環上SS-元素的性質及其應用

李小光

(西安航空學院 黨政辦公室，陜西 西安 710077)

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環上SS-元素的性質及其應用

李小光

(西安航空學院 黨政辦公室，陜西 西安 710077)

介紹環上的SS-元素，并研究環上SS-元素的特征。運用SS-元素研究群的代數類，得到環上SS-元素的一系列性質，并給出了一些相應地例題。

SS-元素；SS-環；群代數

0　引言

在文獻[1]中，W.B.V.K.[1]首先提出了SS-元素的定義：若環中的元素滿足a2=a+a，則這些元素被稱為環的SS-元素。在具有單位元的環中，我們總可以找到2個SS-元素，一個是環的加法單位元0，另一個是環的平凡SS-元素2,(2=1+1)；環上除了加法單位元0和平凡SS-元素2之外的SS-元素稱為非平凡SS-元素；至少包含一個非平凡SS-元素的環稱為SS-環。SS-環中包含零因子和非零因子。文獻[2]中證明了，若環中元素是非平凡SS-元素，則該元素一定滿足a2≠a，因此，環的冪等元素不可能是非平凡SS-元素，布爾代數被稱為環或布爾環，但一定不是SS-環。

1　一些實例

在該運算法則下是一個群代數。

表1　運算法則1

表2　運算法則2

=q1q11+q1q21i+q1q31j+q1q41k+q2q11i+

q2q21i2+q1q31ij+q2q41ik+q3q11j+q3q21

ji+q3q31j2+q3q41jk+q4q11k+q4q21ki+

q4q31kj+q4q41k2

環Q中非平凡的SS-元素是1+i，1+j，1+k，i+j，i+k，j+k，1+i+j+k，因此Q也是SS-環。

2　SS-元素與非平凡SS-元素

定理1設R是環，a是R中的非零元，則a是SS-元素的充分且必要條件是

(1)a2≠a；

證明：充分性：假設a是環R的非平凡SS-元素，a2=a，a+a=a，

定理2設R是環，則下列的結論成立：

證明：顯然，環R中“*”和“。”運算的單位元分別是1和0。

從而，我們可知，環R的非平凡SS-元素，當且僅當該元素存在其擬逆元。

=a2-a2ra-ara2+ara2ra

=a+a-ara-ara-ara-ara+ara+ara

=a+a-ara-ara

a+a=a2+b2，b+b=ab+ab，a=1

3　SS-元素的性質

4　結論

綜上，我們可以構造一個環上的SS-元素來計算零元素的非零因子的個數，并得到了其相關性質，今后將在本文的基礎上繼續研究SS-元素的商結構。

[1] Swamy W B V K.On SS-rings[J].Math.India,1998,60(1):13-23.

[2] Rao A K S C S.A Note on SS-rings[J].Math.India,2000,9(2):48-53.

[3] Lambek J.Lectures on Rings and Modules[M].India:Blasdellpublish,1966.

[4] Bakhshi M,Borzooei R A.Lattice Structures on Fuzzy Congruence Relations of A Hypergrouoid[J].Information Science,2007,177(16):3305-3313.

[5] Borzooei R A,Zahedi M M.Fuzzy Positive Implicative Hyper K-ideals[J].Pure and Appl.Math,2003,14(5):9-22.

[6] 吳忘名.Fuzzy蘊含代數[J].模糊系統與數學，1990,4(1)：56-63.

[7] 王國俊.非經典數理邏輯與近似推理[M].北京:科學出版社,2000.

[8] 謝云鵬.基于包含度的模糊不定性度量[D].西北大學,2008.

[9] 姚炳學.群和環上的模糊理論[M].北京:科學出版社,2007:84-88.

[責任編輯、校對：周千]

The Properties and Applications of SS-Elements in the Ring

LIXiao-guang

(Party and Government Office,Xi'an Aeronautical University,Xi'an 710077,China)

The definition of SS-elements of a ring is introduced,and its properties are studied.A class of group algebras is studied on the basis of SS-elements to produce a series of properties of SS-elements,and some corresponding examples are presented.

SS-elements;SS-ring;group algebra

2016-06-24

李小光(1973-)，女，遼寧鐵嶺人，副教授，從事代數學及信息論方面的研究。

O153.1

A

1008-9233(2016)05-0072-03