基于權重比的車架多工況拓撲優化方法研究

邱瑞斌， 雷　飛， 陳　園， 王　瓊

(湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙410082)

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基于權重比的車架多工況拓撲優化方法研究

邱瑞斌， 雷飛， 陳園， 王瓊

(湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙410082)

在賽車實際行駛過程中車架會受到各種工況的考驗，因此在進行車架結構拓撲優化設計時必須同時考慮多個工況下車架的拓撲優化結果.然而，在進行多工況下拓撲結構設計時往往會遇到如何分配各個工況權重比的問題，各工況權重比的分配直接影響車架最終的拓撲結構.針對此問題進行研究，通過構造代理模型并利用遺傳算法尋找最佳權重比.首先，采用折衷規劃法建立同時考慮多個工況下車架剛度的拓撲優化綜合目標函數模型；接著，采用最優拉丁超立方試驗設計方法采樣，構造徑向基函數代理模型，并在代理模型的基礎上利用NSGA-II進行求解，得到各個工況最佳權重比；最后，將獲得的各個工況最佳權重比代入綜合目標模型中進行拓撲計算，獲得同時考慮各工況下車架剛度的拓撲結構.將該方法與獲得權重比常用的層次分析法(AHP)和正交試驗法(OED)進行比較，該方法較其他兩種方法得到的綜合目標值是最優的，車架所有工況的加權柔度是最低的.結果表明，所提出的方法很好地解決了多工況下拓撲優化權重比分配的問題，并且較其他方法具有明顯的優越性.

權重比； 代理模型； 遺傳算法； 車架； 拓撲優化

賽車車架是整車的承載基體，車架的性能直接影響著賽車的性能，車架的輕量化設計不僅能大幅減輕整車質量，而且能很好地改善賽車的操縱性[1].結構的拓撲優化是輕量化設計方法中最重要的方法之一，被廣泛地應用到結構設計的初期階段，在整車的輕量化設計中發揮了重要的作用[2].然而，在實際行駛過程中車架會受到各種工況的考驗，因此車架結構的拓撲優化設計是一個多工況下的拓撲優化問題.

對于多工況下的拓撲優化設計，一般的處理方法是采用線性加權方法將多工況這個多目標問題轉化為單目標問題求解，扶原放等[3-4]采用線性加權方法將各個工況下車架剛度最大轉化為各工況的加權柔度最小的單一目標問題.但是如果目標函數中至少有2個目標存在不一致性，線性加權方法就不能確保得到所有的Pareto最優解[5].而折衷規劃法就能夠很好地解決上述問題，其思想是將多目標的折衷解視為距每一個目標函數的理想解距離最小的矢量，因而實現了單一目標的轉化.蘭鳳崇等[5-7]運用折衷規劃法定義了整車各個工況下車身結構靜態剛度和動態振動頻率最大化的綜合目標函數，并在此基礎上完成了車身結構的優化設計，驗證了折衷規劃法的有效性.但是，無論采用哪種方法進行多目標轉化，都會遇到如何分配各個工況權重比值的問題，這個問題的解決與否直接影響著最終優化結果的質量.

代理模型結合遺傳算法尋找最優解的方法，是一種通過構造數學模型來代替原有有限元模型并能充分利用遺傳算法全局搜索的優越性的方法，在結構的多目標優化中被廣泛應用.該方法一方面可以大大提高優化效率，另一方面，相當精度的代理模型能夠很好地保證優化結果有較高的精度.陳國棟等[8]采用代理模型結合遺傳算法的方法對車身結構進行優化，驗證了該方法在多目標優化中的高效性；洪煌杰等[9-10]將該方法應用到空投氣囊和飛機飛翼這種更復雜的結構的多目標優化設計中，結果顯示，該方法能夠很好地解決多目標優化尋優問題，結果滿足設計要求.

基于此，通過借助折衷規劃法構建多個工況下的車架拓撲優化綜合目標函數模型，以各個工況的權重比為變量，以綜合目標函數最優為優化目標，并引入代理模型和遺傳算法(NSGA-II)對目標函數模型中的各個工況的權重比進行最優搜索.將多目標優化方法中的代理模型結合遺傳算法的方法巧妙地應用于多工況拓撲優化中各個工況權重比尋優的問題中，不僅驗證了所采用方法的有效性，同時很好地解決了多目標轉化過程中各個工況權重比的分配這一優化難題.

1　車架多工況下拓撲優化設計

1.1設計問題描述

在進行結構優化設計之前，需參考賽車車身結構模型進行設計區域的填充.構建拓撲空間，并在考慮方程式賽車車架設計規范的基礎上[11]，在拓撲優化中的模型設定了不可設計區域，如圖1所示.

圖1　賽車車架拓撲空間模型(標記部分為不可設計區域)Fig.1　Topological space model of racing car frame (marked parts are not devisable)

車架的前后懸架采用雙橫臂懸架，車架材料彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7.85 g/cm3.為了提高計算精度，有限元模型網格采用退化的四面體單元即十節點四面體單元.為保證車身結構設計的對稱性，在Hypermesh中對模型進行了縱向對稱設置.同時，為了避免最終拓撲結構中出現細小的傳力路徑，保證結構最小尺度不至于太小，設置最小拓撲結構為20 mm，最大拓撲結構為60 mm.

1.2多工況分析

選取賽車在實際使用過程中常遇到的工況進行分析,即：彎曲工況、扭轉工況、加速工況、制動工況、轉彎工況.為了簡化計算，取懸架上下安裝點的中點為簡化點，前后懸架安裝點簡化為4個，分別在簡化點施加約束與載荷[11-12].成員和發動機的重量通過RBE3單元分別加載在座椅安裝處和6個發動機安裝點處，各個工況下約束和加載情況如表1所示，邊界條件設置如圖2和圖3所示.同時，賽車設計規則明確規定：車架主環最高位置處最大位移不得超過25 mm，車架重要安裝硬點的變形范圍要控制在合理的范圍內.在此，限制賽車手質量加載點處總位移上限為5 mm，發動機安裝點處總位移上限為3 mm，車架頂端總位移約束為25 mm[13].約束設置中1，2，3分別代表x，y，z方向的平動自由度.

表1　各工況下約束和加載設置情況

圖2　彎曲、加速、制動和轉彎工況邊界條件設置Fig.2　Boundary conditions of bending， accelerating， braking and turning conditions

圖3　扭轉工況邊界條件設置Fig.3　Boundary conditions of twist conditions

1.3多工況拓撲優化數學模型

在靜態問題中，結構的拓撲優化問題是通過最小化結構的平均柔度l(u)來實現的，由總應變能通過下式定義[14]：

(1)

式(1)等同于以下表達式：

(2)

式中:K為可行解組成的空間，l(v)為負載的線性形式，a(v,v)表示單元由虛位移v在v方向產生的能量，a(u,u)表示單元由虛位移u在u方向產生的能量.通過式(1)和式(2)可得，結構的平均柔度最小的問題等價于結構的應變能最大的問題.

在實現過程中，將車架的結構剛度問題轉化為結構的平均柔度(compliance)問題，即單元的總應變能問題.借助折衷規劃法及功效函數法建立以結構體積分數上限為0.3為約束、以柔度最小為目標的多剛度拓撲優化綜合目標函數模型[5]：

(3)

1.4各個工況權重比分配優化方法

從式(3)可以看到各個工況下的柔度權重比ωi(第i個工況的柔度權重比)直接影響著綜合目標函數值，不同的方法會得到不同的分配結果，這就導致優化具有很大的自由度.因此，如何恰當地選取各個工況的權重比是獲得更優綜合目標函數值中急需解決的問題.

針對此問題，通過結合徑向基代理模型和遺傳算法對多工況下拓撲優化中各個工況權重比的分配問題進行研究.首先，對多目標問題進行合理轉化，采用折衷規劃法建立同時考慮多個工況下車架剛度的拓撲優化綜合目標函數模型；然后，考慮到實際有限元模型的復雜性及計算的低效性，構造徑向基函數代理模型代替復雜的有限元模型，并結合遺傳算法(NSGA-II)進行最佳工況權重比組合的尋找，獲得各個工況的最佳權重比；最后，將獲得的各個工況的最佳權重比代入有限元模型中進行拓撲優化計算.在上述流程計算結果的基礎上，將各個工況下車架柔度計算結果與參考方法進行比較驗證.主要過程流程圖如圖4所示.

圖4　各工況權重比分配優化方法的主要過程流程圖Fig.4　The main process flow chart of the weight ratio distribution optimization method for respective condition

2　各工況權重比優化

2.1最優拉丁超立方采樣

最優拉丁超立方試驗設計(optimallatinhypercubedesign，OLHD)是在LHD的基礎上增加了優化準則，能較好地滿足樣本采集的投影均勻性和空間均布性[8].因此，采用最優拉丁超立方試驗設計方法，將5個工況的權重比作為取樣對象，樣本數為25，并將采樣結果進行歸一化處理.最后將5個工況的權重比代入拓撲模型中進行計算，獲得各個取值樣本點的綜合目標函數值，樣本點及輸出目標值如表2所示.

2.2構建代理模型

采用徑向基函數根據相應樣本點所構建的代理模型是一種能夠很好地平衡精度和計算效率的代理模型[8]，因此采用徑向基函數構建代理模型，其中近似模型如下：

(4)

式中：N為差值樣本點的個數；λj為通過差值確定的系數；φ是徑向距離r=‖x-xj‖2的函數，取常用的Multi-quadric函數：

(5)

其中 c為光滑參數，且0

代理模型構建完后必須驗證模型的精度，RBF是一種插值模型， 樣本點處誤差為零， 不能像多項式擬合那樣通過樣本點誤差來評價整個代理模型的誤差，必須通過額外的測試點來評價，所以本文采用平均相對誤差RAAE(即樣本點處相對誤差的平均值)來評價模型的精度.

(6)

(7)

表2　最優拉丁超立方樣本點及對應的綜合目標函數值

2.3拓撲計算結果

采用NSGA-II方法計算得到各個工況的最佳權重比分別為0.13， 0.07， 0.30， 0.32， 0.18，將各個工況最佳權重比代入有限元模型中進行計算.借助高效并被廣泛使用的SIMP法即密度法進行拓撲優化計算，經過64次迭代后結束，車架最終的拓撲結構清晰、合理，如圖5所示.拓撲結構顯示，車架結構整體上呈左右對稱分布，車架的底部及側部出現了較多的三角形結構，車架發動機安裝處的結構比較合理，這些結構對車架的剛度提高有很好的參考價值.

綜合目標函數的迭代過程如圖6所示.由圖可知綜合目標函數值逐漸減小并最終達到穩定值，迭代過程經歷了3個階段，這是由于在計算過程中，為避免結構中出現半密度單元而引入懲罰系數，因此出現了模型再次計算的過程[5]，直至滿足精度要求，迭代過程停止.

柔度目標的迭代過程如圖7所示.由圖可得：在整個拓撲優化迭代過程中，5個工況下車架結構的柔度隨著迭代的進行不斷減小，其中扭轉工況下的車架柔度優化后較優化前變化最大，表明車架扭轉工況下的剛度有了很大程度的提高；各個工況的柔度曲線波動趨勢相近，并最終達到穩定狀態.

2.4結果分析

為了驗證本文采用方法的有效性及優越性，將本文確定各個工況權重比的方法設為方案1，按照正交試驗和層次分析法擬定了2組不同的權重比組合，分別為表2中的方案2、方案3.基于正交試驗確定權重比的方法參考文獻[15]，基于層次分析法確定權重比的方法參考文獻[16-18].對3種方案分別進行相同的拓撲優化計算，各個方案的目標函數迭代過程如圖8所示，權重比組合方案及各個方案各工況柔度最終優化值如表3和表4所示.

圖5　車架拓撲優化結果Fig.5　Topology optimization results of the frame

圖6　綜合目標函數迭代過程Fig.6　Iterative process of the comprehensive objective function

方案彎曲工況扭轉工況加速工況制動工況轉彎工況10.1300.0700.3000.3200.18020.0900.0900.3600.3600.09030.4080.8500.1090.1250.290

圖7　車架柔度迭代過程Fig.7　Iterative process of frame compliance

圖8　各個方案的綜合目標函數迭代過程Fig.8　Iterative process of the comprehensive objective function of each method

方案迭代數/次彎曲工況柔度/(N-1·mm)扭轉工況柔度/(N-1·mm)加速工況柔度/(N-1·mm)制動工況柔度/(N-1·mm)轉彎工況柔度/(N-1·mm)16414.8189.725.356.9494.5526316.83171.55.377.1591.4736115.2293.1514.0218.3382.24

根據圖8可發現：3種方案的目標函數的迭代過程都經歷了3個過程，目標函數值不斷減小并最終收斂；方案1中目標函數的收斂曲線始終是最低的，也就是說方案1中車架的綜合柔度值是最小的；雖然方案1迭代次數最多，但是方案1中目標函數在開始迭代時是下降最快的.此外，方案1中目標函數的最終迭代值為0.062 765 7，通過代理模型計算得到的目標函數值為0.063 957 4，計算誤差為1.86%，可以認為代理模型精度可靠.

3　總　結

針對多工況下結構拓撲優化過程中遇到的各個工況權重比分配的問題進行了研究，采用代理模型與遺傳算法相結合的方法很好地解決了該問題，并通過方程式賽車車架多工況下拓撲優化這一實例進行了驗證.對結果分析比較發現，與參考方法相比，本文采用的方法具有明顯的優越性.同時，本文采用的方法在解決各個工況權重比分配問題的過程中，借助遺傳算法NSGA-II求解最佳權重比過程是連續的，可以在優化總目標的同時針對性地尋找重點工況下車架的最優柔度值，因此更具有靈活性.此外，研究不僅解決了多工況下車架拓撲優化各工況權重比分配的問題，而且對其他同類型的權重比分配問題也具有很好的參考價值.

[1] 柴天. FSAE賽車整車性能分析與研究[D]. 長沙: 湖南大學機械與運載工程學院，2009:11-12．

CHAI Tian. Analysis and research on performance of FSAE racing car [D]. Changsha: Hunan University， College of Mechanical and Vehicle Engineering, 2009: 11-12．

[2] CHEN T Y， WU S C. Multi-objective optimal topology design of structures [J]. Computational Mechanics， 1998， 21(6): 483-492．

[3] 扶原放，金達鋒，喬蔚煒. 多工況下微型電動車車身結構拓撲優化設計[J]. 機械設計，2010，27(2)：77-80．

FU Yuan-fang， JIN Da-feng， QIAO Wei-wei. Topological optimization design on the body structure of mini electric cars under multi-working conditions [J]. Journal of Machine Design， 2010， 27(2):77-80．

[4] 崔偉. 某重型汽車車架多目標拓撲優化設計及其有限元分析[D]. 長沙: 湖南大學機械與運載工程學院， 2012：40-45．

CUI Wei. Multi-objective topology optimization and finite element analysis to a heavy automobile frame[D]. Changsha: Hunan University， College of Mechanical and Vehicle Engineering, 2012:40-45．

[5] 蘭鳳崇，賴番結，陳吉清，等. 考慮動態特性的多工況車身結構拓撲優化研究[J]. 機械工程學報，2014， 50(20):122-128．

LAN Feng-chong， LAI Fan-jie， CHEN Ji-qing， et al. Multi-case topology optimization of body structure considering dynamic characteristic [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50(20):122-128.

[6] 范文杰，范子杰，桂良進，等. 多工況下客車車架結構多剛度拓撲優化設計研究[J]. 汽車工程，2008，30(6)：531-533．

FAN Wen-jie， FAN Zi-jie， GUI Liang-jin， et al. Multi-stiffness topology optimization of bus frame with multiple conditions [J]. Automotive Engineering， 2008， 30(6): 531-533．

[7] 蘭鳳崇，張浩鍇，王家豪，等. 汽車轉向節拓撲優化方法研究及應用[J]. 汽車工程，2014,36(4)：464-468．

LAN Feng-chong， ZHANG Hao-kai， WANG Jia-hao， et al. Study and application of topology optimization technique for vehicle steering knuckles [J]. Automotive Engineering, 2014, 36(4): 464-468．

[8] 陳國棟，韓旭. 基于代理模型的多目標優化方法及其在車身設計中的應用[J]. 機械工程學報，2014，50(9)： 70．

CHEN Guo-dong， HAN Xu. Multi-objective optimization method based on metamodel and its applications in vehicle body design [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2014， 50(9): 70.

[9] 洪煌杰，王紅巖，李建陽，等. 基于代理模型的空投裝備氣囊緩沖系統多目標優化[J]. 振動與沖擊，2015，34(3)： 215-220.

HONG Huang-jie， WANG Hong-yan， LI Jian-yang， et al. Multi-objective optimization of an airbag cushion system for airdropping equipment based on surrogate model [J]. Journal of Vibration and Shock， 2015， 34(3):215-220.

[10] 劉俊，宋文萍，韓忠華. 基于代理模型的飛翼多目標氣動優化設計[J]. 航空計算技術，2015， 45(2):1-5．

LIU Jun， SONG Wen-ping， HAN Zhong-hua. Multi-objective aerodynamic design optimization of a flying wing using surrogate model [J]. Aeronautical Computing Technique， 2015， 45(2):1-5．

[11] 居小凡. Formula SAE 賽車的設計制造及測試[D]. 上海:上海交通大學汽車工程學院，2009：15-19．

JU Xiao-fan. Design-bulid-test of a formula SAE racing car [D]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University， Institute of Automotive Engineering, 2009:15-19．

[12] JIANG Li-man， WANG Guo-quan， GONG Guo-qing， et al. Lightweight design for a FSC car based on modal and stiffness analysis [C]//Proceedings of the FISITA 2012 World. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013: 1009-1022．

[13] 陽文君，郭振輝. FSC車架靜態性能的有限元分析與試驗驗證[J]. 湖北汽車工業學院學報，2012，26(4):68-71．

YANG Wen-jun， GUO Zhen-hui. Finite element analysis and test validation on static performance of FSC frame [J]. Journal of Hubei University of Automotive Technology， 2012， 26(4):68-71．

[14] MIN S， NISHIWAKI S， KIKUCHI N. Unified topology design of static and vibrating structures using multiobjective optimization [J]. Computers & Structures， 2000， 75(1): 93-116．

[15] 高云凱，王婧人，汪翼. 基于正交試驗的大型客車車身結構多工況拓撲優化研究[J]. 汽車技術，2011(11): 16-19.

GAO Yun-kai， WANG Jing-ren， WANG Yi. Multi-case topology optimization of bus body structure based on orthogonal test [J]. Automobile Technology， 2011(11):16-19．

[16] 代麗，朱愛華，趙勻. 應用層次分析法計算分插機構優化目標的權重[J]. 農業工程學報，2013，29(2)：60-65．

DAI Li， ZHU Ai-hua， ZHAO Yun. Using AHP to calculate optimization objective weights of transplanting mechanism [J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2013， 29(2): 60-65.

[17] 田啟華，王進學，杜義賢，等. 基于密度-敏度層次更新策略的三維連續體結構拓撲優化[J]. 工程設計學報，2015,22(2)：155-160．

TIAN Qi-hua， WANG Jin-xue， DU Yi-xian， et al. Three-dimensional continuum topology optimization based on density-sensitivity level update policy[J]. Chinese Journal of Engineering Design， 2015,22(2):155-160．

[18] 駱正清，楊善林. 層次分析法中幾種標度的比較[J]. 系統工程理論與實踐，2004， 24(9)：51-60．

LUO Zheng-qing， YANG Shan-lin. Comparative study on several scales in AHP [J]. Systems Engineering-theory and Practice， 2004， 24(9): 51-60．

Research on the method of multi-case topology optimization of frame structure based on the weight ratio

QIU Rui-bin， LEI Fei， CHEN Yuan， WANG Qiong

(College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China)

The frame will be subject to the test of various conditions in the actual moving conditions. So a plurality of topology results under every condition must be considered when conducting topology optimization of the frame structure. While there is a common issue during the process of multi-case topology optimization about how to determine the weight ratio of respective condition and the final topology results of the frame depend directly on this distribution. This issue was showed a further study and a feasible solution to this problem with a combination of surrogate model and genetic algorithm was gaved. At first， a comprehensive object function maximizing the static stiffness under multi-case was defined by using compromise programming approach. And then， a Radial Basis Function surrogate model was constructed by using optimal Latin Hypercube Sampling， meanwhile， optimal weight ratios of every load condition had been obtained with the method of combining surrogate model with NSGA-II. At last， the optimal weight ratios obtained in the previous process were applied into the object function and a feasible topology result of the frame structure was got which had considered multi-case loads. Moreover， the contrastive study was carried out to compare the comprehensive objective optimization approach proposed in this study with those that determined the weight ratio by analytic hierarchy process (AHP) or orthogonal experimental design (OED). Compared with the other two methods， this method had the lowest value of comprehensive objective function and the weighted compliance of all conditions was also the lowest. Results show that the method proposed in this paper is a good solution to obtain weight ratio of every condition in the process of topology optimization of a frame and is superior to reference methods．

weight ratio; surrogate model; genetic algorithm; frame; topology optimization

2016-01-27.

國家自然科學基金資助項目(11232004).

邱瑞斌(1989-)，男，江蘇徐州人，碩士，從事汽車輕量化研究，E-mail:ruibinqiu@hnu.edu.cn.

雷飛(1981—)，男，河南南陽人，講師，博士，從事汽車輕量化研究，E-mail:leifeihun@163.com.

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.05.007

U 462

A

1006-754X(2016)05-0444-09

本刊網址·在線期刊：http://www.zjujournals.com/gcsjxb

http://orcid.org// 0000-0003-2215-3297