，若在理由1下x具有性質P與y具有性質P是無差異的，并且在理由2下x具有性質P與y具有性質P同樣是無差異的，那么在理由集{1,2}下x具有性質P與y具有性質P是無差異的。

命題3令M=〈D,W,t,u,s〉是一個模型，w0∈φ[M]。那么存在一個實數集R上的函數F：R2→R使得對于所有指派d，都有

u1,2(s(w0,Px[M,d]))=F(u1(s(w0,Px[M,d])),u2(s(w0,Px[M,d])))。

證明：若存在指派d使得有序對(p,q)∈R2滿足

(4)p=u1(s(w0,Px[M,d]))

q=u2(s(w0,Px[M,d]))

則稱有序對(p,q)是關鍵的。

對任意的關鍵有序對(p,q)，令F：R2→R滿足

F(p,q)=u1,2(s(w0,Px[M,d]))。

而對于非關鍵的有序對，F在其上的對應是任意的。假定對于某一指派d′，有

(5)p=u1(s(w0,Px[M,d′]))

q=u2(s(w0,Px[M,d′]))

若要證明F是一個函數，則需先證得如下式子成立

(6)u1,2(s(w0,Px[M,d]))=u1,2(s(w0,Px[M,d′]))。

令y是一個不同于x的變元，并且令

d″(z)=d(d′(x)/y)(z)。

從(4)和(5)可以推出

w0∈(Px≈1Py)[M,d″]并且w0∈(Px≈2Py)[M,d″]。

由定義3可得

w0∈(Px≈1,2Py)[M,d″]。

因此，立刻得(6)。故，F:R2→R是一個函數。■

命題3給出的R2上的一個函數F，將理由{1}和{2}分別索引的效用聚合為理由集{1,2}索引的復合效用。下面是定義3的推廣。

定義4

φ=def?xy(((Px≈1Py)∧(Px≈2Py)∧…(Px≈kPy))→(Px≈1,2,…,kPy))。

命題4令M=〈D,W,t,u,s〉是一個模型，w0∈φ[M]，效用索引{1},{2},…,{k},{1,2,…,k}。那么存在一個實數集R上的函數F:Rk→R，使得對于所有的指派d，都有

u1,2,…,k(s(w0,Px[M,d]))=F(u1(s(w0,Px[M,d])),u2(s(w0,Px[M,d])),…,uk(s(w0,Px[M,d])))。

證明：利用命題3施歸納于個體的個數k即可證明。

三、基于理由的偏好投票方案及其防策略性研究

1.吉伯特-薩特思維特防策略投票不可能性定理

20世紀70年代，吉伯特指出“任何一個至少包含三個候選項的簡單博弈結構都是獨裁的”，并對這一定理進行了證明[2]。薩特思維特進而提出并證明了下面的吉伯特-薩特思維特定理：

“吉伯特-薩特思維特定理在一個具有〈In,Sm,vnm,Tp〉結構的選舉委員會中，其中n≥1,m≥p≥3。投票方案vnm是防策略的當且僅當它是獨裁的。”[3]

吉伯特-薩特思維特定理指出任何防策略的投票方案都是獨裁的，這一理論引起了計算機科學、數學、經濟學和邏輯學等領域的學者的注意，吉伯特和薩特思維特的研究開啟了對投票方案的防策略研究。關于吉伯特-薩特思維特定理有多種證明方法，如薩特思維特的證明方法[3]，及S.Barbera和B.Peleg的證明方法等[7]。

下面，筆者以量化偏好邏輯為理論背景，嘗試為基于理由的偏好構造一個偏好聚合機制(投票方案)，隨后對它的防策略性進行研究。

2.基于理由的偏好的投票方案及其防策略性研究

給定名冊(L,U)，模型M=〈D,W,t,u,s〉和指派d。χ={1,2,3,…,k}∈U為理由集。令A={φ,ψ,θ,…}為候選項集，集合A的基數κ≥3，且A?L(L,U)。命題φ[M,d],ψ[M,d],θ[M,d],…的定義如通常，在此不贅述。命題φ[M,d],ψ[M,d],θ[M,d],…分別表示候選項φ,ψ,θ,…在其中可以實現的可能世界集。即若w′∈φ[M,d]，表示候選項φ在可能世界w′中可實現。

以下幾點需作出特別解釋：

在模型M=〈D,W,t,u,s〉中，

(1)選擇函數s:W×W→W，因而s(w,φ[M,d])∈W。在本部分的理論背景下，選擇函數s依據可能世界w從所有候選項φ可實現的可能世界中選擇一個可能世界w′作為φ的代表。故而可得到候選項集A={φ,ψ,θ,…}在其中可實現的可能世界代表集A′={w′,w″,w?,…}。

(2)效用函數u:W×U→R，因而ui(s(w,φ[M,d]))∈R，也即根據某一理由i所確定的效用規模，效用函數ui為每一個由選擇函數s選出的候選項φ的可能世界代表w′指派一個效用值ui(w′)。

定義5(投票方案)

投票方案是一個函數f: u→W。f的值域記作rf。即投票方案f為任意的理由集χ所確定的效用截面u指派一個可能世界w′，可能世界w′也即是理由集χ下的最佳群體選擇。由上文中(1)可知，w′是候選項φ的可能世界代表，故而φ即為理由集χ下的最佳群體選擇。

定義6(全體一致)

投票方案f是全體一致的，如果在理由集χ下，若對于?i∈χ，?w∈A′，w在ui下的效用值都是最大的，則f(u)=w。

定義7(獨裁)

在投票方案f中，給定理由集χ，如果對于χ下的效用截面u以及任意的w∈A′，都有ui(f(u))≥ui(w)，則i∈χ是一個獨裁者。

注意，在定義7以及下文中，若j∈χ，則uj是效用截面u的第j個元素。由定義7可知，若f(u)=w*，則有對于?w∈A′都有ui(w*)≥ui(w)。又由于ui∈u，因而在理由集χ做出的群體選擇是由理由i所決定的，故i為一個獨裁者。

定義8(操縱)

定理1任何至少包含3個候選項的防策略投票方案都是獨裁的。

證明：這一定理的證明通過對理由的個數進行歸納而證明。

步驟一：首先證明當只有兩個理由時，定理成立。令χ={1,2}，且令投票方案f是一個理由集χ下的防策略投票方案。進而只需證明f(u)所選擇的候選項要么是在理由1下效用值最大的候選項，要么是在理由2下效用值最大的候選項，即理由1或理由2支配投票方案。

命題5給定任意的理由集χ={1,2}，理由集χ下的效用截面u=(u1,u2)，則f(u)要么是在理由1下效用值最大的候選項，要么是在理由2下效用值最大的候選項。

步驟1得證。

步驟2：令χ={1,2,3,…,n}，n≥3，證明(a)蘊涵(b)：

(a) 對于任意的χ′,χ′?χ，且χ和χ′所對應的效用截面分別是 u和u′，則如果投票方案f: u′→W是防策略的，則f是獨裁的。

(b) 如果f: u→W是防策略的，則f是獨裁的。

證明：假設(a)成立。令f是防策略的投票方案f: u→W。定義一個投票方案g: u′→W，令其滿足如下條件：

u′=(u1,u3,…,un)，g(u1,u3,…,un)=f(u1,u1,u3,…,un)，

也即將理由1和理由2合并，并在投票方案g中用理由1表示。很明顯，投票方案f和g都滿足全體一致性。接下來證明投票方案g是防策略的。首先，易知理由3～n不可能操縱投票方案g，否則它們也操縱投票方案f，而這與投票方案f是防策略的相矛盾。選取由n-1個理由確定的效用截面(u1,u3,…,un)，并令

g(u1,u3,…,un)=f(u1,u1,u3,…,un)=w1。

又因為投票方案f是防策略的，則

w1≠w2蘊涵u1(w1)≥u1(w2)，

w2≠w3蘊涵u1(w2)≥u1(w3)，

進而w1≠w3，蘊涵u1(w1)≥u1(w3)。因此，投票方案g不可能被理由1所操縱。

既然投票方案g滿足全體一致性并是防策略的，故而根據(a)可知g是獨裁的。下面有兩種情形需要考慮。

情形1：假定獨裁者j是理由3～n中的一個。那么理由j也是f中的獨裁者。給定效用截面(u1,u2,…,un)，令w1在效用函數uj下的效用值最大，f(u1,u2,…,un)=w2。既然j支配投票方案g，則理由1在效用截面(u1,u2,…,un)下通過合并理由2而使得f(u1,u2,…,un)從w2變化為w1。因為g(u1,u3,…,un)=f(u1,u1,u3,…,un)，又因為投票方案f是防策略的，則有u1(w1)≤u1(w2)。又因為f(u1,u1,u3,…,un)=w1，則有u1(w1)≥u1(w2)，否則理由2將在(u1,u1,u3,…,un)處通過u1操縱投票方案。因而，u1(w1)=u1(w2)，則w1和w2是無差異的。因此，理由j是投票方案f的獨裁者。也即投票方案f是獨裁的。

則步驟二得證。

步驟三：當理由索引集χ為單元素集時，定理很明顯是成立的，因而不再證明。

由數學歸納法可知，定理得證。■

四、結語

20世紀50年代，阿羅提出并證明了阿羅不可能性定理，向世界宣告“絕對公平的投票選舉方案是不可能實現的”。到了20世紀70年代，吉伯特和薩特思維特在阿羅不可能性定理的基礎上進一步提出了防策略投票不可能性定理，也即任何合理的投票選舉方案都是可以被操縱，進一步證實了阿羅的斷言。這兩個定理在理論上宣告了通過投票選舉獲得的民主實際上是一種偽民主，其本質是一種獨裁。因而不能構造出一種完美的(防策略的)投票方案，通過這一投票方案可以將社會中的眾多的個體偏好聚合為一個單一的社會偏好，進而做出充分尊重每一個體的真實偏好與意愿的最佳社會選擇。這是一個十分消極的結論。阿羅不可能性定理和吉伯特-薩特思維特定理的提出，促使社會選擇理論成為經濟學界、邏輯學界等研究的熱點，后世學者試圖通過弱化阿羅條件以期得到可能性定理，并對防策略投票方案進行深入的研究。本文將基于理由的偏好引入吉伯特-薩特思維特定理，嘗試構造了基于理由的偏好的投票方案，并對其防策略性進行了研究，具有一定的理論創新意義和現實價值。對于基于理由的偏好的防策略投票方案的未來研究前景，筆者認為可以為基于理由的偏好的防策略投票方案構造形式語言和完全的公理系統，通過公理化的方法證明其是否具有防策略性，從而使得基于理由的偏好的防策略投票方案更加成熟和完善。

[1]肯尼斯·約瑟夫·阿羅.社會選擇：個性與多準則[M].錢曉敏，孟岳良,譯.北京：首都經濟貿易大學出版社，2000.

[2]GIBBARD A.Manipulation of voting schemes:A general result[M].[S.l.]:Econometrica,1973:587-601.

[3]SATTERTHWAITE M A.Strategy-proofness and Arrow’s conditions:Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions[J].Journal of economic theory,1975,10(2):187-217.

[4]羅云峰，肖人彬.社會選擇的理論與進展[M].北京：科學出版社，2003.

[5]OSHERSON D,WEINSTEIN S.Preference based on reasons[J].The Review of Symbolic Logic,2011,5(1):122-147.

[6]OSHERSON D,WEINSTEIN S.Modal logic for preference based on reasons[M]//Search of Elegance in the Theory and Practice of Computation.[S.l.]:Springer Berlin Heidelberg,2013:516-541.

[7]BARBERA S,PELEG B.Strategy-proof voting schemes with continuous preferences[J].Social choice and welfare,1990,7(1):31-38.

[8]SEN A.Another direct proof of the Gibbard-Satterthwaite theorem[J].Economics Letters,2001,70(3):381-385.

(責任編輯張佑法)

The Strategy-Proof Voting Scheme of Reason-Based Preference

LI Na, YUAN Xu-liang

(School of Philosophy, NanKai University, Tianjin 300350, China)

The so-called social choice theory is a preference aggregation scheme which aggregates the numerous individual p

into a social preference and on the basis of that makes a social choice which reflects the true preference of each individual. In 1970s, the Gibbard-Satterthwaite strategy-proof voting impossibility theorem further confirms the result that every non-trivial strategy-proof voting scheme is dictatorial. In order to deepen the understanding to the social choice theory, we take reason-based preference as the basic preference relation, and first construct an aggregate function of reason-based preference, then establish a voting scheme of reason-based preference and study its strategy-proofness.

social choice theory; Gibbard-Satterthwaite strategy-proof voting impossibility Theorem; strategy-proof voting scheme; reason-based preference

2016-02-10

李娜(1958—)，女，河南開封人，教授，博士生導師，研究方向：現代邏輯。

引用格式：李娜，袁旭亮.基于理由的偏好防策略投票方案[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2016(8):12-17.

format：LI Na, YUAN Xu-liang.The Strategy-Proof Voting Scheme of Reason-Based Preference[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(8):12-17.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.08.003

B81

A

1674-8425(2016)08-0012-06