具有非線性脈沖效應和混合時滯的神經網絡的指數同步

蒲　浩，蔣海軍，劉衍民，張轉周

(1.遵義師范學院 數學與計算科學學院， 貴州 遵義　563002;2.新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊　830046)

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具有非線性脈沖效應和混合時滯的神經網絡的指數同步

蒲浩1，蔣海軍2，劉衍民1，張轉周1

(1.遵義師范學院 數學與計算科學學院， 貴州 遵義563002;2.新疆大學 數學與系統科學學院，烏魯木齊830046)

研究了一類具有非線性脈沖效應和混合時滯的神經網絡的指數同步。 通過李雅普洛夫穩定性理論和一些不等式方法，利用p-范數得到了新的指數同步的充分條件。和之前的脈沖效應是線性函數的結論相比較，消除了對線性脈沖效應系數γij∈[0,2]的限制，適用范圍更廣泛。

指數同步；神經網絡；混合時滯；非線性脈沖效應；p-范數

近年來，神經網絡指數同步在許多科學領域中的理論研究和實踐應用中有著廣泛的應用，例如，在信號和影像傳遞過程、聯想記憶、生態系統、組合優化、軍事領域、人工智能系統等。為此,許多學者對神經網絡指數同步進行了廣泛的研究[1-4]。

神經網絡的同步不僅受到外界的干擾,而且受到自身因素的影響。例如：信號在不同的神經元之間的傳遞過程中受到外界的干擾,出現了擾動時滯；信號在不同的神經元之間的傳遞速度和轉換速度是有限的,從而出現了信號傳遞的滯后現象[5-6]，該現象會影響神經網絡的信號傳遞同步。

在神經網絡中,信號在不同神經元之間的傳遞過程中受到外界的干擾會引起信號的短暫波動,即脈沖現象。許多研究者對具有脈沖效應的神經網絡同步問題進行了廣泛的研究[7-9]。但這些研究所考慮的脈沖效應主要是線性函數,比如文獻[7-9]考慮的脈沖效應是線性函數Δxi(tk)=-γikxi(tk) 且γij∈[0,2]，但在實際的神經網絡中出現的脈沖效應系數不只局限于γij∈[0,2]。

1　模型和預備知識

考慮如下的具有非線性脈沖效應和混合時滯的神經網絡模型：

(1)

系統(1)的初值條件為

(2)

對于系統(1)，假設：

把系統(1)作為主驅動系統，為了同步，引入如下響應系統：

(3)

其中：ui(t)表示如下的外部輸入控制：

(4)

kij(i，j∈I)是一個常數。

響應系統(3)的初值條件是：yi(s)=φi(s)，s∈[-τ，0]，i∈I，其中φi(s)=(φ1(s)，φ2(s),…,φn(s))T∈C([-τ，0]，Rn)，定義誤差系統為ei(t)=yi(t)-xi(t)。由驅動系統(1)和響應系統(3)，可以得到如下的誤差系統：

(5)

(H2)對任意的i∈I，λi-ξi-αi-βi>0成立。

構造一個函數列：

當εi=0時，根據假設(H2)，有Fi(0)=λi-ξi-αi-βi>0，i∈I，而

定義1如果存在常數A≥1使得

(6)

2　輔助引理

引理 1[10]對任意的非負實數a和b，不等式

(7)

成立。

為了證明后面主要結論的需要，由引理(1)經過計算可知：

(8)

(9)

(10)

(11)

成立。

對任意的(x1，x2，…，xn)∈Rn，(y1，y2，…，yn)∈Rn，i∈I和k∈Z+成立。

3　主要結果

定理1如果(H1)～(H4)成立，在恰當的外部控制輸入ui(t)(i∈I)的條件下，則驅動系統(1)和響應系統(3)是全局指數同步的。

證明構造如下形式的Lyapunov函數：

(12)

(13)

當t=tk時，由假設(H3)-(H4)有如下結果

(14)

定義

(15)

由式(12)～(15)可知：z(t)≤V(t)≤ρk-1V(tk-1)≤ρ1ρ2，…，ρk-1V(0)，對t∈(tk-1，tk]，k∈Z+，ρ0=1。由假設(4)可知：ρk≤e(tk-tk-1),k∈Z+, z(t)≤eα(t1-0)，…，eα(tk-1-tk-2)V(0)≤eαtV(0)，t∈(tk-1，tk]，k∈Z+。結合前面的計算，有下列不等式成立：

(16)

當t=0時，由式(12)可知

(17)

由式(16)和(17)可知

(18)

由式(18)可知

說明驅動系統(1)和響應系統(3)是全局指數同步的。

4　推論

若在系統(1)中的脈沖函數是如下的線性函數：Δxi(tk)=γikxi(tk) 時，則有

根據定理(1)，有如下推論成立：

[1]LIANGJ,WANGZ,LIUX.OnSynchronizationofCoupledDelayedNeuralNetworks[M].[S.l.]:RecentAdvancesinNonlinearDynamicsandSynchronization,2009:117-149.

[2]CHENGC,LIAOT,YANJ,etal.ExponentialSynchronizationofAClassofNeuralNetworksWithTime-VaryingDelays[J].IEEETransSyst,ManandCybernetics,PartB:Cybern,2006,36(1):209-215.

[3]YANGXS,CAOJD,YUWW.ExponentialSynchronizationofMemristiveCohen-GrossbergNeuralNetworkswithMixedDelays[J].CognitiveNeurodynamics,2014,8(3):239-249.

[4]WANGK,TENGZD,JIANGHJ.AdaptiveSynchronizationinanArrayofLinearlyCoupledNeuralNetworkswithReaction-DiffusionTermsandDelays[J].CommumnicationinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2012,17(10):3866-3875.

[5]YANJ,LINJ,HUNGM.OntheSynchronizationofNeuralNetworksContainingTime-VaryingDelaysandSectorNonlinearity[J].PhysLettA,2007,361:70-77.

[6]YUJ,HUC,JIANGHJ,etal.ExponentialLagSynchronizationforDelayedFuzzyCellularNeuralNetworksviaPeriodicallyIntermittentControl[J].MathematicsandComputersinSimulation,2012,82(5):895-908.

[7]SHENGL,YANGHZ.ExponentialSynchronizationofaClassofNeuralNetworkswithMixedTime-VaryingDelaysandImpulsiveEffects[J].Neurocomputing,2008,71(16):3666-3674.

[8]YANGYQ,CAOJD.ExponentiallagSynchronizationofaClassChaoticDelayedNeuralNetworkswithImpulsiveEffects[J].PhysicaA,2007,386:492-502.

[9]FENGXM,ZHANGFQ,WANGWJ.GlobalExponentialSynchronizationofDelayedFuzzyCellularNeuralNetworkswithImpulsiveEffects[J].ChaosSolitionsFractals,2011,44(1):9-16.

[10]YUJ,HUC,JIANGHJ,etal.ExponentiallagSynchronizationforNeuralNetworkswithMixedDelaysviaPeriodicallyIntermittentControl[J],Chaos,2010,20(2):023108-023115.

(責任編輯何杰玲)

Exponential Synchronization of Neural Networks with Nonlinear Impulsive Effects and Mixed Time Delays

PU Hao1, JIANG Hai-jun2, LIU Yan-min1, ZHANG Zhuan-zhou1

(1.School of Mathematics and Computational Science,Zunyi Normal College, Zunyi 563002, China;2.College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Exponential synchronization of neural networks with nonlinear impulsive γij∈[0,2]effects and mixed time delays was discussed. By Lyapunov stability theory and inequality techniques, some new and useful sufficient conditions on the exponential synchronization were obtained based onp-norm. Compared with recently years of linear impulsive effects results about neural networks synchronization, our results remove the restrictions that the impulsive gain γij∈[0,2], so our results are more general.

exponential synchronization; neural network; mixed time delay; nonlinear impulsive effects;p-norm

2016-03-12

國家自然科學基金資助項目(71461027)；貴州省計劃科技項目(黔科合LH字[2015]7053號，黔科合LH字[2015]7005)

蒲浩(1986—)，男，甘肅天水人，碩士，主要從事神經網絡同步研究，E-mail:puhao2100@163.com。

format：PU Hao, JIANG Hai-jun, LIU Yan-min,et al.Exponential Synchronization of Neural Networks with Nonlinear Impulsive Effects and Mixed Time Delays[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(9):143-150.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.024

O175.1

A

1674-8425(2016)09-0143-08

引用格式：蒲浩，蔣海軍，劉衍民， 等.具有非線性脈沖效應和混合時滯的神經網絡的指數同步[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(9):143-150.