調參隨機共振在超高頻微弱信號檢測中的應用

郝靜　杜太行　江春冬　孫曙光　付超

摘要：

針對經典隨機共振（SR）理論只適用于小參數，在提取高頻微弱信號失效而無法使用的問題，提出一種調參隨機共振檢測高頻率微弱信號的方法。首先，推導出雙穩系統中阻尼系數與信號頻率的關系，并以Kramers逃逸速率為分析手段，討論阻尼系數變化對系統發生隨機共振的影響；然后，分析了系統形狀參數對系統產生隨機共振現象的影響，通過聯合調整阻尼系數和系統參數實現了大頻率微弱信號的檢測，并討論了不同采樣頻率與調參系統輸出頻譜特性的影響，驗證了該方法在低采樣率下仍具有較強的穩定性；最后，以通用軟件無線電設備（USRP）接收的無線電帶噪信號作為系統的輸入進行仿真。實驗結果表明，利用該調參隨機共振策略能夠穩定有效地檢測出強噪聲背景下的超高頻微弱信號，信號頻率可達到MHz、GHz，拓展了隨機共振原理的微弱信號檢測的應用領域。

關鍵詞：

隨機共振；吸引子曲線；微弱信號檢測；參數調節；Kramers逃逸速率

中圖分類號：

TN911.7

文獻標志碼：A

Abstract：

Aiming at the problem that common nonlinear Stochastic Resonance （SR） system is subject to the restriction of small parameter and is failure to detect the high frequency weak signal， a new detection method of parametertuning SR for weak signal with high frequency was proposed. Firstly， the relationship between the damping coefficient and the signal frequency was derived in a bistable system， and by using Kramers rate for analysis， the influence of changing damping coefficient on the SR of the system was verified. Then， the influence of SR phenomenon produced by system shape parameters was deduced， the SR of high frequency weak signal was realized through adjusting the damping coefficient and the system shape parameters， and the effect of output spectrum characteristics of the system and different sampling frequency was discussed， the stability of the algorithm was verified by the results. Finally， using the received actual signals with noise as experimental research data， the experimental results show that ultrahigh frequency weak signal under strong noise background can be extracted effectively and steadily using the strategy even when the signal frequency reaches MHz and GHz. The proposed method extends the application field of SR principle of weak signal detection.

英文關鍵詞Key words：

Stochastic Resonance （SR）； attractor curve； weak signal detection； parametertuning； Kramers rate

0引言

隨著通信技術的發展，無線電電磁環境日益擁擠與復雜，無線電頻率資源檢測和管理工作變得尤為重要。由于無線電信號的特點，從強噪聲背景中提取有用信號成為無線電檢測領域重要的研究范疇[1]。

微弱信號檢測的常規方法有時域相關法、窄帶濾波、取樣積分、相關檢測、三重相關匹配和頻域的譜分析方法等。這些方法主要通過去除和抑制噪聲來實現信號檢測，但在去除噪聲的同時對信號本身也造成了損失[2-4]。

隨機共振（Stochastic Resonance， SR）最早是在1981年由意大利的Benzi等 [5]在研究古氣象冰川問題時提出的，該方法將噪聲轉廢為寶，由消噪變為用噪，使得系統中的微弱信號在噪聲的“助推”作用下能量得到增強。方法一經提出，便引起了國內外學者們的興趣，其在信號處理方面的應用成果很多[6-9]，但隨機共振的研究成果大多源于隨機共振的絕熱近

似理論[10]或線性響應理論[11]，這就使得該方法只能處理小參數信號，即信號的幅度、頻率以及噪聲的強度遠遠小于1。

在工程的應用中，大參數信號的處理有著現實且重要的意義，針對經典隨機共振理論對大參數信號失效而無法使用的問題，對于大參數隨機共振的研究引起了學者的重視。文獻[12]通過采用粒子群算法的自適應步長隨機共振突破經典隨機共振對小參數的限制，但如何對系統形狀參數和計算步長進行自適應全局優化，仍是一個難題。文獻[13-14]采用二次采樣的方法來檢測高頻信號，但采樣頻率不能嚴格大于信號頻率的50倍，則二次采樣隨機共振就有可能失效。文獻[15]提出了移頻變尺度隨機共振技術，可以將有用大參數信號從強噪聲背景中分離出來，但當信號的信噪比低于-30dB時，該方法將不能識別強噪聲中的有用特征信息，而在實際對無線電進行檢測時，無線電信號的頻帶相當寬，采樣選取過大，對硬件的要求較高，而且信噪比低于-30dB的信號也極為常見，這就限制了隨機共振方法在高頻無線電微弱信號檢測中的應用，如何將隨機共振方法應用于無線電號檢測領域是一個意義重大的研究課題。

文獻[16]從一個全新的角度來研究隨機共振現象發生的內在機理，以隨機共振系統非線性動力學行為為切入點，基于吸引子曲線研究了系統中各個參數對系統輸出的影響，為基于吸引子曲線的“調參數”隨機共振研究提供了分析基礎，對中高頻的微弱信號檢測提供了新的途徑和依據。

基于此，本文提出了一種檢測高頻率微弱信號的調參隨機共振方法，并提出以Kramers逃逸速率為分析手段，將基于吸引子曲線的隨機共振與經典隨機共振契合，完善了系統參數變化對隨機共振影響的結論，最后將該方法應用到超高頻無線電微弱信號檢測領域。

1基于吸引子曲線的隨機共振系統

取激勵信號A sin（2πf0t）得到的一階非線性Duffing方程為：

k=ax-bx3+A sin（2πf0t）（1）

其中：k為阻尼系數；a、b為非線性雙穩態系統的形狀參數，且均大于零。

假定激勵信號周期足夠長，可得到系統隨激勵變化的吸引子曲線，如圖1所示。

對圖1中的特征點進行定義，B、E點的縱坐標值對應于隨機共振系統中的躍遷閾值，用σyq表示；點A處的斜率用KA表示；A和A′兩點的距離為動點躍遷寬度，用lyq表示。由吸引子曲線方程可知：

σyq=4a327b

KA=2a

lyq=2a/b （2）

基于吸引子曲線的隨機共振理論分析發現：在無噪的情況下，當激勵值大于躍遷閾值時，系統的自身狀態將在雙穩態和單穩態之間突變；在有噪的情況下，即使激勵值小于躍遷閾值，系統的狀態也會發生突變。換言之，系統會發生“躍遷”，出現隨機共振的現象，同時，這種“躍遷”也就預示著對輸入信號進行了非線性的放大處理。該理論在文獻[16]中已經詳細論述，本文限于篇幅不再贅述。

2基于吸引子曲線的超高頻隨機共振調參

若要使系統發生隨機共振，信號、噪聲和非線性系統需要實現較優的匹配。在實際檢測中，信號和噪聲一旦確定，不容改變，只能通過改變吸引子曲線的形態使系統更好地發生躍遷，凸顯出信號特征，而吸引子曲線的特征是由系統參數a、b所決定。因此發生隨機共振，達到最優輸出信噪比的核心是系統參數的合理匹配。

本章提出通過調整阻尼系數k，實現對超高頻信號的檢測，并且以Kramers逃逸速率為分析手段，深入研究阻尼系數的變化對系統隨機共振的影響，然后通過調整系數a、b，使超高頻信號、噪聲和非線性系統實現最優的匹配。此外在實際應用中，采樣率的選取是至關重要的環節，因此本章最后分析了不同采樣率下調參隨機共振的特性。

2.1調節阻尼參數

在式（1）所示的Duffing系統方程中加入加性噪聲，本文以白噪聲為例，得到隨機共振系統的方程為：

k=ax-bx3+A sin（2πf0t）+n（t）（3）

其中：n（t）是噪聲強度為D的高斯白噪聲，其均值E[n（t）]=0，E[n（t）n（t-τ）]=2Dσ（τ）。

令t=λτ，即x（t）=x（λτ），則：

dτdt=1λ（4）

又令x（t）=z（τ），則：

（t）=dx（t）dt=dz（τ）dt=dz（τ）dτdτdt=1λdz（τ）dτ=1λ（τ）（5）

將式（3）中含t的項均以τ來表示，得：

k′dz（τ）dτ=a·z（τ）-b·z（τ）3+A sin（2πλf0τ）+n（λτ）； k′=k/λ（6）

不難理解，將頻率為f0的低頻信號輸入到式（3）所表示的系統，另有一同幅值、頻率為λf0的高頻信號，若想要獲得與頻率為f0信號相同幅值的輸出，則需要將阻尼系數變為原來的1/λ倍。式（6）其他參數保持不變，僅僅改變了頻率、時間尺度和阻尼系數，作為白噪聲，在頻域的整個頻率范圍上均為一個恒定的分量，頻域上任意的壓縮或者拉伸都不能改變噪聲的強度，因此n（λτ）仍是均值為0、強度為D的白噪聲。

因此，可以根據待檢信號的頻率選取合適的阻尼系數匹配，若檢測的信號頻率較大時，則需要匹配較小的阻尼系數；反之，則應將阻尼系數相應地增大，并滿足如表1所示的關系。

2.2調節系統形狀參數

系統形狀參數a、b共同決定了系統吸引子曲線的形態，曲線屬性將聯合決定隨機共振系統輸出的性質。

1）適當地減少躍遷閾值，較小的輸入信號幅值也可能發生躍遷，實現共振。

2）改變躍遷寬度，較小幅值的輸入信號可能獲得較大的躍遷輸出。

3）根據映射關系，斜率過大即使增大系統輸入信號的幅值，其輸出增量也不明顯，即所謂的“輸出飽和”現象；反之，則為“輸出釋放”。

由式（2）出發，以固定b單獨調整a為例分析：增大a，躍遷閾值和躍遷寬度同時增加，但躍遷寬度是以發生躍遷為前提，躍遷閾值的增大不易于系統發生躍遷，這是一對矛盾體，同時增大a會導致斜率的增大，將直接加大發生“輸出飽和”，加劇輸出畸形的風險；反之，減小a，雖然減小了躍遷閾值，易

于系統發生躍遷，但躍遷寬度也隨之減小，同時斜率的減小會使“輸出釋放”的現象得到增強，產生偽隨機共振的現象。故而不能單純地調整某一系數，應該合理統籌躍遷閾值和躍遷寬度的大小，同時調整參數a和b才能實現隨機共振。

本文采用固定躍遷寬度，調整躍遷閾值實現隨機共振。設保持躍遷寬度為常數c，即：

lyq=2a/b≡c （常數）（14）

將式（14）代入式（2）中的躍遷閾值σyq可得：

σyq=bc3123（15）

由躍遷寬度的表達式不難看出，固定躍遷寬度，即系數a、b同比例變化，在此前提下，系數b降低，躍遷閾值亦減小。

下面通過一組參數，進行系統仿真來加以說明。

以條件（16）為基準的待測信號，由圖5可知，較優的躍遷閾值大致在[0.15，0.3]范圍內。當躍遷閾值較大時，系統未能發生隨機共振，逐漸減小閾值，能夠使系統逐步過渡到穩定躍遷狀態；隨著躍遷閾值的繼續減小，輸入信號中部分干擾信號參與導致隨機躍遷，影響系統輸出的周期性，故同頻信號的幅值有所減小，但它仍然以與檢測信號同頻為主；進一步減小閾值，參數a非常小，導致斜率無限小，勢必觸發輸出釋放現象，影響信號檢測的準確性。因此，系統發生隨機共振需要滿足待測有用微弱信號的幅值A與躍遷閾值σyq相比不能相差太大，否則盡管在噪聲的助推下仍然不能產生穩定的躍遷。

2.3信號頻率與采樣率比值對系統輸出特性的影響

以A=0.05，信號頻率為f0=100Hz，噪聲強度D=2.5，lyq=1，σyq=0.06為參數，令采樣頻率與信號頻率的比值為Q=fs/f0，固定信號f0，調整Q值相當于取不同的采樣頻率。選取Q的取值范圍為[4，500]，其步長變化ΔQ為4，根據2.1～2.2節，確定系統的最優阻尼系數為0.0015，形狀參數a=0.31，b=1.22，對式（6）進行數值計算，得到不同Q值（或不同采樣頻率）時在同參數條件下輸出頻譜頻率f=f0處的譜峰值Am，為了更加充分體現調參方法的穩定性，將待測信號特征和系統參數條件保持不變，利用二次采樣對信號進行檢測，兩種方法的檢測結果如圖6所示。

從圖6可看出，隨著采樣率與信號頻率【比值Q的增大（采樣率增大），當Q取值較大時，兩種方法在與信號同頻處的幅值變化均較為穩定，伴隨Q值的逐漸增大，頻譜值有了較為明顯的提高，且在某些離散頻率點處出現較大值，但Q取值范圍為[4，80]時，二次采樣方法出現了快速的動蕩。

從圖6可看出，當Q取值較大（即信號采樣率較大）時，兩種方法在與信號同頻處幅值的變化較為穩定，同時隨著Q值的逐漸增大，頻譜值有了較為明顯的提高，且在某些離散頻率點處出現最大值，但當Q取值范圍為[4，80]時，二次采樣方法出現了快速的動蕩。

為了更好地反映出待測信號在輸出頻譜圖上的可辨識度，將信號同頻譜值Am與除去Am后其余譜值中最大的譜值A′m 作比較，定義辨識度R = Am /A′m ，顯然比值R越大，則信號的辨識度越高。更加直觀一點，規定當 R>1.1時，代表信號可辨識，用1表示，反之-1為信號不可辨識。兩種方法的檢測結果如圖7所示。

由圖7能夠更加直觀地得出，當Q取值較小時，利用二次采樣方法特征信號的可識別性會隨Q的變化而起伏波動，

相對于調參方法識別的穩定性較弱。因此，利用2.1～2.2節調參隨機共振的方法，選取較低的采樣率也能實現高頻信號的檢測，這對實際工程中的檢測有很大的意義，檢測時可根據待測信號的估值，選擇合適的采樣率，但若條件允許，盡量選取較大的采樣頻率，以便獲取增大系統輸出的頻譜峰值，提高信號的可辨識度。

3調參隨機共振在高頻信號檢測中的應用

3.1調參高頻無線電微弱信號檢測策略

在2.1～2.2節里已經分析了阻尼系數隨待檢信號頻率變化的尺度變換方法，在對大參數微弱信號進行檢測時，可選擇較小的阻尼系數來將有用信號“保存”下來；同時，系統形狀參數對系統發生最優隨機共振發揮了舉足輕重的作用。因此，在對高頻、超高頻微弱信號檢測時，通過聯合調整阻尼系數和系統形狀參數來實現隨機共振。

在實際檢測中，不知待測信號的頻率，信號經雙穩非線性系統后，輸出發生畸形，從輸出的時域圖中亦不能直觀得出信號的周期性，且不排除發生一次偶然躍遷的可能，故僅通過一組系統參數所得的輸出信號頻譜圖中的檢測信息，并不能保證待測信號頻率的準確性。因此，本文摒棄了對可調參數單一取值的慣例，衍變成在某一范圍內依次間隔取值，通過在阻尼取值范圍內，對選取的阻尼系數通過均勻間隔在躍遷閾值區間調整閾值大小，若連續檢測出最大幅值出現在同一頻率處，則認定此為待測微弱信號的頻率。

結合待檢無線電微弱信號頻率高、信噪比低的特性，總結出檢測超高頻無線電微弱信號的檢測策略：

1）估計待測微弱信號頻率的大概范圍，根據2.1節的阻尼調整策略，確定最優阻尼系數，依據此最優系數設定阻尼系數k的調整范圍。

2）根據2.2節選取躍遷閾值范圍，依據取值間隔，在阻尼系數范圍內順序依次取值，固定此次選取的阻尼系數值，在躍遷閾值范圍內，順序取一個躍遷閾值，由式（14）～（15）適當調整確定系統形狀參數a和b。

3）由確定的系統參數構建雙穩非線性隨機共振系統，代入式（6）采用四階RungeKutta算法進行數值計算。

4）觀察輸出信號是否發生躍遷，若發生躍遷，則將輸出信號頻譜圖中最大幅值對應的頻率值進行記錄；否則，繼續在閾值范圍取值，直至在整個設定閾值范圍內取值完畢。

5）若在整個躍遷閾值范圍內取值完畢，則跳轉2），固定新的阻尼系數，重復步驟3）、4）。

6）整理躍遷結果記錄表，判斷待測微弱信號的頻率。

3.2超高頻無線電微弱信號檢測實例

通用軟件無線電外設 （Universal Software Radio Peripheral， USRP）將PC連接到了RF世界，能夠完成無線電信號的發射和接收、數模和模數轉化、信號的上下變頻等功能。本文采用USRP B200，包括一個發射通道和接收通道，其能覆蓋70MHz～6GHz的頻帶范圍。

用信號發生器發射一個未經調制的正弦信號，在接收和傳輸過程中信號受到噪聲的污染，故USRP B200接收到一含噪信號sn（t）=Asin（2πf0t）+n（t），其中周期信號幅值A=0.05，信號頻率為f0=400MHz，采樣頻率為50f0，n（t）是強度為3的高斯白噪聲。輸入信噪比SNR =-36.8dB（文中信噪比的定義為SNR=10 lgA24D）。將接收到的采樣數據保存，基于Matlab 2012a軟件環境進行處理，該輸入信號和頻譜圖如圖8所示。由圖8可以看出，周期信號特別微弱，完全淹沒在噪聲中。

若要檢測微弱無線電信號，首先估計待測微弱信號的頻率，確定信號頻率f′0 =0.1Hz時，最優的阻尼系數k′0=0.96，根據2.1節的阻尼調整策略，確定待測微弱信號最優阻尼系數k0 = k′0×（f′0/f0 ）=2.4×10-10，以阻尼系數k0和躍遷閾值σyq=0.05為例，固定躍遷寬度lyq=4，由式（2）計算出：a=0.07，b=0.0175，仿真得到系統輸出的信號時頻域圖，如圖9所示。

從圖9頻譜圖中可知，在400MHz處有明顯的峰值，但從輸出時域圖中卻不能直觀看出信號的周期性，因此，不能盲目判斷信號的頻率，需要進一步分析。

按照3.1節中高頻無線電微弱信號檢測策略，選取阻尼值范圍[1.8×10-10，3.2×10-10]，間隔選擇0.2×10-10，調節躍遷閾值范圍[0.001，0.2]，以間隔0.002的方法觀察輸出是否發生持續穩定躍遷，即連續檢測出最大幅值出現在同一頻率處。同樣以阻尼系數為2.4×10-10，固定躍遷寬度lyq=4為例，選取其中幾組系統輸出信號時域頻域圖，如圖10～15所示。

由這一組圖可看出，固定阻尼系數不變，隨著躍遷閾值的增大，系統發生了“未發生躍遷—發生躍遷—未發生躍遷”現象，當躍遷閾值較小時，噪聲影響了系統輸出的周期性，系統未發生躍遷，如圖10所示；圖11為發生的一次偶然躍遷；閾值逐漸增大，輸入信號中的周期信號在噪聲的助推下成為主導，系統逐步過渡到穩定躍遷狀態，如圖12～14所示，同時從時域圖中，可看出躍遷寬度始終保持不變；隨著躍遷閾值的繼續增大，輸入信號的幅值與躍遷閾值相差太多，系統未能發生躍遷，如圖15所示。

將對應系統的躍遷過程穩定狀態以及輸出信號頻率記錄下來，得到仿真檢測結果如表2所示。

該檢測結果表明：當選取較小的阻尼值時，噪聲誘發的隨機躍遷占據了主導因素，使得有效信號的推送作用不夠明顯，在選定的躍遷閾值調整區間內未能觀察到有效的穩定躍遷輸出過程，即檢測到的最大幅值沒有連續出現在同一頻率上；隨著阻尼逐漸增大，噪聲的干擾作用有所削弱，有效信號的推送

作用逐漸顯現，故有一段較為連續和有效的穩定躍遷過程，且都一致地以同頻有效信號表現出來；然而隨著阻尼繼續增大，原信號被濾波的同時，其中的待測信號也有所削弱，導致穩定躍遷過程很短，不能連續出現躍遷。通過分析，最終可以確定待檢微弱信號的頻率為400MHz。

4結語

從強噪聲背景中檢測微弱無線電信號，一直是無線電監測中亟待解決的難題，而利用隨機共振算法檢測無線電微弱信號是一個新興的研究方向。本文以 Duffing方程吸引子曲線的理論為分析基礎，分析阻尼系數與系統形狀參數對大參數周期信號產生隨機共振現象的影響，提出了一種基于吸引子曲線的調參隨機共振檢測大頻率微弱信號的檢測方法，并將此調參方法應用到超高頻無線電微弱信號的檢測領域中，結合超高頻無線電微弱信號的特征，有針對性地總結出檢測此類信號的調參策略。此外，本文還分析了不同采樣頻率下調參隨機共振系統輸出的頻譜特性，驗證了本文提出的調參方法在低采樣率的情況下仍具有較強的穩定性，為今后調參隨機共振在實際工程檢測中的應用提供了依據。如何將該調參方法推廣應用于多頻無線電信號檢測是下一步研究的方向。

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