正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州　510006)

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正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006)

算子理論是解析函數(shù)空間理論研究的重要內(nèi)容，為了尋找通過(guò)探討聯(lián)立算子與函數(shù)空間的方法研究算子以及函數(shù)空間的有效途徑，假設(shè)φ為單位圓盤(pán)Δ上的一個(gè)解析自映射，正規(guī)權(quán)Bloch空間μ-B是單位圓盤(pán)Δ上的一個(gè)Banach空間，定義Cφ∶Cφ(f)=f°φ為μ-B上的復(fù)合算子，對(duì)所有的f∈μ-B，并由積分算子以及復(fù)合算子推廣得到積分型算子JhCφ和CφJ(rèn)h，主要討論了正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子JhCφ的有界性和緊性，以及正規(guī)權(quán)Bloch空間到QT,S空間的積分型算子CφJ(rèn)h的有界性，并給出了相關(guān)的充要條件。

函數(shù)空間；正規(guī)權(quán)Bloch空間;QT,S空間; 積分型算子; 有界性; 緊性

1　預(yù)備知識(shí)

當(dāng)h(ξ)=z時(shí)，可得(CφJ(rèn)hf)(z)=(JhCφf(shuō))(z)=f(φ(z))=f°φ，即為復(fù)合算子。積分型算子的相關(guān)研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8—13]。

定義4[19]QT,S空間與小QT,S空間分別定義為

當(dāng)s=2時(shí)，QT,2=QT；當(dāng)取T(r)=rp(0

本文中的C表示一個(gè)正常數(shù)，并且在不同地方可以表示不同的值。

2　主要結(jié)果

引理2μ-B到QT,S的積分型算子JhCφ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零,則JhCφf(shuō)n在QT,S中收斂到零。

證明由Montel定理和緊算子的定義容易證得。

定理1設(shè)0

(1)

證明充分性。

對(duì)任意的f∈μ-B有，

由于式(1)成立，則可得JhCφ:μ-B→QT,S有界。

必要性。

設(shè)JhCφ:μ-B→QT,S有界，且由引理1可得：

故式(1)成立。證畢。

定理2設(shè)0

①JhCφ:μ-B→QT,S,0有界；

②JhCφ:μ-B→QT,S,0緊；

證明②?①顯然成立。

①?③的證明，由引理1得：

故結(jié)論③成立。

③?②的證明，由類(lèi)似定理1的充分性證明可知，當(dāng)③成立,若f∈μ-B則JhCφf(shuō)∈QT,S,0,故要證JhCφ:μ-B→QT,S,0緊，只需證JhCφ:μ-B→QT,S緊，而由引理2，任取μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零，只需證明‖JhCφ(fn)‖QT,S→0，n→∞。……