基于卡爾曼算法的回歸信度模型研究

王　濤，蔡　敏，林　杉，李　洋，吳黎軍

(1 新疆大學 數學與系統科學學院， 烏魯木齊　830046；2.西安財經學院 統計學院，西安　730000)

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基于卡爾曼算法的回歸信度模型研究

王濤1，蔡敏1，林杉2，李洋1，吳黎軍1

(1 新疆大學 數學與系統科學學院， 烏魯木齊830046；2.西安財經學院 統計學院，西安730000)

主要研究在卡爾曼算法下的回歸信度模型的信度估計問題，即將卡爾曼算法運用到回歸信度模型中，得出了回歸信度模型推導的另一種方法。由結果可知：用卡爾曼算法推導出的遞推公式與用貝葉斯方法推出的結果一致，但用卡爾曼算法更直接、更簡單，從而推廣了經典的信度理論。

卡爾曼算法；回歸信度模型；信度理論

在非壽險精算學中，信度理論一直是最重要的保費定價方式之一，其基本原理是精算師根據投保人過去的索賠經歷來預測投保人未來的風險保費。信度理論最早為Mowbray[1]和Whithey[2]所研究，且提出了最基本的保費公式：

(1)

卡爾曼濾波(Kalman filtering)是一種利用線性系統狀態方程，通過輸入輸出觀測數據對系統狀態進行最優估計的算法[6-8]。由于觀測數據中包括系統中的噪聲和干擾的影響，所以最優估計也可看作濾波過程。數據濾波是去除噪聲還原真實數據的一種數據處理技術。Kalman濾波在測量方差已知的情況下，能從一系列存在測量噪聲的數據中估計動態系統的狀態。由于其便于計算機編程實現,并能對現場采集的數據進行實時的更新和處理,成為目前應用最為廣泛的濾波方法,在通信、導航、制導與控制等多領域得到較好的應用[9]。

R.K.Mehra[10]在1975年第一次將卡爾曼算法和信度保費聯系起來，從而得出了一種新的計算信度保費的方法。隨后，吉林大學的李一英[8]在其碩士論文中將卡爾曼算法推廣到了Buhlmann-Straub信度模型，并得出了一系列重要的保費公式。本文進一步將卡爾曼算法運用到回歸信度模型中，推導出回歸信度模型的卡爾曼保費計算公式，即得出了最大精度信度模型推導的另一種方法。由結果可知：用卡爾曼算法推導出來的遞推公式與貝葉斯方法推出的結果一致，但卡爾曼算法能直接用結構化的公式推出信度模型的遞推式，從而推廣了經典的信度理論[11]。

1　回歸信度模型

1.1基本理論

在介紹回歸信度模型之前，先引入一個基本的定理。

1.2回歸信度模型

1)θ是一個不可觀測的隨機變量，且θ∈Θ。

2　卡爾曼濾波模型

2.1模型簡介

卡爾曼濾波最早由Kalman[13]于1960年提出，并于1961年與Bucy合作，將這一濾波方法推廣到連續時間系統中去，從而形成Kalman濾波估計理論。卡爾曼濾波是一種蘊含著遞歸思想的數學方法，它能從一組包含白噪聲且并不完全的觀測向量中估計出整個系統的狀態。

卡爾曼濾波包含2個導式：

(2)

為了表示方便，將式(2)寫成另一種形式：

(3)

其中：t為離散的時間點；Y(t)是系統在時刻t的觀測向量；X(t)是一個已知的矩陣，描述了Y(t)與系統的相關性；μ(t)和ν(t)是2個均值為0的誤差向量，即白噪聲；H(t)是一個已知的狀態轉移矩陣，表示系統在t時刻的狀態到t-1時刻的狀態之間的轉移。對于任意的時刻t、s(t≠s)，隨機向量μ(t),μ(s),v(t),v(s)是相互獨立的。

2.2模型推導

卡爾曼濾波模型的推導方法主要運用正交投影理論，在推導之前，本文先給出幾個正交投影結論[14]：

因為

由正交投影結論3)可知：

可得

反復運用正交投影理論，同時設定

最終可得[15]：

(4)

3　卡爾曼算法在回歸信度模型中的應用

本文已給出了卡爾曼模型的基本公式，即：

進一步可得信度公式為：

4　結束語

卡爾曼算法是一種基于遞歸思想的計算方法。本文在前人研究基礎上，創新性地將卡爾曼濾波模型運用到回歸信度模型中，得出了基于卡爾曼濾波的回歸模型信度公式。可以發現：由卡爾曼濾波推導出的公式與傳統的回歸模型信度公式完全等價，且由卡爾曼濾波可以直接用結構化的公式進行推導，簡單、迅速，效率較高。

[1]MOWBRAY A H.How extensive a payroll is necessary to give a dependable pure premium [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1914(1):24-30.

[2]WHITNEY A.The theory of experience rating [J].Proceedings of the Casualty Actuarial Society,1918(4):274-292.

[3]BAGNOLI M,BERGSTROM T.Log-concave probability and its applications [J].Economic Theory,2005,26:445-469.

[4]THOMAS M,COVE J A.信息論基礎[M].北京:機械工業出版社,2008.

[5]HACHEMEISTER C A.Credibility for regression models with application to trend[C]//Credibility,theory and applications,Proceedings of the berkeley Actuarial Research Conference on Credibility.USA:[s.n.],1975:129-163.

[6]商高高，朱晨陽． 基于雙重卡爾曼濾波器電池荷電狀態的估計[J]． 重慶理工大學學報(自然科學)，2014(6):1-7．

[7]李紅蓮,吳建偉.基于卡爾曼濾波的激光光譜CO2監測算法研究[J].激光雜志，2013(1)：41-42.

[8]靳宗信,樊紅娟.一種基于CHEBYSHEV正交多項式的卡爾曼濾波器[J].西南大學學報(自然科學版),2015(8):133-138.

[9]ZEHNWIRTH B.A generalization of the Kalman filter for models with state-dependent observation variance[J].Journal of the American Statistical Association,1988,83(401):164-167.

[10]MEHRA R K.Credibility theory and Kalman filtering with extensions[C]//Decision and Control including the 15th Symposium on Adaptive Processes,1976 IEEE Conference.[S.l.]:IEEE,1976:183-185.

[11]李一英.Kalman算法在一類Bühlmann-Straub推廣模型中的應用研究[D].長春:吉林大學,2014.

[12]NORBERG R.The credibility approach to experience rating[J].Scandinavian Actuarial Journal,1979,1979(4):181-221.

[13]KALMAN R E.A new approach to linear filtering and prediction problems[J].Journal of basic Engineering,1960,82(1):35-45.

[14]付夢印,鄧志紅,張繼偉.Kalman 濾波理論及其在導航系統中的應用[M].北京:科學出版社,2003.

[15]LUENBERGER D G.Optimization by vector space methods[M].New York:John Wiley & Sons,1997.

(責任編輯劉舸)

Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm

WANG Tao1，CAI Min1，LIN Shan2，LI Yang1，WU Li-jun1

(1.College of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046，China;2.School of Statistics, Xi’an University of Finance and Economy, Xi’an 730000, China )

This paper mainly studied the problem of estimating the reliability of regression credibility model based on the Calman algorithm, and Calman algorithm was applied to the regression credibility model, and another method for deriving regression credibility model was obtained. The result shows that the result is consistent with the result obtained by using Bayesian method and calman algorithm. But using the Calman algorithm, we can directly derive reliability model.The method is simple and convenient, which generalizes the classical reliability theory.

Calman algorithm; regression credibility model; credibility theory；

2015-10-25

國家自然科學基金資助項目(11361058)；新疆大學國家大學生創新創業實訓項目(201410755005)

王濤(1993—)，男，主要從事統計學與金融數學研究；通訊作者 吳黎軍(1961—)，男，教授，主要從事數理統計與金融數學研究,E-mail:xjmath@xju.edu.cn。

format：WANG Tao，CAI Min，LIN Shan,et al.Study on Regression Credibility Model Based on Calman Algorithm[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(9):133-137.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.022

O211.5

A

1674-8425(2016)09-0133-05

引用格式：王濤,蔡敏，林杉,等.基于卡爾曼算法的回歸信度模型研究[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(9):133-137.