電力市場中Bertrand模型的復雜性分析

王國棟，卓春英

(重慶水利電力職業技術學院 基礎教學部，重慶 402160)

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電力市場中Bertrand模型的復雜性分析

王國棟，卓春英

(重慶水利電力職業技術學院 基礎教學部，重慶 402160)

為了模擬電力市場中發電商采取不同策略的博弈行為,在考慮輸電網約束條件下將動態Bertrand博弈模型引入電力市場，建立有限理性條件下的投資模型,并運用有限理性法和不完全信息法實現了投資模型由靜態到動態的轉化過程，求解了動態模型的價格均衡，并分析了均衡點的穩定狀態，給出其經濟解釋。

電力市場；Bertrand模型；有限理性法；不完全信息法

0　引言

發電商、用戶以及龐大的輸電網組成了十分復雜的電力市場,追求自身利益最大化是各市場成員的唯一目標,最大利潤點也是其運動方向.在市場供需關系和電價的調控下,發電商不斷調整自己的發電量,用戶不斷改變自己的用電量,最終實現電力系統資源的優化配置[1]。電力市場的動態演化,即發電量、用電量與電價等隨時間演化的行為包含了市場中的各種信息，分析并掌握電力市場的動態行為，有助于市場管理者制定有效的市場規則來合理運營電力市場,也有助于市場參與者制定有效的交易計劃來獲得最大的經濟利潤[2-3]。楊洪明[4]等在考慮輸電網約束下對有限理性古諾博弈的動態演化進行了分析,傳統的Cournot模型參與博弈的雙方是以產量作為決策，而Bertrand模型參與博弈的雙方是以價格為決策變量，會導致每個企業的定價采用完全競爭情況下的價格，即所謂的邊際成本定價法。近年來，有限理性法與Puu的不完全信息法也被用來研究企業處于壟斷市場的分析，有限理性的企業是基于離散時間和邊際利潤的局部估計來實現其生產策略。而Puu的不完全信息法[5]最大的特點是現實性，在預測一個企業的產量時不需要知道利潤函數在當前時間步驟的具體形式，而只需要知道利潤和價格在過去兩個時間步驟的數值。現階段對Bertrand模型的研究較多，大多集中在靜態模型到動態模型的轉化以及模型均衡點的求解，姚洪興[6]等在動態Bertrand模型的復雜性現象與混沌控制一文中對模型進行了混沌控制，但只考慮到需求函數與成本函數為線性的，考慮到電力市場的復雜性，本文將成本函數定義為非線性，對模型實現由靜態到動態的轉化，并且對模型的均衡點進行分析。

1　模型的建立與分析

假設市場由兩個區域市場組成,記發電商為A,B，他們通過一條輸電線路連接,線路的最大傳輸功率為k ,且滿足如下要求:

-2k≤q1-q2≤2k。

(2)當輸電線出現阻塞時,且線路上傳輸功率為k時,電價函數為:

當線路上傳輸功率為-k時,電價函數為:

(3)于是在考慮輸電網約束的情況下,電力市場的電價函數為:

(1)

和

(2)

2　動態Bertrand模型分析

(1)有限理性方法是使用基于局部評價調整機制的邊際利潤，描述動態調整機制的動力系統如下：

(3)

發電商A,B的利潤函數為：

因此，發電商A,B組成動力系統：

(4)

當a>e1,a>e2時(可以保證平衡發電量為正)，均衡點E1,E2被定義為壟斷平衡點。為了得到更多關于兩個壟斷點的信息，現進行如下分析與證明。

命題1如果a>e1,a>e2，則有(i)均衡點E0為排斥節點；(ii)壟斷點E1,E2是不穩定均衡點；(iii)E3在滿足一定條件下為局部漸進穩定點。

證明：基于標準的特征值分析，在點E0處的Jacobian矩陣為：

在E1處的Jacobian矩陣為：

特征值：

因為a>e1,a>e2，所以系統穩定的條件為：

進一步研究穩定點E3的穩定性，在E3處的Jacobian矩陣為：

由非線性系統穩定條件可得到：

圖1　變量q1、q2隨k值變化的分岔圖

當系數k,a,d1,d2,e1,e2滿足上述條件①②時，系統處于穩定狀態，當系數k,a,d1,d2,e1,e2超出條件①②時，系統會進入混沌狀態，由于上述方程難于求解，下面將用軟件來模擬系統的發展過程。

當a=4,d1=d2=0,e1=e2=0.5,0

(2)采用Puu的不完全信息法來研究Bertrand模型[7-8]，此方法中發電商的發電量可以表達為;

(5)

(6)

證明：s0的證明同命題1，這里略去證明。為了討論均衡點s1的局部穩定性，給出它的Jacobian矩陣，如下：

3　結論

本文為了模擬電力市場中發電商采取不同策略的博弈行為,在考慮輸電網約束條件下將動態Bertrand博弈模型引入電力市場，由于電力市場的復雜性，考慮成本函數為非線性，并通過有限理性方法與Puu的不完全信息方法來描述這兩個模型，從而為發電商做出決策。在不完全信息下，發電商通過過去兩次的發電量來決定未來的發電量，而在其他方法中，未來的發電量取決于隨之增長的利潤方法。

[1] 湯振飛,唐國慶,于爾鏗,等.電力市場動態分析[J].中國電機工程學報,2001,21(12):88-92.

[2] 白利超,康重慶,夏清.不確定性電價分析[J].中國電機工程學報,2002,22(5):36-41.

[3] 白利超,康重慶,夏清.電力市場中發電商的風險決策[J].中國電機工程學報,2004,24(8):1-6.

[4] 楊洪明,賴明勇.考慮輸電網約束的電力市場有限理性博弈模型的動態演化研究[J].中國電機工程學報,2005,25(23)：71-79.

[5] Ahmed E.On Puu's Incomplete Information Formulation for the Standard and Multi-team Bertrand Game[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(5)：1180-1184.

[6] 姚洪興，王梅.動態Bertrand模型的復雜現象與混沌控制[J].陜西師范大學學報(自然科學版),2015，43(2)：24-27.

[7] Ahmed E,Elsadany A A,Puu T.On Bertrand Duopoly Game with Differentiated Goods[J].Applied Mathematics and Computation,2015,251(C):169-179.

[8] Wu F,Ma J H.Hyperchaotic Dynamic of Cournot-bertrand Duopply Game with Multi-Product and Chaos Control[J].Wseas Transactions on Mathematics,2014,13(1):152-160.

[責任編輯、校對：周千]

Complexity Analysis of Bertrand Model in the Electric Power Market

WANGGuo-dong,ZHUOChun-ying

(Department of Basic Courses,Chongqing Water Resources and Electric Engineering College,Chongqing 402160,China)

To simulate the game playing of different power suppliers in the electric power market,the paper introduces the dynamic Bertrand game model into the electric power market under the constraint conditions of the power transmission grid,establishes the investment model under the bounded rationality,realizes the static-to-dynamic transition process of the investment model through the bounded rationality method and incomplete information method,finds solution to the price equilibrium of the dynamic model,analyzes the stability status of the equilibrium point,and presents the economic explanation.

electric power market;Bertrand model;bounded rationality;incomplete information

2016-09-01

王國棟(1981-)，男，副教授，主要從事非線性系統復雜性分析研究。

O211;F224.9 ;F270

A

1008-9233(2016)05-0078-04