基于私有云和改進粒子群算法的約束優化求解

張永強，徐　宗昌，呼凱凱，胡春陽

（1.裝甲兵工程學院技術保障工程系，北京 100072；2.海軍航空兵學院，遼寧　葫蘆島 125000）

基于私有云和改進粒子群算法的約束優化求解

張永強1，2，徐宗昌1，呼凱凱1，胡春陽1

（1.裝甲兵工程學院技術保障工程系，北京 100072；2.海軍航空兵學院，遼寧葫蘆島 125000）

為提高約束優化模型的求解準確度和運算速度，針對粒子群算法及其計算方法進行了改進。引入多樣化機制避免算法陷入局部最優的危險：創建多個子群將決策空間劃分為多個搜索子空間，多子群獨立搜索以保證群間解的多樣化；用量子粒子代替普通粒子，為其添加服從球狀分布的伴隨粒子來提高群內解的多樣化。多樣化的引入增加了計算量和計算復雜度，利用并行計算提高算法運行速度：分析了改進粒子群算法并行計算的方法，在私有云計算平臺上編寫了基于Map Reduce的并行求解流程。實驗結果表明，本文方法具有較高準確度，算法的穩定性也較好，運算速度可成倍提高。

約束優化；粒子群算法；私有云計算平臺；并行求解；多樣化

網址：www.sys-ele.com

0　引　言

在實際工程中，許多問題都可用式（1）所示的約束優化模型描述［1］：

式中，X 為決策向量，且滿足k≤xi≤l，i=1，2，…，n，其中k和l為常數；f（X）、g（X）與h（X）均為空間Rn上的n元函數，且f（X）為目標函數，g（X）為不等式約束函數，h（X）為等式約束函數；模型共包含s個等式約束函數和s′-s個不等式約束函數。

模型的求解要求在滿足函數約束與變量邊界的前提下，通過優化目標函數來確定出問題的決策變量值。然而，約束優化模型的數學特征使得模型的求解非常困難。約束優化模型中的變量可以是離散值或連續值，約束條件可以是等式也可以是不等式，目標函數與約束函數可能是線性或非線性的，解變量空間可能是單峰或多峰的，搜索空間的可行域可能是單個連通區域也可能是多個非連通區域，模型的最優解可能在可行域的邊緣也可能在可行域的內部，另外變量多而導致的高維問題也增加了求解的復雜度與計算量［2］。

當前，通用的求解約束優化問題的方法由兩部分組成：優化算法與約束處理技術。可選的優化算法有粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）算法、遺傳算法、模擬退火算法等；而常用的約束處理技術有懲罰函數法與多目標法等［3］。本文的目標是研究如何改進PSO以提高解的準確度，為了研究方便，對于約束處理技術采用了一種傳統的懲罰函數法。

PSO是由Kennedy博士等提出的一種智能優化算法［4］。PSO算法的計算參數少、收斂速度快、易于編程實現，是解決約束優化問題的常用算法。然而PSO同時也存在求解的準確度不高、易陷入局部最優化的危險，因此在應用時需要進行改進，這也是本文的主要工作。

本文章節安排如下：第1章介紹了PSO算法如何求解約束優化模型，并針對約束優化問題列舉了當前常見的幾種改進PSO算法；第2章從多樣化與擴展搜索空間兩方面對PSO算法進行了改進；第3章針對改進PSO計算量大的問題，在私有云的基礎上設計了并行處理PSO的流程，以提高處理速度；第4章通過一系列試驗對改進PSO的性能進行了比較驗證。

1　PSO及常見改進算法

1.1PSO算法求解約束優化

經典的PSO算法是一種模擬鳥群覓食行為的基于群體的隨機優化技術。在式（1）中，X的取值并不是Rn中的任意向量，而是在一定范圍內變化，這個范圍被稱為決策空間Sn。決策空間Sn又依照是否滿足約束條件被劃分為可行域和不可行域只有在可行域中的向量才滿足約束條件，PSO算法就是在Sn中按約束處理規則遍歷，經過一定的迭代次數后算法將在某一可行域收斂，將收斂后算法標記的全局最優解即作為式（1）的解。X、、Sn和Rn的關系可以用式（2）表示為

為保證盡可能地逼近全局最優解，PSO算法從任務的開始起將多個粒子散落到決策空間Sn中，并以個體粒子歷史最優解和全體粒子群歷史最優解做為粒子更新的主要參數。在決策空間Sn中，分布著由N個粒子組成的粒子群，任意一個粒子的位置和速度分別用向量Xi=（xi1，xi2，…，xin）和向量Vi=（υi1，υi2，…，υin）表示，并用向量Pi=（pi1，pi2，…，pin）表示該粒子的歷史最優解，而整個粒子群的歷史最優解用向量Pg=（pg1，pg2，…，pgn）表示。算法初始階段隨機產生一個粒子群，在下一個時刻，粒子的位置和速度依據式（3）和式（4）移動：

其中，Ai=（ai1，ai2，…，ain）為粒子移動的加速度，其計算公式為

式中，R1和R2為n×n維的矩陣，其元素服從U［0，1］；c＞2為跳變常數；Χ為粒子移動的收縮參數。

1.2常見的面向約束優化求解的改進PSO算法

經典PSO算法在處理約束優化方面存在收斂過快、易陷入局部最優［2］。針對這一問題，國內外學者做了大量改進。近年來，基于PSO求解約束優化問題改進算法主要有：

文獻［5］提出了一種被稱為混沌PSO（chaos PSO，CPSO）的改進算法，該算法中每個粒子都按照適應度函數進化，也即選擇向最接近可行域的方向運動。為了確定不可行度，CPSO實時比較并保存違反各約束條件最大的那個粒子。

文獻［6］還提出了一種HPSO（hybrid PSO），目的是為了保持解的多樣化。HPSO利用多種方法更新粒子信息，并在雙種群的基礎上使用了粒子重組機制。但測試結果表明該方法只對某些約束優化問題有效。

文獻［7］為了避免解的局部性，結合約束處理機制提出了一種動態多子群PSO算法。根據違反約束條件的程度，各子群分別針對不同的約束條件搜索。該算法的局部搜索采用了序貫二次規劃法（sequential quadratic programming，SQP），且SQP的性能會直接影響到約束優化問題的解。

文獻［8］針對線性等式約束優化問題提出了LPSO（linear PSO）算法。LPSO將式（5）中的R1與R2替換為服從均勻分布的隨機變量e1與e2，即粒子運動的加速度變為Ai=Χ［ce1·（Pg-Xi）+ce2·（Pi-Xi）］-（1-Χ）·Vi。這一變動使得算法在可行域中的搜索性能大大提高，然而LPSO因收斂過快易導致求出局部最優解。為解決這一問題，作者又在LPSO的基礎上提出了CLPSO（converging LPSO）算法［8］，通過改變Pg的選擇機制與粒子向Pg運動的速度來緩解上述問題。實驗顯示CLPSO的解要遠優于LPSO。另外，文獻［9］也在LPSO的基礎上提出了MLPSO（mutation linear PSO），通過引入變異操作更新了粒子更新的速度，在一定程度上也改善了LPSO存在的問題。

Co-CLPSO（cooperation comprehensive learning PSO）也被用于求解約束優化問題［10］。該方法中，兩個子群相互合作。每個子群中的粒子按一定的適應性規則探索不同的區域。兩個子群定期交換信息，最后通過綜合兩個子群獲得問題的最優解。

當搜索空間由多個不連通的可行域組成時，如何定位這些可行域、以及如何快速找到最優解所在的可行域是PSO算法的主要改進目標。文獻［3］提出了一種EAPSO（epsilon adaptive mutation linear PSO）算法，按一定運動規則使得粒子始終保持一定的拓撲形態，這樣可使算法在初期搜索到盡可能多的可行域、并在后期使得大部分粒子位于最可能出現優化解的可行域。在EAPSO的基礎上，通過改善算法的局部搜索能力，在文獻［11］中又提出了一種EAPSO-MG（EAPSO-modified gradient）的算法。

為了擴展PSO算法處理約束優化問題的范圍，文獻［2］提出了一種SAM-PSO（self-adaptive PSO）。該算法針對PSO的搜索空間存在多峰值的問題，在進化過程中根據各峰值的優劣來決定下次進化時該峰值附近的粒子數量。當然還存在其他的改進算法，這里不再一一列舉。

2　改進的粒子群算法

經典PSO算法的一個優勢是收斂速度快，然而也正因此，算法易陷入局部最優。受文獻［6-7］與文獻［12］啟發，本文針對這一問題提出了一個由多子群劃分、量子粒子和伴隨粒子3部分組成的改進措施，目的是通過保持解的多樣化來避免算法陷入局部最優解的危險。其中多子群劃分保證了群間多樣化，而量子粒子和伴隨粒子則保證了群內多樣化。

2.1多子群劃分與運行

粒子的任務是檢測峰值，同一個群中的粒子最終會收斂至相同的局部最優。因此，為了檢測出新的峰值，最簡便的方法是讓粒子分屬多個子群。多子群的搜索對計算速度有較高的要求，而且由于將粒子劃歸于各子群，單個子群內的粒子數會變少，從而導致收斂速度減緩。

考慮將決策空間Sn劃為d個子空間，使得

對于Sn中的任一向量Xi=（xi1，xi2，…，xin），假設最后一個變量xin的取值范圍滿足k≤xin≤l，其中k和l為常數，且有Δ=（l-k）/d≥1。令xi1至xin-1的取值范圍保持不變，將變量xin的取值范圍按d份平均劃分為k≤xin≤k+Δ，k+Δ≤xin≤k+2Δ，…，k+（d-1）Δ≤xin≤l，則可得到d個不相交的子決策空間，且滿足關系式（6）。

在算法運算中，各個子決策空間Sin內單獨運行PSO算法，各粒子只記錄Sin內搜索到的個體最優解Pii和子群內最優解Pgi。經過一段時間后，比較d個子群最優解，將其中最差的一個子群移除，而將該子群內的粒子標記為自由粒子，并向子群最優解中的最好子群遷移。這樣經過多次迭代后，將只剩下一個決策子空間，且所有的粒子都位于該子空間內或其周圍搜索，并最終收斂。

2.2量子粒子

使普通粒子具有量子的行為特性是實現解的多樣化的重要手段。利用量子的疊加態和概率特性，可使單個粒子按一定的概率表達出多個狀態，從而增加了粒子群的多樣性。文獻［13］給出了量子粒子的表達方式為

xα和xβ分別為普通粒子變量x 對應量子態|0〉和|1〉的概率幅，有|x〉=α|0〉+β|1〉，其中α和β是一對復數，滿足關系式|α|2+|β|2=1。按此變量定義而成的量子粒子向量X在決策空間Sn中可映射到兩個位置，即對應于量子態|0〉和|1〉的概率幅為：

由于每個量子粒子對應于Sn中的兩個解，因此能夠擴展算法解的多樣性，使得找到最優解的幾率加大。

2.3量子粒子的伴隨粒子

粒子在從初始位置收斂至最優解的路徑上，并不會考慮粒子的周邊情況。如果增加群內量子粒子的數量，則會大大增加算法的計算量。為了在計算量少增加的情況下成倍擴展搜索空間，一種可行的辦法是增加粒子的視野。文獻［14］提出了一種模擬物理學中量子原子運動形態的思路。一個量子原子是由一個原子核和一定數量的電子組成，量子原子中的電子沒有既定軌道，而是以一定的概率分布于量子原子核周圍。

運用這一思路，本文將量子粒子作為量子原子核，并生成服從球狀分布的伴隨粒子作為量子電子。令量子粒子按正常的規則運動并最終收斂，而其周圍的伴隨粒子并不收斂，而僅僅參與單個粒子Pi值和子群Pg值的評比。與經典PSO算法相較，由于伴隨粒子不執行更新策略，算法的計算量增幅要比增加粒子數量小，而搜索空間卻能成倍增加。量子粒子的服從球狀分布的伴隨粒子生成步驟為：

步驟1生成一個服從標準正態分布的n維隨機向量Y，使得Y=（y1，y2，…，yn）～N（0，Σ），其中0為n維零向量，Σ為對角線元素等于1的正定矩陣；

步驟2計算向量Y與量子原子核X之間的距離dist，公式為

步驟5重復上面的步驟1～步驟4，便可得到圍繞某一粒子的一組球狀伴隨粒子，算法結束。

上述的步驟1中，生成隨機向量Y的方法是通過降維來處理的。Y的概率密度為

式中，N（ci）為一維標準正態分布函數，且有

式中，Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），且λi＞0是Σ的特征值；Q是n階正交矩陣，滿足QTΣQ=Λ。

圖1以二維空間為例示出了以原點為中心、以半徑r= 1的伴隨粒子群。

圖1　服從球狀分布的伴隨粒子群示意圖

3　基于私有云的子群并行優化

3.1并行優化性能分析

假設有p個量子粒子，每個量子粒子的伴隨粒子個數為q個，則串行工作模式下的改進PSO算法的執行時間為

式中，Tq為量子粒子產生伴隨粒子的時間及其迭代計算時間；TI為單個伴隨粒子的進化計算時間。根據伴隨粒子的工作機制，有TI≈Tq，因此改進PSO算法中單個粒子的執行時間是普通粒子的q+1倍，計算量大大增加。

若將搜索空間劃分為d個子空間并分配至私有云節點，則改進PSO算法的并行執行時間為

式中，Tw為私有云從節點與主節點的通信延遲時間。

若Tserial≤Tw，根據式（17），無論整數d取何值，總有式（18）成立

若Tserial＞Tw，則當d取最小值2（只有兩個從節點的私有云 ）時，要使得Tserial＞Tparallel成立 ，至少應滿足（可通過求解不等式Tserial-Tparallel＞0獲得-）

式（19）的物理意義是，只有當串行工作模型下改進PSO算法的執行時間大于私有云平臺主從節點通信延遲時間的4倍以上，利用私有云并行求解才會節省時間，否則主從節點的通信延遲將會超過優化算法的執行時間。考查式（16）可知，量子粒子及其伴隨粒子的個數越多，利用私有云并行求解才會越有利。

當Tserial?Tw時，主從節點的通信延遲可忽略不計，根據式（17）有

此時利用私有云并行求解的時間僅為串行求解模式的1/d，可節省大量計算時間。

3.2私有云計算平臺

私有云是云計算的一種應用模式，它與公有云計算平臺的區別在于其專用性。私有云不對外提供服務，而只供單位內部使用。隨著云計算技術的發展，特別是一些云計算操作系統的開源，搭建一個私有云平臺變得較為容易。由于云計算本身就是一種分布式的且并行的計算模式，適用于并行求解PSO算法。

一個私有云平臺包括一個主節點和多個從節點。將改進PSO算法的任務分配給主節點，按從節點的數量劃分粒子群的子群數量，對每個從節點規定其決策子空間，多個從節點之間的決策子空間互不相交。在每個從節點上獨立運行算法，在迭代一定次數后各從節點暫停算法，將各自的子群全局最優解送入主節點比較，主節點將最差解的子群解散，子群內的粒子仍作為一個群體保留，并令其向最優解子群遷移。經過一段時間后，從節點上的子群逐漸解散，并最終收斂至僅存子群，而所有的粒子也將收斂于該子群內的某個峰值。

3.3基于Map Reduce的算法求解

Map Reduce是Google公司開發的大型分布式并行編程模型，目前廣泛應用于云計算平臺。Map Reduce用逐步分解的原則，通過把大規模數據集分發給主節點下的各從節點，共同完成計算任務，最后通過整合各從節點的結果，而得到任務的最終解。本文通過私有云平臺上的Map Reduce解算改進PSO算法，可解決單機運算資源不足的問題。按照這一思路，設計了基于Map Reduce的解算流程，如圖2所示。

設計了3個子程序對應于圖2中的流程，分別為：

（1）并行任務管理子程序。改進PSO算法的管理程序，不會運行具體算法，而是對任務進行集中管理，主要負責將任務區域分解為與私有云節點數目相同的子區域，將各個搜索子區域分配給對應的計算節點，記錄任務是如何分解的，以及分配到了哪個計算節點上，并負責各分節點與主節點之間的信息交換，獲取從節點的局部最優解，并評判出算法當前的全局最優解。

（2）計算節點監控子程序。類似“看門狗”程序，避免因宕機而導致計算任務失敗。首先負責備份并行任務管理子程序中的關鍵參數，如區域劃分和節點分配等信息，一旦主節點宕機可在重啟后盡快恢復事務；同時監控各個從節點的執行狀態，若不能獲取從節點的提交信息，則判斷其失效。

（3）算法執行子程序。接受并行任務管理子程序分配的搜索子域，在決策子空間S in內執行改進的PSO算法，迭代一定次數后將子群內最優解提交給并行任務管理子程序，由后者確定出當前的全局最優解；按時響應計算節點監控子程序，避免其誤判。

圖2　基于MapReduce的改進PSO算法并行求解流程

4　實驗與分析

為了評估本文改進PSO算法的有效性，進行了3組試驗。實驗對象為約束優化標準測試函數（g01～g13）［15］中的g09與g13，分別對應約束條件為不等式與等式兩種約束特征。

實驗平臺為具有1個主節點與8個從節點的私有云，各節點的硬件配置為雙核CPU，主頻2.6GHz，內存4GB，采用Matlab軟件編寫并運行測試代碼。

為保證比較的公平性，對于通用的參數各算法采用相同的參數值，其中粒子群數量400個，迭代次數1 000次，跳變常數c與粒子收縮量Χ均采用文獻［16］提供的推薦值，即c=2.05，Χ=0.729 8。

4.1與其他算法的比較

為驗證改進后PSO算法的全局優化性能，將本文算法與CPSO［5］、HPSO［6］與CLPSO［8］進行了比較。其中運行CPSO、HPSO與CLPSO的計算平臺與私有云中單個從節點的硬件配置相同，而對于本文算法，將總數為400的粒子群均分至8個從節點，這樣每個子群的粒子數量為50，伴隨粒子數量為100。

以函數g 13為例，介紹本文算法的執行過程。根據文獻［15］中函數g13的定義，該函數包括5個約束變量，其中變量x3的搜索范圍為-3.2≤x3≤3.2。保持其余4個變量的搜索范圍不變，將x3的搜索范圍按私有云的從節點數量平均分為8份，分別為-3.2≤x31≤-2.4，-2.4≤x32≤-1.6，-1.6≤x33≤-0.8，-0.8≤x34≤0，0≤x35≤0.8，0.8≤x36≤1.6，1.6≤x37≤2.4，2.4≤x38≤3.2。然后啟動私有云平臺，將這8個搜索區間分配至平臺的8個從節點，并啟動算法。每次迭代完成，各從節點都向主節點報告本次迭代的子群最優解，由主節點比較出本次迭代的全局最優解與最差解。在經過一定的迭代次數后，將當前全局最差解的子群標記為刪除態，即僅恢復變量x3搜索范圍的原始定義-3.2≤x3≤3.2，并使該子群向全局最優解方向運動。經過一定次數的迭代后，所有子群的所有粒子均指向x3的某一搜索范圍，算法的收斂區間越來越集中，并將最后一次迭代所標記的全局最優解作為算法的解。4種算法分別運行100次后統計得到g09與g13函數的優化解分布如表1所示。

表1　本文算法與CPSO、HPSO、CLPSO的比較

標準測試函數g09與g13的最優解分別為680.630 057 3與0.053 949 8，對照表1的測試結果可見，本文算法對兩組函數尋找到最優解的概率均優于其他3種算法。

4.2多樣化性能測試

多樣化是本文算法的核心，多樣化機制的實現由多子群劃分、量子粒子和伴隨粒子3部分構成。本小節對量子粒子與伴隨粒子對算法的貢獻進行實驗分析，而將多子群劃分的測試與私有云的加速比實驗結合進行。

仍然采用g09與g13作為測試函數，算法的各項參數與第4.1節一致。分別將以下改動應用到測試中：①量子粒子還原為普通粒子；②去掉量子粒子；③伴隨粒子數量增加10%；④伴隨粒子數量減少10%。將改動后的算法分別運行100次，得到的優化解統計分布如表2所示。結合表1與表2中可見，對于g09與g13在最優解區間（分別為680. 6～680.8與0.05～0.07）尋找概率而言：①不采用量子粒子導致算法的尋優概率分別下降了14.2%與8.4%；②不采用伴隨粒子的尋優概率分別下降了26.9%與35.2%；③伴隨粒子的數量提升10%可使得尋優概率分別提高1.6%與2.8%；④伴隨粒子數量減少10%，尋優概率分別下降3.1%與5.6%。

表2　多樣化機制性能測試

4.3加速實驗

將整個粒子群劃分為多個子群后分配至私有云平臺各節點運算是本文提高算法速度的主要方法。分配方法有多種，這里將x1（也可按其他變量的范圍劃分）的范圍按私有云的從節點數量劃分為8份，其他變量保持不變。然后每個子域上建立一個子群，再將子群分配至私有云的各節點運行。

為驗證子群數量對算法執行速度的影響，進行了不同子群數量d下的加速比實驗，如圖3所示。

圖3　加速試驗結果匯總

圖3中，d=1為不進行子群劃分下的算法執行速度。隨著d的增加，執行時間大幅縮短，然而當d≥8之后，由于節點數量的增加，從節點之間的網絡通信延遲得到了累加，算法執行的增速放緩并趨于平穩。

5　結　論

本文主要做了兩項工作：一是針對經典PSO算法易陷入局部最優的缺點，從解的多樣化原則出發，分別利用多子群機制和量子粒子+伴隨粒子機制保證了求解的群間多樣化和子群內多樣化；二是針對改進后PSO算法計算量大、計算復雜的特點，利用私有云計算平臺進行并行計算，在MapReduce編程框架的基礎上，編寫了改進PSO算法的并行求解流程。最后通過實驗驗證了算法的正確性。本文方法特別適合于涉及大計算量的約束優化問題，通過私有云計算平臺并行計算可成倍提高此類問題的計算速度。

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Constrained optimization problems solving based on private cloud and improved particle swarm optimization

ZHANG Yong-qiang1，2，XU Zong-chang1，HU Kai-kai1，HU Chun-yang1
（1.Department of Technical Support Engineering，Academy of Armored Force Engineering，Beijing 100072，China；2.Naυal Air Force Institute，Huludao 125000，China）

In order to solve constrained optimization problems with higher accuracy and faster computing speed，several improvements are raised on particle swarm optimization（PSO）and its computing method.Solutions'diversification mechanism is applied in PSO to improve its global optimization ability：decision space is divided into multiple searching subspaces，while multi-subswarms are created according to those searching subspaces，and multi-subswarms are searched independently to get solutions'diversification among subswarms；ordinary particles is replaced by quantum particles in PSO，while associated particles that follow globular distribution is vested in each quantum particle，which could improve solutions'diversification in subswarms.Running speed of the improved PSO is increased via parallel computing：Parallel computing flow of the improved PSO is analyzed based on the private cloud platform and the algorithm for the flow is programmed based on MapReduce.The experimental results show that the proposed method has higher accuracy solutions and stability，and the performance and computing speed is exponentially improved.

constrained optimization；particle swarm optimization（PSO）；private cloud platform；parallel solving；diversification

TP 301.6；E 911

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.18

1001-506X（2016）05-1086-07

2015-04-07；

2015-11-10；網絡優先出版日期：2015-12-23。

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151223.1114.030.html

張永強（1983-），男，博士研究生，主要研究方向為艦船攜行備件優化、裝備保障特性與綜合保障。

E-mail：wying40852@163.com

徐宗昌（1941-），男，教授，主要研究方向為裝備保障特性與綜合保障。

E-mail：xuzca@yeah.net

呼凱凱（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為裝備保障特性與綜合保障。

E-mail：hkk1987@163.com

胡春陽（1991-），男，碩士研究生，主要研究方向為裝備保障特性與綜合保障。

E-mail：hcy1992@163.com