導數解決多元問題的幾種策略

趙思林 李世和

摘 要：導數是非常重要的數學工具，能夠解決很多一元問題，也能處理一些多元問題.用導數解決多元問題的常用策略和方法有消元策略、主元策略、換元策略、逐次求導策略、運用琴生不等式策略等.

關鍵詞：導數；多元問題；策略

筆者曾向一所國家級示范中學高三實驗班的學生提了一個問題：用導數能解決多元問題嗎？大多數學生認為不能.分析其原因，可能有三：一是這些學生沒有用導數解決多元問題的“經驗”；二是很多學生誤認為“導數只能解決一元問題”，這顯然是受到了思維定式的消極影響；三是學生缺乏解決多元問題的策略性知識.事實上，導數是非常重要的數學工具.導數能夠解決很多一元問題，也能處理一些多元問題，比如證明多元不等式、求多元函數的最值等.用導數解決多元問題，既需要以數學思想方法為指導，更需要良好思維策略的靈活運用.

用導數解決多元問題的基本程式是：（1）將多元問題轉化為一元問題；（2）構造一元函數；（3）用導數研究函數性態（包括單調性、極值、最值、凹凸性等）；（4）解決原問題.用導數方法解決多元問題具有思路清晰、易于掌握、簡潔明快等特點.下面介紹用導數解決多元問題的一些常用策略和方法，如消元策略、主元策略、換元策略、逐次求導策略、運用琴生不等式策略等.

一、消元策略