從感性到理性 凸顯數學的實驗味

楊麗娟

摘 要：結合蘇科版數學教材八年級下冊實驗課《數格點 算面積》的課堂教學，通過探究格點多邊形的面積S與多邊形邊上的格點數L及它內部的格點數N之間的數量關系，對如何幫助學生理解數學，凸顯數學的實驗味有如下理解：通過實驗操作，獲得感性經驗；驗證實驗結果，培養推理能力；表述實驗結論，提升數學理解；獲得實驗感悟，實現課堂價值.

關鍵詞：數學實驗；感性經驗；推理能力；數學理解；課堂價值

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”[1]所謂數學實驗是指為研究與獲得某種數學理論、驗證某種數學猜想、解決某種數學問題，運用一定的物質手段，在特定的實驗條件下進行的一種數學探索活動. 與物理、化學實驗相比，思維量大是數學實驗的顯著特征.數學實驗教學就是恰當運用數學實驗，通過實踐操作、探索交流，從而發現規律、提出猜想、驗證猜想的數學活動.

2016年5月蘇州市初中數學實驗教學研討活動在蘇州市工業園區星海實驗中學開展，筆者觀摩了研究課《數格點 算面積》，這是蘇科版八年級下冊安排的實驗15 ，本節課主要探究格點多邊形的面積S與多邊形邊上的格點數L及它內部的格點數N之間的數量關系，通過畫圖、列表、分析數據、尋找規律，發現皮克定理.結合《數格點 算面積》的課堂教學，對如何幫助學生理解數學，體現數學的實驗味有以下的一些感悟.

一、通過實驗操作 獲得感性經驗

數學實驗是通過動手動腦“做”數學的一種學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以學生人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動[2].感性經驗是通過感覺器官對客觀事物現象及外部聯系的認識經驗，數學實驗以“做”為支架，通過實際操作獲得親身體驗，積累感性經驗.

（一）巧設問題情境 說明實驗操作的必要性

問題情境是常用的營造良好課堂氛圍的有效手段，教學中以學生已有的生活經驗為基礎創設問題情境，準確獲取數學信息，借助實驗操作解決問題，以此提高學生對知識探索的欲望，培養學生用數學思想解決問題的能力.

本課設計的問題情境：兄弟分地.

如圖1，哥哥說：“我的地一圈只有15棵樹，而弟弟的地一圈有17棵樹，弟弟的面積大！”弟弟說：“我的地里只有16棵樹，而哥哥的地里有17棵樹，哥哥的面積大！”到底誰的話有道理？

分析：在這個問題情境中，分出來的兩塊地就是兩個格點多邊形，地的面積即格點多邊形的面積S，圈上的樹即多邊形邊上的格點數L，地里的樹即多邊形內部的格點數N.學生要判斷兄弟倆所說的話正確與否，就需要探究S、L、N之間的關系，需要通過實驗操作來驗證.

（二）開展系列探究活動 循序漸進獲得感性經驗

在平時的學習中，學生習慣研究兩個變量之間的關系，現在要探究S、L、N三個變量之間的關系，對學生是一種新體驗，為此設計了四個探究活動.

活動一：探究當格點多邊形內部的格點數N=0時，格點多邊形的面積S與邊上的格點數L之間的數量關系.

如圖2，①②③都是N=0的格點多邊形，課堂上師生合作探究，通過畫圖、列表、分析數據，發現當N=0時，S =L-1.

活動二：探究當格點多邊形內部的格點數N=1時，格點多邊形的面積S與邊上的格點數L之間的數量關系.

活動三：探究當格點多邊形內部的格點數N=2時，格點多邊形的面積S與邊上的格點數L之間的數量關系.

活動四：探究當格點多邊形內部的格點數N=3時，格點多邊形的面積S與邊上的格點數L之間的數量關系.

分析：設計系列探究活動，讓學生充分體驗“控制變量法”的運用，學生通過動手操作、觀察類比、分析歸納、猜想、合作交流，經歷從特殊到一般的過程，循序漸進地獲得了感性經驗. “控制變量法”是解決多變量問題的一種思維方法，采用“控制變量法”探究問題，分析實驗數據時，要分清哪些因素是自變量，哪些因素是因變量，注意兩個變量之間的因果關系.

二、驗證實驗結果 培養推理能力

（一）直接觀察

（二）描點連線

因為當N=0時，N是確定的，變量只有S與L，兩個變量可以聯系我們學過的函數圖象來研究，將有序實數對（L，S）作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出，發現所描的點都在一直線上，由此猜想S是L的一次函數.

（三）計算驗證

三、表述實驗結論 提升數學理解

數學實驗探究的最終任務，除了對探究過程中所收集的數據進行分析和處理，從而得出某些規律、找到某種關系外，準確表述實驗結論，是實驗探究的一個重要環節.

數學理解是對于具體數學問題的解決而言，包括明白問題的條件與結論，弄清由條件到結論每一步驟的依據，領悟體現步驟與過程的思想方法，用獲得的結論或方法解決其他問題，并作變通與推廣. 數學是文字兼數字與符號的結構體系，提高對數學語言的理解可以培養對“數與符號”的理解，在數學試驗中，強調用語言表述實驗結論，可以提高學生的概括能力，最終提升學生的數學理解.

四、獲得實驗感悟 實現課堂價值

《數格點 算面積》這節課學生通過特定的數學實驗，直觀地了解“皮克定理”，最后師生利用“皮克定理”解決情境引入中兄弟分地的問題，從而加深“皮克定理”的應用背景，化枯燥為有趣，增加了學生學習數學的興趣，也為本節數學實驗課畫上完美句號.觀摩這節數學實驗課，有太多的實驗感悟，雖然課堂上教師沒有時間讓學生傾訴，但如何借助數學實驗課實現課堂價值留給我們諸多的思考.

（一）育人價值——學生知情和諧發展

借助數學實驗，教師有目的有計劃地引導學生主動地進行認識活動，循序漸進地掌握數學基本知識和基本技能，促進學生知情和諧發展：實驗過程中，學生會遇到挫折和失敗，可以培養學生克服困難的信心；用小組合作的方式進行實驗，可以培養學生團隊合作精神和人際交往能力；通過數學實驗，學生親身體驗數學、理解數學，可以使學生由接受性學習轉變為探索性學習，增強學生學習數學的主動性.

（二）教學價值——教學過程完整體現

教學過程是一種特殊的認知過程，是學生學習知識和修養道德的統一過程. 數學實驗課教學，學生在教師的引導下，從問題情境出發，設計合理的實驗步驟，通過一系列探索性研究，發現數學規律，提出猜想并進行證明或驗證，最后運用獲得的結論解決數學問題，正是數學教學過程的完整體現.

（三）課程價值——課程資源深度挖掘

《基礎教育課程改革綱要》指出：要重視教學在課程資源的開發與利用中的積極作用. 數學課程資源是指依據數學課程標準所開發的各種教學材料以及數學課程可以利用的各種教學資源、工具和場所，因此數學實驗在課程資源的開發利用過程中起著不可忽視的作用.數學實驗教學中，運用有關工具，在特定的實驗條件下進行數學活動，通過探究活動發現數據的變化、探索數學規律、進行推理驗證、解決數學問題，就是對課程資源進行選擇、組合、加工，是課程資源的深度挖掘.

（四）師培價值——教師水平有效提升

數學實驗教學加大了教學目標的范圍與深度，是新課程改革的體現.數學實驗教學讓教師重新審視傳統的教育教學模式，積極探索各種有效的教學補充形式，使教學水平和教學效果不斷提升.（1）提升教師教學理念，關注學生數學核心素養的培養.通過數學實驗教學的研究，使教師意識到培養學生數學核心素養比培養成績更重要，由以往關注學生解題能力升華為培養學生綜合能力.（2）改善教師教學方法，重視學生的感受和體驗.通過數學實驗教學，教師更加尊重學生的個體差異，根據學生的認知特點和經驗基礎，探索初中數學實驗課教學模式，學會展示知識發生發展的過程，有助于形成開放性和自主性的數學教學方式.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

[2]董林偉.數學實驗：促進初中生數學學習的一種有效方式[J].中國數學教育，2012（9）：2.

[3]王曉靜.讓“數學猜想”貫穿數學學習的生命線[J].數學學習與研究，2012（5）：70.