三角模糊數型不確定多指標決策的相似規劃模型及其應用

黃　智　力，羅　　　鍵

（1.廈門大學信息科學與技術學院，福建　廈門 361005；2.廈門理工學院應用數學學院，福建　廈門 361024）

三角模糊數型不確定多指標決策的相似規劃模型及其應用

黃智力1，2，羅鍵1

（1.廈門大學信息科學與技術學院，福建廈門 361005；2.廈門理工學院應用數學學院，福建廈門 361024）

針對指標權重未知的三角模糊數型不確定多指標決策問題：首先，給出了一種新的規范三角模糊數相似度和決策方案相似度的定義，提出了三角模糊數相似度關系理論并得到了一些相關結果；其次，借鑒離差最大化思想提出了一種基于三角模糊數相似度關系確定指標權重的相似規劃模型；再次，利用各決策方案與理想決策方案相似度的相對比值大小對各決策方案進行排序和擇優，以此給出了三角模糊數型不確定多指標決策的相似度關系算法；最后，通過算例對該算法與離差最大化算法進行對比分析說明了該算法的可行性和有效性。

不確定多指標決策；三角模糊數；相似規劃模型；指標權重

網址：www.sys-ele.com

0　引　言

近年來，有關不確定多指標決策問題的研究在機器學習［1］、系統預測［2］、市場產品定位［3］、服務質量評價［4］、交通運輸優化［5］、能源技術評價［6］、災害系統風險評估［7］、武器系統選擇［8］等多個領域有著極其廣泛的應用。如今隨著信息技術的發展，信息量迅速膨脹，面對海量數據如何在規定的時間內做出科學的決策，成為一個重要的研究問題［9］。在現實環境中，由于受到信息的不確定性、決策問題的復雜性和人類思維的模糊性的影響，人們難以用精確的數字來表達自己的偏好，更傾向于使用三角模糊數值［2，7，10-12］或者語言值［4］來量化表示決策信息及信息處理的不確定性和模糊性。而相似性度量［12］為兩個及多個表示不確定模糊概念的三角模糊數指標值間進行類比推理提供了重要的基礎工具和方法途徑，并廣泛應用于預測［2］、評估［4，6 7］、矩陣博弈［10］和空間表示［11］等許多不確定決策領域。因此，尋找即科學又簡便合理的排序算法來解決此類復雜不確定多指標決策問題用于提高決策效率就顯得很重要。從已有國內外學者的相關研究成果分析，針對不確定多指標決策問題常見排序方法包括：相似性度量法［12］、最小偏差法［13］、Choquet積分法［14］、VIKOR擴展法［15］、概率論法［16］、期望值法［17］、可能度關系法［18］、優勢關系法［19］、猶豫模糊集法［20］、優勢灰度法［21］、灰靶決策法［22］等?？梢哉f不確定多指標決策問題已成為現代決策科學的一個重要組成部分［1 22］，而指標權重的確定又是不確定多指標決策中一個重要的研究內容。目前關于指標權重的確定多采用離差最大化法［23］、信息熵法［24］、二次規劃相對優勢法［25］等，然后運用各種方法對決策表中的有關信息進行集結并選擇最優方案。雖然這些決策方法在運用于處理不確定多指標決策問題中得到了不錯的效果，但是它們的應用也會時常面臨評價結果相近、指標值差異較小、決策結果區分度不高等問題，不便于決策方案間優劣尺度的測定和排序。為此，許多學者從利于測定出決策方案間的優劣角度進行研究，直接采用傳統經典的離差最大化賦權算法來擴大所有決策方案的評價指標值間的差異，更好地對決策方案進行排序和擇優。由于該方法在運用過程中僅考慮原始指標值數據間的差異大小對方案排序決策的影響，而不去考慮決策指標值間的相似性程度及本身的重要性程度如何，往往忽視了指標值間相似度［12，17］本身在處理不完備信息系統［26］的評價實踐中對全體決策指標的作用影響，容易造成方案排序決策結果失真，按照理論排序得到的最優方案結果也經常與客觀實際不符。

鑒于上述分析，本文給出了一種全新的規范三角模糊數相似度和決策方案相似度公式，以及三角模糊數相似度關系理論的相關結果；在考慮不確定多指標決策問題中指標值數據間相似度大小的作用下，設計構造了一種新的相似規劃模型便于獲得更客觀合理的基于三角模糊數指標值相似度的指標權重度量公式，對各決策指標信息進行賦權，使得在決策信息集結后各個決策方案之間相似度差異縮小即各個決策方案之間的差異擴大而有利于待決策方案的排序與擇優；最后利用各決策方案與理想決策方案的相似度在決策方案集中的相對比值大小進行排序和擇優，提出了三角模糊數型不確定多指標決策的相似度關系算法。

1　三角模糊數相似度關系理論

1.1三角模糊數的相似度

從定義1可知，在三角模糊數中，特元xM的取值可能性最大，即信息偏好值xM在三角模糊數區間里面出現的概率最大。而由xM向上界的大元xU或向下界的小元xL取值的概率都在遞減。為方便起見，先給出下列有關三角模糊數的性質和運算法則。

1.2主要結果

（2）當且僅當負理想點為最優決策點進行決策時，有

證明（1）顯然

根據式（2）可得

同理可證定理1第（2）條，即式（6）成立。

在判別三角模糊數間優勢關系的過程中，可以利用定理1直接判定即通過計算三角模糊數同理想點的相似度值大小進行判定，或者通過比較三角模糊數小元、特元和大元的指標值和大小進行判定。

則稱三角模糊數型決策方案X 與Y 相比占優，記為：X?Y。

定理2（1）當且僅當正理想決策方案為最優決策方案進行決策時，有

（2）當且僅當負理想決策方案為最優決策方案進行決策時，有

同理可證定理2第（2）條，即式（9）成立。

在判別決策方案間優勢關系的過程中，可以利用定理2直接判定即通過計算決策方案同理想決策方案的相似度大小進行判定，或者通過比較決策方案間的三角模糊數小元、特元和大元的指標值序列和大小進行判定。

2　三角模糊數型不確定多指標決策的相似規劃模型

鑒于決策方案之間的各指標特征值數據總體看來普遍比較平穩，浮動性較小，相似度也就越大，而相似度越小的指標特征值數據浮動就會較大，這類指標在決策中就應著重考慮，因此針對指標值為三角模糊數的不確定多指標決策問題，借鑒離差最大賦權算法［23］的有關理論，從相似度的角度提出了一種新的基于三角模糊數相似度關系的指標賦權規則：方案按同一指標進行測度，指標值相似度［12，17］越大（即指標數值變化較?。?，該指標對方案決策結果發生變化的作用越小，應賦予相應較小的指標權重；特別地，當指標值相似度達到最大即等于1（即指標數值無變化）時，則該指標對方案結果發生變化將不起任何作用，應賦予相應指標權重為零；反之，方案按同一指標進行測度，指標值相似度越小（即指標數值變化較大），該指標對方案決策結果發生變化的作用越大，在決策中要側重考慮，應賦予相應較大的指標權重。從測定決策方案間優劣尺度的角度考慮，數據變化較大的指標是造成決策結果差異的主要來源和關鍵因素［17］，從而使得決策信息集結后決策方案間的相似性差異縮小即各個決策方案間的差異放大，更加有利于最優決策方案的選取和排序。

因此，利用三角模糊數相似度關系理論，在規范三角模糊數型決策矩陣～R中，對于第j個指標uj，決策方案Xi與其他決策方案的相似度為

于是對于第j個指標uj，所有決策方案與其他決策方案的總相似度為

根據上述指標賦權思想，且考慮到決策者無偏好情形，權重向量為w的確定應使所有決策指標對所有決策方案的總相似度在加權向量w本身的作用下的加權和最??；換言之，權重向量為w的確定應使所有決策指標對所有決策方案的總相似度之倒數在加權向量w本身的作用下的加權和必然最大。為此，構造下列相似規劃模型（similarity programming model，SPM）

顯然，所有決策方案在同一指標測度下的相似度值的總和與該指標權重的度量值成反比關系。

3　三角模糊數型不確定多指標決策的相似規劃模型實施步驟及算例

本文給出的三角模糊數型不確定多指標決策的相似規劃模型實施步驟如下：

步驟5利用式（3）分別求出所有決策方案Xi（i=1，2，…，n）與三角模糊數型正理想決策方案U+*和三角模糊數型負理想決策方案U-*的相似度sw（Xi，U+*）和sw（Xi，U-*）。

步驟6為了對決策空間中的決策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，n）進行排序，很自然地想到決策方案Xi與正理想決策方案的相似度越大越好，與負理想決策方案的相似度越小越好。但有時決策方案接近正理想決策方案不一定同時遠離負理想決策方案，文獻［26］正說明了這個問題。因此本文采用了一個相對比值Rs（Xi）來表示某一備選決策方案接近正理想決策方案同時遠離負理想決策方案的相對差異程度［26］。

則Rs（X*i）=0，達到最大值。此時決策方案X*i最接近正理想決策方案且最遠離負理想決策方案。若Rs（Xi）越小，則決策方案Xi偏離正理想決策方案就越遠，而與負理想決策方案的偏離越近，從而決策者就越不滿意。于是可以按照相對比值Rs（Xi）從大到小的順序對決策方案集｛Xi｝進行優劣排序。若決策方案Xi1優于Xi2，記作Xi1?Xi2（i1= 1，2，…，n；i2=1，2，…，n）。

步驟7運用式（20）求出所有決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）（i=1，2，…，n）。然后根據Rs（Xi）值從大到小的順序對決策方案集｛Xi｝進行排序和擇優。

算例1這里采用文獻［18，27］中的干部考核選拔問題案例進行分析。假定經過統計處理后確定了5名候選人Xi（i=1，2，…，5），每個候選人在各指標（屬性）下的屬性值是以三角模糊數形式給出的，具體的直觀數量化指標值如表1所示［18，27］。

表1　直觀測數量化指標

步驟1各項指標均為效益型指標，故可運用式（12）與式（13）將表1中的直觀測數量化指標數據建立的三角模糊數型決策矩陣轉化為規范三角模糊數型決策矩陣=（j）n×m，規范化后的決策信息如表2所示。

步驟2將表2中的數據代人式（18）可得指標權重向量w如下：

表2　規范化決策信息表 ×10-1

表3　加權決策信息表 ×10-2

步驟4根據定義5求出表3中由正理想點序列構成的三角模糊數型正理想決策方案U+*和由負理想點序列構成的三角模糊數型負理想決策方案U-*為

步驟5利用式（3）求各決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度sw（Xi，U*）為

步驟6運用式（20）計算出各決策方案Xi與理想決策方案U*的相似度在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）為

步驟7根據Rs（Xi）值從大到小的順序對決策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，5）進行排序和擇優，得

顯然，X2為最優決策方案。

用定理2可求得

則對決策方案集｛Xi｝（i=1，2，…，5）進行排序為

所以，X2仍為最優決策方案。

由此，得出在判別備選決策方案的優劣時，可以直接采用各決策方案與理想決策方案比較的相似度反映在決策方案集中的相對比值Rs（Xi）大小及定理2的結論進行判定，計算簡潔高效，但主要不足是無法對任意兩個備選決策方案之間的比較優勢度數值進行度量。

本文采用文獻［23］中基于離差最大化的多指標決策算法，對上述干部考核選拔問題算例的各個候選人排序結果如下：

得到最優候選人為X2。

通過上述算例分析可以知道，采用本文給出的基于三角模糊數相似度關系的賦權算法與文獻［23］給出的基于離差最大化的賦權算法對指標權重的度量值不同，但是二者在判別決策方案的優劣過程中，對最優方案的判定和排序均未發生變化，而是得到相同的結果。

4　結束語

基于三角模糊數指標值相似度的指標權重度量是本文研究的重點內容之一。主要思想是在決策信息數據的物理量綱統一后，指標值相似度較大（數值變化較小）的指標在決策過程中對決策結果的影響作用小應賦予較小權重，而指標值相似度較?。〝抵底兓^大）的指標在決策過程中對決策結果的影響作用大，是決策結果發生變化的關鍵，應賦予較大權重。本文利用上述賦權思想和三角模糊數相似關系理論知識，針對不確定多指標決策問題，主要做了如下3個方面的工作。

（1）根據三角模糊數相似度的概念給出了一種新的規范三角模糊數相似度和決策方案相似度公式，并構造了一種新的相似規劃模型以此獲得基于三角模糊數指標值相似度的指標權重度量的公式；

（2）給出了三角模糊數相似關系理論的一些相關結果，推導出三角模糊數的優勢與三角模糊數同理想點的相似度值大小及三角模糊數小元、特元和大元的指標值和大小之間存在等價，而各決策方案的優勢大小與決策方案同理想決策方案的相似度值大小及決策方案的三角模糊數小元、特元和大元的指標值序列和大小存在等價；

（3）利用各決策方案與理想決策方案的相似度在決策方案集中的相對比值大小進行優劣判定和排序，提出了三角模糊數型不確定多指標決策的相似度關系算法。

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Similarity programming model for triangular fuzzy number-based uncertain multi-attribute decision making and its application

HUANG Zhi-li1，2，LUO Jian1
（1.School of Information Science and Technology，Xiamen University，Xiamen 361005，China；
2.School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

In view of the triangular fuzzy number-based uncertain multi-attribute decision making problem with unknown attribute weights，firstly，the new definitions of the similarity degree of the regular triangular fuzzy number and decision-making alternative are given，the similarity degree relation theory of the triangular fuzzy number is presented and some related results are obtained.Secondly，learning the idea of maximizing deviations algorithm rules，a similarity programming model is established to determine the attribute weight based on the similarity degree relation of the triangular fuzzy number.Thirdly，the relative ratio of the similarity degree value between decision-making alternative and the ideal standard is utilized to sort and pick over all decisionmaking alternatives，then the algorithm of the similarity degree relation for triangular fuzzy number-based uncertain multiple attribute decision making is presented.Finally，the characters between the maximizing deviation algorithm and the proposed algorithm are compared and analyzed by a numerical example，to illustrate the feasibility and effectiveness of the algorithm.

uncertain multi-attribute decision making；triangular fuzzy number；similarity programming model；attribute weight

TP 182

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.20

1001-506X（2016）05-1100-07

2015-06-15；

2015-09-17；網絡優先出版日期：2015-12-23。

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151223.1118.038.html

國家自然科學基金（60975052）；福建省重大科技項目（2011 H6027）資助課題

黃智力（1983-），男，博士研究生，主要研究方向為管理與決策支持系統的理論與技術。

E-mail：zhili_huang@hotmail.com

羅鍵（1954-），男，教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為自動化智能信息系統以及系統建模、優化與決策。

E-mail：jianluo@xmu.edu.cn