一類多點共振方程組邊值問題正解的存在性

江衛(wèi)華，楊彩霞

(河北科技大學理學院，河北石家莊　050018)

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一類多點共振方程組邊值問題正解的存在性

江衛(wèi)華，楊彩霞

(河北科技大學理學院，河北石家莊050018)

求解共振微分方程邊值問題解的存在性比較困難，要得到共振微分方程邊值問題的正解更加困難。針對研究領域中這一問題，著重研究了一類多點共振微分方程組邊值問題正解的存在性。在前人研究成果的基礎上，選取的不同的算子，將方程擴展為方程組。通過在合適的空間中定義恰當?shù)姆稊?shù)使之成為Bananch空間，利用O'Regan和Zima所研究出來的范數(shù)形式的Leggett-Williams定理，對非線性項做出合理的假設條件，得到了共振微分方程組邊值問題正解的存在性定理。

常微分方程其他學科；邊值問題；共振；正解；方程組

本文研究多點共振微分方程組邊值問題：

(1)

正解的存在性。

對邊值問題解和正解的研究已經(jīng)取得了大量的研究成果[1-6]。特別是共振邊值問題一直以來受到廣泛關注，并且已經(jīng)取得了很多成果[7-14]。文獻[14]利用范數(shù)形式的Leggett-Williams定理給出了如下共振多點邊值問題：

(2)

受上述文獻啟發(fā)，本文研究多點共振微分方程組邊值問題(1)正解的存在性。

1　預備知識

本文所使用的一些預備知識如下，詳細可參見文獻[14]。

設X,Y是Banach空間，L:domL?X→Y為指數(shù)為零的Fredholm算子，即ImL是閉集且dimKerL=codimImL<∞。此時存在連續(xù)投影算子P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=KerL,KerQ=ImL。又dimImQ=codimImL，因此存在同構J:ImQ→KerL，若限制L在KerP∩domL上，記為LP，則它的逆算子存在，記為KP:ImL→KerP∩domL。方程Lx=Nx等價于x=(P+JQN)x+KP(1-Q)Nx。

引理1[14]設C為X中一個錐，則對每個u∈C{θ}，存在一個正數(shù)σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖，對?x∈C。

令γ：X→C為保核收縮，即γ為一連續(xù)映射，且γx=x,x∈C。并記Ψ:=P+JQN+KP(I-Q)N和Ψγ:=Ψ°γ。

1°在X的任意有界子集上，QN:X→Y連續(xù)有界，KP(I-Q)N:X→X是緊的；

2°對任何x∈?Ω2∩domL,λ∈(0,1),Lx≠λNx；

4°dB([I-(P+JQN)γ]|Ker L，KerL∩Ω2,0)≠0,其中dB代表Brouwer度；

5°存在u0∈C{0}使得當x∈C(u0)∩?Ω1，有‖x‖≤σ(u0)‖Ψx‖成立，其中C(u0)={x∈C:μu0?x}，μ為某些大于0的數(shù)，并且σ(u0)滿足對?x∈C不等式‖x+u0‖≥σ(u0)‖x‖都成立；……